3_8064967_12.中點(diǎn)問(wèn)題.課標(biāo)高考的特色試題

2017 年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 617 中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題 (第 178 號(hào) ) 中點(diǎn)問(wèn)題 直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)相交 的一個(gè)特殊 問(wèn)題 是 弦的 中點(diǎn)問(wèn)題 與中點(diǎn)相關(guān)的兩類(lèi)重要問(wèn)題是 :垂直平分線(xiàn)和 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 ;弦的 中點(diǎn)問(wèn)題 是課標(biāo)高考的特色試題 . 母題結(jié)構(gòu) :( )(中點(diǎn)性質(zhì) ) 若 :222(ab0)的 不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 意一條 弦 ,則 22 若 雙曲線(xiàn) G:22(a0,b0)的 不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 意一條 弦 ,則 B 的中點(diǎn) 2( )(中點(diǎn) 問(wèn)題 ) 存在的條件 :圓錐曲線(xiàn) G 存在以 P(x0,中點(diǎn)弦的充要條件是 P(x0,圓錐曲線(xiàn) G 的 “ 內(nèi) 部” ; 中點(diǎn)弦方程 :圓錐曲線(xiàn) G:x+=0 以 P(x0,中點(diǎn) 弦的方程 :20F=;記憶的方法 :不變 :各項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)及運(yùn)算符號(hào)不變 ;變化 :二次項(xiàng) :次項(xiàng) :x20y20 ( )(對(duì)稱(chēng)條件 )己知 直線(xiàn) l:y=kx+m(k 0)和 橢圓 C:222(ab0),則 橢圓 在 不同的兩點(diǎn)關(guān)于 直線(xiàn) 充要條件是 (a2+直線(xiàn) 且不平行于坐標(biāo)軸 ,有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,線(xiàn)段 中點(diǎn)為 M.( )證明 :直線(xiàn) 斜率與 l 的斜率的乘積為定值 ; ( )若 l 過(guò)點(diǎn) (3m,m),延長(zhǎng)線(xiàn)段 交于點(diǎn) P,四邊形 否為平行四邊形？若能 ,求此時(shí) l 的斜率 ;若不能 ,說(shuō)明理由 . 解析 :( )設(shè)直線(xiàn) l:y=kx+b(0),A(x1,B(x2,將 y=kx+b 代入 9x2+y2=() x1+M(92k b) 9;( )由 l 過(guò)點(diǎn) (3m,m) b=3 )3( M(-)9(3 )3(2k )3(3 2k 又由 四邊形 平行四邊形 P(-)9(3 )3(2 2 k )3(6 2k 9-)9(3 )3(2 2 k +9)3(6 2 k =4(3= k=4 7 . 點(diǎn)評(píng) :對(duì) 于中點(diǎn)性質(zhì)的證明有三種證法 :韋達(dá)定理法 ;作差分析法 ;中點(diǎn)弦方程 ;對(duì)具體問(wèn)題可選用適合的證法 . 同 類(lèi) 試題 : 1.(2015 年課標(biāo) 高考文科試題 )已知橢圓 C:222(ab0)的離心率為22,點(diǎn) (2, 2 )在 C 上 .( )求 C 的方程 ; ( )直線(xiàn) 且不平行于坐標(biāo)軸 ,有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,線(xiàn)段 中點(diǎn)為 直線(xiàn) 斜率與直線(xiàn) 2,(2010 年大綱 高考試題 )己知斜率為 1 的直線(xiàn) l 與雙曲線(xiàn) C:22(a0,b0)相交于 B、 D 兩點(diǎn) ,且 中點(diǎn)為M(1,3).( )求 C 的離 心率 ; ( )設(shè) C 的右頂點(diǎn)為 A,右焦點(diǎn)為 F,|17,證明 :過(guò) A、 B、 D 三點(diǎn)的圓與 x 軸相切 . 子題類(lèi)型 :(2006 年北京高考試題 )橢圓 C:222(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 P 在橢圓 C 上 ,且 |34,|314.( )求橢圓 C 的方程 ; 618 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017 年課標(biāo)高考 母題 ( )若直線(xiàn) l 過(guò)圓 x2+ 的圓心 M,交橢圓 、 且 A、 B 關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱(chēng) ,求直線(xiàn) l 的方程 . 解析 :( )由 2a=|6 a=3,又因 | 4 b=2 橢圓 49 22 =1; ( )圓 x2+ 的圓心 M(),A、 B 關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱(chēng) 線(xiàn)段 中點(diǎn)為 M,設(shè)點(diǎn) A(x0,則點(diǎn) B(由點(diǎn)A、 B 在橢圓 C 上 36)2(9)4(4 369420202020yx 85=0 點(diǎn) A 在直線(xiàn) 85=0 上 ,同理可得 :點(diǎn) B 也在直線(xiàn)85=0 上 直線(xiàn) l 的方程 :85=0. 點(diǎn)評(píng) :中點(diǎn)問(wèn)題即與中點(diǎn)相關(guān)的問(wèn)題 ,而求中點(diǎn)弦的方程是中點(diǎn)問(wèn)題的核心 ,本題中求中點(diǎn)弦方程的方法具有普遍性 . 同 類(lèi) 試題 : 3.(2012 年浙江 高考試題 )如圖 ,橢圓 C:222(ab0)的離心率 為21,其左焦點(diǎn)到點(diǎn) P(2,1)的距離為 10 ,不過(guò)原點(diǎn) O 的直線(xiàn) 相交于 A,B 兩點(diǎn) ,且線(xiàn)段 直線(xiàn) 分 .( )求橢圓 C 的方程 ; ( )求 積取最大值時(shí)直線(xiàn) l 的方程 . 4.(2011 年山東高考試題 )在平面直角坐標(biāo)系 ,已知橢圓 C:32x+斜率為 k(k0)且不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn) 于 A,B 兩點(diǎn) ,線(xiàn)段 中點(diǎn)為 E,射線(xiàn) 橢圓 ,交直線(xiàn) x=點(diǎn) D(-3,m).( )求 m2+ ( )若 |=|(i)求證 :直線(xiàn) (問(wèn)點(diǎn) B,能 ,求出此時(shí) 若不能 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 件 子題類(lèi)型 :(1986 年廣東高考試題 )己知橢圓 C 的直角坐標(biāo)方程為42x+32y=1,試確定 m 的取值范圍 ,使得對(duì)于直線(xiàn)y=4x+m,橢圓 C 上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) . 解析 :設(shè)點(diǎn) A(x1,B(x2,中點(diǎn) M(x0,由 1243 1243 22222121yx 321 2121 21 xx 3)41(00 m,3m,由點(diǎn) M(3m)在橢圓34 22 =1 的內(nèi)部 3 )3(4)( 22 0)相交于 E、 且線(xiàn)段 4,1),求 ( )對(duì)于平面上任一點(diǎn) P,當(dāng)點(diǎn) Q 在線(xiàn)段 運(yùn)動(dòng)時(shí) ,|最小值為 P 與線(xiàn)段 距離 在 x 軸上運(yùn)動(dòng) ,寫(xiě)出點(diǎn) P(t,0)到線(xiàn)段 距離 t 的函數(shù)關(guān)系式 . 2017 年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 619 8.(2009 年浙江 高考試題 )已知 橢圓 222 =1(ab0)的右頂點(diǎn)為 A(1,0),過(guò) . ( )求橢圓 ( )設(shè)點(diǎn) P 在拋物線(xiàn) C2:y=x2+h(h R)上 , 處的切線(xiàn)與 ,P 的中點(diǎn)與 中點(diǎn)的橫坐標(biāo) 相等時(shí) ,求 h 的最小值 . 9.(2010 年上海高考試題 )已知橢圓 的方程為222(ab0),點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (-a,b).( )若直 角坐標(biāo)平面上的點(diǎn) M、A(0, B(a,0)滿(mǎn)足 21(,求點(diǎn) M 的坐標(biāo) ;( )設(shè)直線(xiàn) l1:y=p 交橢圓 于 C、 D 兩點(diǎn) ,交直線(xiàn) l2:y=.若 22明 :( )對(duì)于橢圓 上的點(diǎn) Q(00) 直線(xiàn) AB:3+m2)t=0 m2+2|2; 620 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017 年課標(biāo)高考 母題 ( )直線(xiàn) OD:y=圓 程聯(lián)立 ,并消去 3 9m 233m;|=| 39m= ( t=231m;(i)直線(xiàn) AB:3+m2)t=0 =0 過(guò)定點(diǎn) ();( G(23 B(- 233m,由點(diǎn) B 在直線(xiàn) 223 1=0 m=1 外接圓 方程 :(x+21)2+5. ( )橢圓 E:11216 22 )直線(xiàn) l:2;( )假設(shè)存在不同的兩點(diǎn) P,P,(x0,由 43 3 由 2 , M(2,3)在 橢圓 E 上 ,矛盾 . ( )設(shè) 點(diǎn) P(x0,由 21 P(21),由 P 在 橢圓 內(nèi) m (- , (36,+ ); ( )設(shè) A( 2 ,B( 2 (0 5時(shí) ,h(t)= 1)4( 2 t . ( )橢圓 C1:2y=1;( )設(shè) P(t,t2+h),則 切線(xiàn) PM:y=2h,中點(diǎn)的橫坐標(biāo) =