軌跡方程的 幾種求法整理(例題+答案).doc

1、軌跡方程的六種求法整理求軌跡方程是高考中常見的一類問題.本文對曲線方程軌跡的求法做一歸納，供同學(xué)們參考.求軌跡方程的一般方法：1. 直譯法：如果動點P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。2. 定義法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變

2、數(shù)，分別建立P點坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系xf（t），yg（t），進而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）0。4.代入法（相關(guān)點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點P的坐標(biāo)，然后把P的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。5. 交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。6. 待定系數(shù)法

3、：已知曲線是圓，橢圓，拋物線，雙曲線等一、直接法把題目中的等量關(guān)系直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于x,y,的方程基本步驟是：建系。設(shè)點。列式?；啞Ｕf明等，圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。1. 已知點，動點滿足，求點的軌跡。，2. 2.已知點B（1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足（1）求點P的軌跡C對應(yīng)的方程；（2）已知點A（m,2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD和AE，且ADAE，判斷：直線DE是否過定點？試證明你的結(jié)論.（3）已知點A（m,2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2滿足k1k2=2.求證：直線DE過定點，并求出這個定點.解：（1）設(shè)二、定義法

4、利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設(shè)中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件1、 若動圓與圓外切且與直線x=2相切，則動圓圓心的軌跡方程是解：如圖，設(shè)動圓圓心為M，由題意，動點M到定圓圓心（2，0）的距離等于它到定直線x=4的距離，故所求軌跡是以（2，0）為焦點，直線x=4為準(zhǔn)線的拋物線，并且p=6，頂點是（1，0），開口向左，所以方程是選（B）2、一動圓與兩圓和都外切，則動圓圓心軌跡為解：如圖，設(shè)動圓圓心為M，半徑為r，則有動點M到兩定點的距離之差為1，由雙曲線

5、定義知，其軌跡是以O(shè)、C為焦點的雙曲線的左支3、在中，上的兩條中線長度之和為39，求的重心的軌跡方程解：以線段所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1，為重心，則有點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中所求的重心的軌跡方程為注意：求軌跡方程時要注意軌跡的純粹性與完備性.4、設(shè)Q是圓x2+y2=4上動點另點A（。0）。線段AQ的垂直平分線l交半徑OQ于點P(見圖245)，當(dāng)Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程解：連接PA lPQ，|PA|=|PQ|又P在半徑OQ上|PO|+|PQ|=2由橢圓定義可知：P點軌跡是以O(shè)、A為焦點的橢圓5、已知ABC中，A,B,C所對應(yīng)的邊為a,b,c,且acb,

6、a,c,b成等差數(shù)列，|AB|=2,求頂點C的軌跡方程解：|BC|+|CA|=42,由橢圓的定義可知，點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，其長軸為4，焦距為2, 短軸長為2, 橢圓方程為, 又ab, 點C在y軸左側(cè)，必有x0,而C點在x軸上時不能構(gòu)成三角形，故x2, 因此點C的軌跡方程是：(2x0)點評：本題在求出了方程以后討論x的取值范圍，實際上就是考慮條件的必要性6、一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。解析：（法一）設(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得：，當(dāng)與相切時，有 當(dāng)與相切時，有 將兩式的兩邊分別相加，得，即 移項再兩

7、邊分別平方得： 兩邊再平方得：，整理得，所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。（法二）由解法一可得方程，由以上方程知，動圓圓心到點和的距離和是常數(shù)，所以點的軌跡是焦點為、，長軸長等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，圓心軌跡方程為。三、相關(guān)點法此方法適用于動點隨已知曲線上點的變化而變化的軌跡問題. 若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標(biāo)表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程這種方法稱為相關(guān)點法(或代換法)1、已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BPPA=12，當(dāng)

8、B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程分析解：設(shè)點P(x，y)，且設(shè)點B(x0，y0)BPPA=12，且P為線段AB的內(nèi)分點2、雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程。解：設(shè)點坐標(biāo)各為，在已知雙曲線方程中，已知雙曲線兩焦點為，存在，由三角形重心坐標(biāo)公式有，即 。，。3、已知點在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有即所求重心的軌跡方程為：。4、（2001上海，3）設(shè)P為雙曲線y21上一動點，O為坐標(biāo)原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是 。解析：設(shè)P（x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy04y21x24y215、已知ABC的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方

9、程解：設(shè)，由重心公式，得又在拋物線上，將，代入，得，即所求曲線方程是四、參數(shù)法如果不易直接找出動點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，可考慮借助中間變量（參數(shù)），把x，y聯(lián)系起來若動點P（x，y）的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系不易直接找到，而動點變化受到另一變量的制約，則可求出x、y關(guān)于另一變量的參數(shù)方程，再化為普通方程1、已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點，使有向線段滿足，求直線與的交點的軌跡方程解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)點， 則由題意，得由點斜式得直線的方程分別為兩式相乘，消去，得這就是所求點M的軌跡方程評析：參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二是消參

10、，消參的途徑靈活多變.2、設(shè)橢圓中心為原點O，一個焦點為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q，點P在該直線上，且，當(dāng)t變化時，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形解：（1）設(shè)所求橢圓方程為由題意得解得 所以橢圓方程為(2)設(shè)點解方程組得 由和得其中t1消去t，得點P軌跡方程為和其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分3、已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點P、Q 求直線A1P與A2Q交點M的軌跡方程；解設(shè)P點的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點坐標(biāo)為(x1,y

11、1),又有A1(m,0),A2(m,0),則A1P的方程為 y=A2Q的方程為 y= 得 y2= 又因點P在雙曲線上，故代入并整理得=1 此即為M的軌跡方程 4、設(shè)點A和B為拋物線 y2=4px(p0)上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線 解法一 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0)直線AB的方程為x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0

12、)故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點 解法二 設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得AB的方程為，過定點，由OMAB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點除外）故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點 解法三 設(shè)M(x,y) (x0)，OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以O(shè)A為直徑的圓 上，又在以O(shè)B為直徑的圓 上（O點除外），+得 x2+y24px=0(x0)故動點M的軌跡方程

13、為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點 5、過點A（1，0），斜率為k的直線l與拋物線C：y2=4x交于P，Q兩點.若曲線C的焦點F與P，Q，R三點按如圖順序構(gòu)成平行四邊形PFQR，求點R的軌跡方程；解：要求點R的軌跡方程，注意到點R的運動是由直線l的運動所引起的，因此可以探求點R的橫、縱坐標(biāo)與直線l的斜率k的關(guān)系然而，點R與直線l并無直接聯(lián)系與l有直接聯(lián)系的是點P、Q，通過平行四邊形將P、Q、R這三點聯(lián)系起來就成為解題的關(guān)鍵由已知，代入拋物線C：y2=4x的方程，消x得： 、Q 解得設(shè)，M是PQ的中點，則由韋達定理可知：將其代入直線l的方程

14、，得 四邊形PFQR是平行四邊形， 中點也是中點.又 點R的軌跡方程為6、垂直于y軸的直線與y軸及拋物線y2=2(x1)分別交于點A和點P，點B在y軸上且點A分的比為1:2，求線段PB中點的軌跡方程解：點參數(shù)法 設(shè)A(0,t),B(0,3t),則P(t2/2 +1, t),設(shè)Q(x,y),則有,消去t得：y2=16(x)點評：本題采用點參數(shù)，即點的坐標(biāo)作為參數(shù)在求軌跡方程時應(yīng)分析動點運動的原因，找出影響動點的因素，據(jù)此恰當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)7、過雙曲線C：x2y2/3=1的左焦點F作直線l與雙曲線交于點P、Q，以O(shè)P、OQ為鄰邊作平行四邊形OPMQ，求M的軌跡方程解：k參數(shù)法 當(dāng)直線l的斜率k存在時，

15、取k為參數(shù)，建立點M軌跡的參數(shù)方程設(shè)M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ的中點N(x0,y0), l: y=k(x+2), 代入雙曲線方程化簡得：(3k2)x24k2x4k23=0,依題意k3, 3k20,x1+x2=4k2/(3k2), x=2x0=x1 +x2=4k2/(3k2), y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3k2), 消去k并整理，得點M的軌跡方程為：當(dāng)k不存在時，點M(4,0)在上述方程的曲線上，故點M的軌跡方程為：點評：本題用斜率作為參數(shù)，即k參數(shù)法，k是常用的參數(shù)設(shè)點P、Q的坐標(biāo)，但沒有求出P、Q的坐標(biāo)，而是用韋達定理求x1+x2,y1+y2,從整

16、體上去處理，是處理解析幾何綜合題的常見技巧8、（06遼寧,20）已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標(biāo)原點,向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求p的值。解析：(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則即整理得:故線段是圓的直徑 (II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時,d有最小值,由題設(shè)得.五、交軌法一般用于求二動曲線交點的軌跡方程其過程是選出一個適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出二動曲線的方程或動點坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，

17、再消去參數(shù)，即得所求動點軌跡的方程1、 已知兩點以及一條直線：y=x，設(shè)長為的線段AB在直線上移動，求直線PA和QB交點M的軌跡方程解：PA和QB的交點M（x，y）隨A、B的移動而變化，故可設(shè)，則PA：QB：消去t，得當(dāng)t=2，或t=1時，PA與QB的交點坐標(biāo)也滿足上式，所以點M的軌跡方程是以上是求動點軌跡方程的主要方法，也是常用方法，如果動點的運動和角度有明顯的關(guān)系，還可考慮用復(fù)數(shù)法或極坐標(biāo)法求軌跡方程但無論用何方法，都要注意所求軌跡方程中變量的取值范圍2、自拋物線y22x上任意一點P向其準(zhǔn)線l引垂線，垂足為Q，連結(jié)頂點O與P的直線和連結(jié)焦點F與Q的直線交于R點，求R點的軌跡方程.解：設(shè)P（

18、x1，y1）、R（x，y），則Q（，y1）、F（，0），OP的方程為y=x， FQ的方程為y=y1（x）. 由得x1，y1，代入y22x，可得y22x2+x.六、待定系數(shù)法當(dāng)曲線（圓、橢圓、雙曲線以及拋物線）的形狀已知時，一般可用待定系數(shù)法解決.1、已知，三點不在一條直線上，且，（1）求點軌跡方程；（2）過作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求橢圓方程解：（1）設(shè)，由知為中點，易知又，則即點軌跡方程為；（2）設(shè)，中點由題意設(shè)橢圓方程為，直線方程為直線與點的軌跡相切，解得將代入橢圓方程并整理，得，又由題意知，即，解得故所求的橢圓方程為2、已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓C2的方程為=1(ab0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.解：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1