隨機變量及其分布、數(shù)學(xué)期望、方差、概率例題.doc

1、2010年優(yōu)秀模擬試卷分類匯編第五部分：隨機變量及其分布、數(shù)學(xué)期望、方差、概率1.（2010丹東一模）符合下列三個條件之一，某名牌大學(xué)就可錄取：獲國家高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎（保送錄取，聯(lián)賽一等獎從省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者中考試選拔）；自主招生考試通過并且高考分?jǐn)?shù)達(dá)到一本分?jǐn)?shù)線（只有省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝者才具備自主招生考試資格）；高考分?jǐn)?shù)達(dá)到該大學(xué)錄取分?jǐn)?shù)線（該大學(xué)錄取分?jǐn)?shù)線高于一本分?jǐn)?shù)線）某高中一名高二數(shù)學(xué)尖子生準(zhǔn)備報考該大學(xué)，他計劃：若獲國家高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎，則保送錄??；若未被保送錄取，則再按條件、條件的順序依次參加考試已知這名同學(xué)獲省高中數(shù)學(xué)競賽優(yōu)勝獎的概率是0.9，通過聯(lián)賽一等獎選拔考試的概率是

2、0.5，通過自主招生考試的概率是0.8，高考分?jǐn)?shù)達(dá)到一本分?jǐn)?shù)線的概率是0.6，高考分?jǐn)?shù)達(dá)到該大學(xué)錄取分?jǐn)?shù)線的概率是0.3（I）求這名同學(xué)參加考試次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（II）求這名同學(xué)被該大學(xué)錄取的概率2.（2010丹東二模）為了控制甲型H1N1流感病毒傳播，我市衛(wèi)生部防疫部門提供了批號分別為1、2、3、4的4個批號疫苗，供全市所轄的三個區(qū)市民注射，為便于觀察，每個區(qū)只能從中任選一個批號的疫苗進(jìn)行接種（I）求三個區(qū)中恰好有兩個區(qū)選擇的疫苗批號相同的概率；（II）記三個區(qū)中選擇疫苗批號相同的區(qū)的個數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望3.（2010撫順模擬）某校的學(xué)生記者團(tuán)由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如下表所示

3、：組別理科文科性別男生女生男生女生人數(shù)5432學(xué)校準(zhǔn)備從中選出4人到社區(qū)舉行的大型公益活動進(jìn)行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生則給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學(xué)生都有()求理科組恰好記4分的概率？()設(shè)文科男生被選出的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望4.（2010沈陽一模）AB某超市為促銷商品,特舉辦“購物有獎100中獎”活動.凡消費者在該超市購物滿10元，享受一次搖獎機會，購物滿20元，享受兩次搖獎機會，以此類推.搖獎機的結(jié)構(gòu)如圖所示，將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣湫∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障

4、礙物，最后落入A袋或B袋中,落入A袋為一等獎，獎金為2元，落入B袋為二等獎，獎金為1元已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是（）求搖獎兩次，均獲得一等獎的概率；（）某消費者購物滿20元，搖獎后所得獎金為X元，試求X的分布列與期望；()若超市同時舉行購物八八折讓利于消費者活動（打折后不再享受搖獎），某消費者剛好消費20元，請問他是選擇搖獎還是選擇打折比較劃算.5.（2010沈陽三模）一個口袋中裝有大小相同的個紅球（且）和個白球，每次從中任取兩個球，當(dāng)兩個球的顏色不同時，則規(guī)定為中獎（）試用表示一次取球中獎的概率；（）記從口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中獎的概率為，

5、求的最大值；（）在（）的條件下，當(dāng)m取得最大值時將個白球全部取出后，對剩下的個紅球作如下標(biāo)記：記上號的有個（），其余的紅球記上號，現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號，求X的分布列、期望6.（2010高.考.資.源.網(wǎng)預(yù)測）設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。 （1）求進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率； （2）求進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率； （3）記表示進(jìn)入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列及期望。7.（2010大連

6、二模）某班50名學(xué)生在一模數(shù)學(xué)考試中，成績都屬于區(qū)間60，110。將成績按如下方式分成五組：第一組60，70）；第二組70，80）；第三組80，90）；第四組90，100）；第五組100，110。部分頻率分布直方圖如圖所示，及格（成績不小于90分）的人數(shù)為20。 （1）請補全頻率分布直方圖； （2）在成績屬于70，80）90，100的學(xué)生中任取兩人，成績記為，求的概率； （3）在該班級中任取4人，其中及極格人數(shù)記為隨機變量X，寫出X的分布列（結(jié)果只要求用組合數(shù)表示），并求出期望E（X）。8.（2010東北育才、大連育明三模）單位為30元/件的日用品上市以后供不應(yīng)求，為滿足更多的消費者，某商場在

7、銷售的過程中要求購買這種產(chǎn)品的顧客必須參加如下活動：搖動如圖所示的游戲轉(zhuǎn)盤（上面扇形的圓心角都相等），按照指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字購買商品的件數(shù)，在搖動轉(zhuǎn)盤之前，顧客可以購買20元/張的代金券（限每人至多買12張），每張可以換一件該產(chǎn)品，如果不能按照指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字將代金券用完，那么余下的不能再用，但商場會以6元/張的價格回收代金券，每人只能參加一次這個活動，并且不能代替別人購買。 （1）如果某顧客購買12張代金券，最好的結(jié)果是什么？出現(xiàn)這種結(jié)果的概率是多少？ （2）求需要這種產(chǎn)品的顧客，能夠購買到該產(chǎn)品件數(shù)的分布列及均值； （3）如果某顧客購買8張代金券，求該顧客得到優(yōu)惠的錢數(shù)的均值。9.（20

8、10東北育才、大連育明二模）由于當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)較重，造成青少年視力普遍下降，現(xiàn)從某高中隨機抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對數(shù)視力表檢查得到每個學(xué)生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)如下：（）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（）若視力測試結(jié)果不低丁5.0，則稱為“好視力”，求校醫(yī)從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“好視力”的概率；（）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望10.（2010東北三省四市聯(lián)考）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：藥

9、物效果試驗列聯(lián)表患病未患病總計沒服用藥203050服用藥xy50總計MN100工作人員曾用分層抽樣的方法從50只服用藥的動物中抽查10個進(jìn)行重點跟蹤試驗知道其中患病的有2只（I）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，M，N的值；（II）畫出列聯(lián)表的等高條形圖，并通過條形圖判斷藥物是否有效；（III）能夠以975的把握認(rèn)為藥物有效嗎?參考數(shù)據(jù)：050040025015010005002500100005000104550708132320722706384152046635787910828211.（2010銀川一中二模）某單位為加強普法宣傳力度，增強法律意識，舉辦了“普法知識競賽”，現(xiàn)有甲、乙、丙三人同時回答一道

10、有關(guān)法律知識的問題，已知甲回答對這道題的概率是，甲、丙兩人都回答錯誤的概率是，乙、丙兩人都回答對的概率是 （1）求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率。 （2）求甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率。12.（2010銀川一中一模）有一種舞臺燈，外形是正六棱柱，在其每一個側(cè)面(編號為)上安裝5只顏色各異的燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為0.5，若一個側(cè)面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要更換這個面，否則需要更換這個面，假定更換一個面需要100元，用表示更換的面數(shù)，用表示更換費用。(1)求號面需要更換的概率；(2)求6個面中恰好有2個面需要更換的概率；(3)寫出的分布列，求的數(shù)學(xué)期望。13.（2010吉林

11、市二模）道路交通安全法中將飲酒后違法駕駛機動車的行為分成兩個檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標(biāo)準(zhǔn)是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當(dāng)20Q80時，為酒后駕車；當(dāng)Q80時，為醉酒駕車. 某市公安局交通管理部門在某路段的一次攔查行動中，依法檢查了200輛機動車駕駛員的血酒含量，其中查處酒后駕車的有6人，查處醉酒駕車的有2人，依據(jù)上述材料回答下列問題：（）分別寫出違法駕車發(fā)生的頻率和醉酒駕車占違法駕車總數(shù)的百分?jǐn)?shù)；（）從違法駕車的8人中抽取2人，求取到醉酒駕車人數(shù)的分布列和期望，并指出所求期望的實際意義；（）飲酒后違法駕駛機動車極易發(fā)生交通事故，假設(shè)酒后駕

12、車和醉酒駕車發(fā)生交通事故的概率分別是0.1和0.25，且每位駕駛員是否發(fā)生交通事故是相互獨立的。依此計算被查處的8名駕駛員中至少有一人發(fā)生交通事故的概率。（精確到0.01）并針對你的計算結(jié)果對駕駛員發(fā)出一句話的倡議.14.（2010海南五校聯(lián)考）如圖所示，質(zhì)點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進(jìn)現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1兩個2兩個3一共六個數(shù)字質(zhì)點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點P前進(jìn)一步（如由A到B）；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點P前進(jìn)兩步（如由A到C），當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點P前進(jìn)三

13、步（如由A到）在質(zhì)點P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止 （）求點P恰好返回到A點的概率； （）在點P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點的所有結(jié)果中，用隨機變量表示點P恰能返回到A點的投擲次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望15.（2010東北三校一模）甲乙兩運動員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知他們擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)，且每次射擊成績互不影響，射擊環(huán)數(shù)的頻率分布表如下， 甲運動員射擊環(huán)數(shù)頻數(shù)頻率7100.18100.190.451035合計1001乙運動員射擊環(huán)數(shù)頻數(shù)頻率780.18120.159100.35合計801若將頻率視為概率，回答下列問題， （1）求甲運動員擊中10環(huán)的概率 （2）求甲運動員在3次射

14、擊中至少有一次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率 （3）若甲運動員射擊2次，乙運動員射擊1次，表示這3次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的次數(shù)，求的分布列及.16.（2010東北三校三模）第11屆哈爾濱冰雪大世界以“冰雪建筑華章，歡樂相約世界”為主題，于2009年12月24日正式開園。在建園期間，甲、乙、丙三個工作隊負(fù)責(zé)從冰凍的松花江中采出尺寸相同的冰塊。在冰景制作過程中，需要對冰塊進(jìn)行雕刻，有時冰塊會碎裂，假設(shè)冰塊碎裂后整塊冰塊就不能使用，定義：冰塊利用率=假設(shè)甲、乙丙工作隊所采冰塊分別占采冰總量的25%、35%、40%，各隊采出的冰塊利用率分別為0.8，0.6，0.75， （1）在采出的冰塊中有放回

15、地抽取三塊，其中由甲工作隊采出的冰塊數(shù)記為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望； （2）在采出的冰塊中任取一塊，求它被利用的概率。17.（2010大連雙基測試）一個口袋中有2個白球和個紅球（，且），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎。 （1）試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率P； （2）若，求三次摸球恰有一次中獎的概率； （3）記三次摸球恰有一次中獎的概率為，當(dāng)為何值時，最大。18.（2010吉林十一校聯(lián)考）甲乙兩名射手互不影響地進(jìn)行射擊訓(xùn)練，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，他們設(shè)計成績的分布列如下：射手甲射手乙環(huán)數(shù)8910環(huán)數(shù)8910概率概率 （）若甲

16、乙兩射手各射擊兩次，求四次射擊中恰有三次命中10環(huán)的概率； （）若兩個射手各射擊1次，記所得的環(huán)數(shù)之和為，求的分布列和期望19.（2010高.考.資.源.網(wǎng)模擬）為了迎接2009年10月1日建國60周年，某城市為舉辦的大型慶典活動準(zhǔn)備了四種保證安全的方案，列表如下：方案ABCD經(jīng)費300萬元400萬元500萬元600萬元安全系數(shù)0.60.70.80.9其中安全系數(shù)表示實施此方案能保證安全的系數(shù)，每種方案相互獨立，每種方案既可獨立用，又可以與其它方案合用，合用時，至少有一種方案就能保證整個活動的安全。 （I）若總經(jīng)費在1200萬元內(nèi)（含1200萬元），如何組合實施方案可以使安全系數(shù)最高？ （II

17、）要保證安全系數(shù)不小于0.99，至少需要多少經(jīng)費？20.（2009丹東二模）某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示（I）估計這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分；（II）假設(shè)在90，100段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都不相同，且都超過94分若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數(shù)中任意抽取2個數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望 2010年優(yōu)秀模擬試卷分類匯編第五部分：隨機變量及其分布、數(shù)學(xué)期望、方差、概率詳解答案1. 解：（I）， （2分） （3分

18、） （4分）（或）24P0.550.45 （6分）（II）設(shè)該同學(xué)參加2、4次考試被錄取的概率分別是、，則 （8分）（10分）該同學(xué)被該校錄取的概率0.723 （12分）2. 解：（I）三個區(qū)選擇疫苗的批號的種數(shù)是， （2分）恰好有兩個區(qū)選擇的疫苗批號相同種數(shù)是， （3分）三個區(qū)中恰好有兩個區(qū)選擇的疫苗批號相同的概率是；（6分）（II）選擇疫苗批號相同的區(qū)的個數(shù)可能的取值為0，2，3， （8分）， （10分）（或者，）分布列是023 （12分）3. 解：()記“理科組恰好記4分”的事件為A，則A為“在理科組選出2名男生、1名女生或選出2名女生”2分 共有種選法，基本事件數(shù)為2分 所以2分()

19、由題意得，所以， 2分 于是的分布列為 01232分 （直接寫出正確分布列的給4分）的數(shù)學(xué)期望為 2分4. 解：記“小球落入袋中”為事件，“小球落入袋中”為事件，則小球落入袋中當(dāng)且僅當(dāng)小球一直向左落下或一直向右落下，故， 2分(I) 獲得兩次一等獎的概率為 . 4分（II）X可以取2,3,4P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)= 8分分布列為：234所以E=2+3+4=2.5. 10分()參加搖獎,可節(jié)省2.5元，打折優(yōu)惠,可節(jié)省2.4元,當(dāng)然參加搖獎. 12分5. （）每次從個球中任取兩個，有種方法它們是等可能的，其中兩個球的顏色不同的方法有種，一次取球中獎的概率為4分（）設(shè)每次取球中獎

20、的概率為，三次取球中恰有一次中獎的概率是：（）對的導(dǎo)數(shù) 6分因而在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)當(dāng)，即，時， 8分（）由（）知：紅球共20個，則記上號的有個紅球，從中任取一球，有種取法，它們是等可能的故X的分布列是：X10分 12分6. 【解析】記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲種商品， 記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買乙種商品，記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種。（2分） （1） （6分） （2） （9分） （3），故的分布列所以 （12分）7. 解：（1）由圖得，成績在的人數(shù)為4人，所以在的人為16人，所以在

21、的頻率為，在的頻率為2分補全的頻率分布直方圖如圖所示4分 （2）由題得：成績在的有8人，在的為16人所以的概率為6分 （3） 的分布列為:012349分隨機變量服從的是M=50,N=20,n=4的超幾何分布，所以期望12分8. 解：（1）最好的結(jié)果是：搖動游戲轉(zhuǎn)盤，指針指有12的區(qū)域，概率為（2分） （2）可能的取值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且取其中每個值的概率為的分布列為123456789101112P（5分） （3）設(shè)指針?biāo)笖?shù)字為，得到優(yōu)惠的錢數(shù)為Y元。購買8張代金券，即（9分）（12分）9. 解：（）眾數(shù)：4.6和4.7；中位數(shù)：4.75 2分（）設(shè)表示所

22、取3人中有個人是“好視力”，至多有1人是“好視力”記為事件，則 6分（）的可能取值為0、1、2、3 7分 分布列為 10分高考資源網(wǎng). 12分10. （1）P=， P= - 1分 - 2分 -3分 畫出列聯(lián)表的等高條形圖 -4分 由列聯(lián)表的等高條形圖可以初步判斷藥物有效 -5分 （2）取值為0，1，2高.考.資/源/網(wǎng)P=，P=，P=， 012 -7分 P=P=P=012 -9分 說明藥物有效 -10分 （3） -11分由參考數(shù)據(jù)知不能夠以97.5%的把握認(rèn)為藥物有效。 -12分11. 解：（I）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件A、B、C，則，且有即 （）

23、由（I） “甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題”記為事件：，其中概率為P 12. (1)因為號面不需要更換的概率為： 所以號面需要更換的概率為：P=1-= (2)根據(jù)獨立重復(fù)試驗，6個面中恰好有2個面需要更換的概率為： P6(2)= (3)因為，又P6(0)=，P6(1)= ，P6(2)= ，P6(3)= ，P6(4)= ，P6(5)= ，P6(6)= 的分布列為：0123456P=100，E=100E=30013. 解：（） ； 25% （2分）（） 解：設(shè)取到醉酒駕車的人數(shù)為隨機變量，則可能取到的值有0，1，2 ，.012P則分布列如下，實際意義：在抽取的兩人中平均含有0.5個醉酒駕車人員

24、. （8分）（） （10分）一句話倡議：答案開放，教師酌情給分 （12分）14. 解：（）投擲一次正方體玩具，上底面每個數(shù)字的出現(xiàn)都是等可能的，其概率為 因為只投擲一次不可能返回到A點；若投擲兩次點P就恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，3）（3，1）（2，2）三種結(jié)果，其概率為若投擲三次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）三種結(jié)果，其概率為若投擲四次點P恰能返回到A點，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，1，1）其概率為 所以，點P恰好返回到A點的概率為7分 （）在點P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點的所有結(jié)果共有以上問題

25、中的7種，因為，所以， 12分15. 解： （1）設(shè)“甲運動員擊中10環(huán)”為事件,甲運動員擊中10環(huán)的概率為0.35. （2）設(shè)甲運動員擊中9環(huán)為事件，擊中10環(huán)為事件則甲運動員在一次射擊中擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率 甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率答：甲運動員在3次射擊中至少有一次擊中9環(huán)以上（含9環(huán)）的概率為0.992. （3）的可能取值是0，1，2，3所以的分布列是01230.010.110.40.48 . 16. 解：(1)任取一塊冰是由甲工作采出的冰塊的概率為依題意，且 1分 的分布列為0123 5分 6分（2）用表示事件“冰塊是由甲工作隊采出的”；表示事件“冰塊是由乙工作隊采出的”；表示事件“冰塊是由丙工作隊采出的”，用表示事件“采出的冰塊能被利用”， 8分則， ，, 10分 答：采出的冰塊能被利用的概率是. 12分17. 解：（1）一次摸球從個球中任選兩個，有種選法，其中兩球顏色相同有種選法；一次摸球中獎的概率 4分 （2）若，則一次摸球中獎的概率是，三次摸球是獨立重復(fù)實驗，三次摸球中恰有一次中獎的概率是 8分 （3）設(shè)一次摸球中獎的概率是，則三次摸球中恰有一次中獎的概率是，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，當(dāng)時，取最大值 10分 ，故時，三次摸球中恰有一次中獎的概率最大。 12分18. 解 （）記