1_6354486_30.特殊的裂項(xiàng)技巧.特別的精神享受

中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 特殊的裂項(xiàng)技巧 裂項(xiàng)求和 的 基本思想 裂項(xiàng) 求和法 的關(guān)鍵是把數(shù)列的通項(xiàng)分 裂 為具有遞推關(guān)系的兩項(xiàng)差 ,這也是 裂項(xiàng) 求和法 的基 本 思 想 和法 需 要 你的創(chuàng)造性 ,裂項(xiàng) 求和法 能給你帶來(lái)特別的精神享受 . 母題結(jié)構(gòu) :用 裂項(xiàng) 求和法 ,求 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 解 題 程序 :對(duì) 通項(xiàng) 使得 an=f(n+1)-f(n)或 an=f(n)-f(n+1);若 an=f(n+1)-f(n),則 Sn=f(n+1)- f(1);若 an=f(n)-f(n+1),則 Sn=f(1)-f(n+1). 子題類型 :(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南初賽試題 )設(shè) 正數(shù)組成的數(shù)列 ,其前 n,并且對(duì)所有自然數(shù)n,都有 13( )寫(xiě)出數(shù)列 前三項(xiàng) ; ( )求數(shù)列 通項(xiàng)公式 (寫(xiě)出推證過(guò)程 ); ( )令 1na(n N+),求數(shù)列 前 解析 :( )由 131=34 213 031; ( )由 13=243)-(213 (n+3)= (n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1) (n+2)(n+1)(n+2);令 xn=n(n+1)(n+2) ,=(n+1)(n+2)(n+3) =(n+1)(n+2) n+1)(n+2) (n+3)-n(n+1)(n+2) xn=( +(8+n(n+1)(n+2)2+n(n+1)(n+2) +)2)(1( 2 ( )由 1n(n+1)(n+2)=81n(n+1)(n+2)(n+3)-(n(n+1)(n+2) 前 n=81n(n+1)(n+2)(n+3). 點(diǎn)評(píng) :常見(jiàn)的整式裂項(xiàng) :n(n+1)=31n(n+1)(n+2)-(n(n+1),n(n+1)(n+2)=41n(n+1)(n+2)(n+3)-(n(n+1)(n +2)等 ,由此可得 :12+22+ +1n(n+1)(2n+1);13+23+ +2 )1( . 項(xiàng) 子題類型 :(2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽初賽試題 )已知 f(x)在 ()上有意義 ,f(21)=滿足 x、 y ()時(shí) ,有 f(x)+f(y)=f(1). ( )數(shù)列 足 1,=212 設(shè) an=f(求 通項(xiàng)公式 ; ( )設(shè) bn=n+1,求 1+f(11b )+f(21b )+ +f(20021b )+f(2041 )的值 . 解析 :( )a1=f(f(21)=-1,=f()=f(212 =2f(22( )令 x=y=0 f(0)=0;令 y=f(x)+f(0;f(=f( 1)2)(1( 1 =f()2)(1(11 2111f(11n)+f(n)= f(11n)1n) 1+f(11b )+f(21b )+ +f(20021b )+f(2041 )=1+f(21 )1 )+f(31 )1 )+ +f(2031 )- f(2041)+f(2041)=0. 點(diǎn)評(píng) :利用函數(shù)方程進(jìn)行裂項(xiàng) 的關(guān)鍵有二 :判斷并利用 函數(shù) 的奇偶性 ;靈 活 賦值 ,使得所求函值 f(f(g(n+1)- f(g(n). 子題類型 :(2011年安徽高考試題 )在數(shù) 1和 100之間插入 使得這 n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列 ,將這 n+2個(gè)數(shù)的乘積記作 令 an=n 1. ( )求數(shù)列 通項(xiàng)公式 ; ( )設(shè) bm=t,求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 解析 :( )設(shè) c1, ,構(gòu)成等比數(shù)列 ,其中 ,=100,則 -i=100(i=1,2, ,n+2),Tn= Tn= ,式得 :(=()() (100n+2 0n+2 an=n+2;( k+1) kk kk k+1)1k+1)1 bk=k+2)k+3)= 1k+3)- k+2)Sn=b1+ +11+11+ +1n+3)n+2) 1n+3)n. 點(diǎn)評(píng) :常見(jiàn)的 三角裂項(xiàng) :k+1)k+1)1;)1nn=n+1)n+ 1)等 . 1.(2004 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津初賽試題 )設(shè)邊長(zhǎng)為 1 的正 邊 有 n 等分點(diǎn) ,沿點(diǎn) B 到點(diǎn) C 的方向 ,依次為2, , 1211,求證 :Sn=112. 2.(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西初賽試題 數(shù)列 足 :1,=)1)(1( xk=a1+ +ak,1a +21a + +k=1,2,3, ,求 nk 3.(2010 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅初賽試題 )對(duì) 任意的正整數(shù) n,證明恒等式 : nk 4 1=112 nk 4.(2010 年 全國(guó) 高考試題 )已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 n2+n) 3n. ( )求 通項(xiàng) 為 求 ( )證明 :211a+222a+ +2n. 5.(2014 年 山 東高考試題 )已知等差數(shù)列 公差為 2,前 2,且 2, ( )求數(shù)列 通項(xiàng)公式 ; ( )令 -1)求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 6.(2005年第一屆北方數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽試題 )定義在 f(x)滿足 : f(0)=0; 對(duì)任意 x、 y (- , (1,+ ),都有 f(f(f(1);當(dāng) x ()時(shí) ,都有 f(x)f(191)+f(291)+ +f(11712 f(21). 設(shè) a,b,則 (B +a+nk(a+k=0,1,2, n) 1(a+a+b)=+nk )ab+nk b2=+21(+nk )+nk =21nkn+k2+k(k=0,1, , 1n1(n(221(n=112. 由 =)1)(1( )1(1 1n+1 )1( 1 11n 11 k(k+1)(k+2) 1k2(k+2) nk 61n(n+1)(31n+4). 由124 kk k=)1)(1( 22 k=21(112 211)1( 1 ( 1 nk 4 1=211- 112 112 1n(n+1)=112 nk ( )由 n2+n) 3n n(n+2) 3( )當(dāng) n=1時(shí) ,211a=631;當(dāng) n 2時(shí) ,由 11a+222a+ +211S+2 122+ +2 1=(2111+(2212 + +2)1( 11n 1n 2n 3n3n. ( ) )由 -1)12)(12( 4 nn n=(-1)21n+121n);當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ,1+31)-(31+51)+(51+ 71)- +(321n+121n)-(121n+121n)=1n=122 當(dāng) n 為奇 數(shù)時(shí) ,1+31)-(31+51)+(51+71)- -(321n+121n)+(121n+121n)=1+121n=12