2017年河南省高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（理科）含答案解析

2017 年河南省普通高中高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|x 2） 1，則（ B=（ ） A（ 1， 12） B（ 2， 3） C（ 2， 3 D 1， 12 2歐拉（ 籍瑞士）是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式 i 為虛數(shù)單位），將指數(shù)函數(shù)的定義 域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)理論中占用非常重要的地位，被譽(yù)為 “數(shù)學(xué)中的天橋 ”，根據(jù)此公式可知， e 4i 表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列命題正確的是（ ） A R， B x 0 且 x R， 2x 已知 a， b 為實(shí)數(shù)，則 a 2， b 2 是 4 的充分條件 D已知 a， b 為實(shí)數(shù)，則 a+b=0 的充要條件是 = 1 4已知圓 O： x2+（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）經(jīng)過(guò)橢圓 C： + =1（ a b 0）的短軸端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） A + =1 B + =1 C + =1 D + =1 5已知等差數(shù)列 足 ， ，則 于（ ） A 31 B 32 C 61 D 62 6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A 3 B C D 7已知函數(shù) f（ x） = 的最大值為 M，最小值為 m，則 M+m 等于（ ） A 0 B 2 C 4 D 8 8如圖所示的程序框圖的算法思路來(lái)源于 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入 a， b 的值分別是 21， 28，則輸出 a 的值為（ ） A 14 B 7 C 1 D 0 9已知函數(shù) y=x+1+點(diǎn) A（ 1， 2）處的切線 l，若 l 與二次函數(shù) y= a+2）x+1 的圖象也相切，則實(shí)數(shù) a 的取值為（ ） A 12 B 8 C 0 D 4 10已知 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 A（ 0， 1）， B（ 1， 0）， C（ 0， 2）， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M 滿足 | |=1，則 | + + 的最大值是（ ） A B C 1 D 1 11已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 P 是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線 別交雙曲線 C 的左、右支于另一點(diǎn) M， N，若 |2|且 20，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 12定義在 R 上的函數(shù) f（ x），當(dāng) x 0， 2時(shí)， f（ x） =4（ 1 |x 1|），且對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 2n 2， 2n+1 2（ n N*， n 2），都有 f（ x） = f（ 1）若 g（ x） =f（ x） 且只有三個(gè)零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是（ ） A 2， 10 B ， C（ 2， 10） D 2， 10） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知實(shí)數(shù) x， y 滿足條件 若目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 的最小值為 3，則其最大值為 14設(shè)二項(xiàng)式 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 a，則 的值為 15已知 A， B， C 是球 O 的球面上三點(diǎn)，且 為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，球心 O 到平面 距離為球半徑的一半，則三棱錐 D 積的最大值為 16已知函數(shù) x） =+ 1） =（ 1） n N*，設(shè)函數(shù) g（ n） = ，若 bn=g（ 2n+4）， n N*，則數(shù)列 前 n（ n 2）項(xiàng)和 于 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17已知向量 =（ 2 =（ 2 函數(shù) f（ x） = 1 （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ ）在銳角 ，內(nèi)角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a， b， c， ，對(duì)任意滿足條件的 A，求 f（ A）的取值范圍 18某品牌的汽車 4S 店，對(duì)最近 100 例分期付 款購(gòu)車情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示，已知分 9 期付款的頻率為 店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車若顧客分 3 期付款，其利潤(rùn)為 1 萬(wàn)元；分 6 期或 9 期付款，其利潤(rùn)為 2 萬(wàn)元；分 12 期付款，其利潤(rùn)為 3 萬(wàn)元 付款方式 分 3 期 分 6 期 分 9 期 分 12 期 頻數(shù) 20 20 a b （ 1）若以表中計(jì)算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購(gòu)車的顧客（數(shù)量較大）中隨機(jī)抽取 3 位顧客，求事件 A： “至多有 1 位采用分 6 期付款 ”的概率P（ A）； （ 2）按分層抽樣的方式從這 100 位顧客中抽出 5 人，再?gòu)某槌龅?5 人中隨 機(jī)抽取 3 人，記該店在這 3 人身上賺取的總利潤(rùn)為隨機(jī)變量 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E（ ） 19如圖所示，已知長(zhǎng)方體 ， 為 中點(diǎn)將 M 折起，使得 （ 1）求證：平面 平面 （ 2）是否存在滿足 的點(diǎn) E，使得二面角 E D 為大小為若存在，求出相應(yīng)的實(shí)數(shù) t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 20設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn) F 在 y 軸正半軸上，過(guò)點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A， B 兩點(diǎn)，線段 長(zhǎng)是 8， 中點(diǎn)到 x 軸的距離是 3 （ 1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）設(shè)直 線 m 在 y 軸上的截距為 6，且與拋物線交于 P， Q 兩點(diǎn)，連結(jié) 延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn) R，當(dāng)直線 與拋物線相切時(shí)，求直線 m 的方程 21已知函數(shù) （ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若 1 x 1 時(shí)，均有 f（ x） 0 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 四、請(qǐng)考生在第 22、 23 兩題中任選一題作答，注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑 4標(biāo)系與參數(shù)方程 22在平面直角坐標(biāo)系 ，曲線 參數(shù)方程為 （ 為參數(shù) ），以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系 相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線 極坐標(biāo)方程為 =24 （ 1）化曲線 方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線； （ 2）設(shè)曲線 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 P（ m， 0）（ m 0），經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 作斜率為 1 的直線， l 交曲線 A， B 兩點(diǎn)，求線段 長(zhǎng) 五、 4等式選講 23已知 f（ x） =|2x 1|+x+ 的最小值為 m （ 1）求 m 的值； （ 2）已知 a， b， c 是正實(shí)數(shù)，且 a+b+c=m，求證： 2（ a3+b3+ ab+bc+ 2017 年河南省普通高中高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|x 2） 1，則（ B=（ ） A（ 1， 12） B（ 2， 3） C（ 2， 3 D 1， 12 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 首先化簡(jiǎn)集合 A， B，進(jìn)而算出 后根據(jù)并集的定義進(jìn)行求解 【解 答】 解： 集合 A=x|2x 3 0=x|x 1 或 x 3 x| 1 x 3= 1， 3 B=x|x 2） 1， ， 解得 2 x 12， B=（ 2， 12 （ B= 1， 12 故選： D 2歐拉（ 籍瑞士）是科學(xué)史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式 i 為虛數(shù)單位），將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)理論中占用非常重要的地位，被譽(yù)為 “數(shù) 學(xué)中的天橋 ”，根據(jù)此公式可知， e 4i 表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 e 4i= 4） + 4），再利用誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)求值即可得出 【解答】 解： e 4i= 4） + 4）， 4） =+（ 4 ） = 4 ） 0， 4） = +（ 4 ） =4 ） 0， e 4i 表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限 故選： B 3下列命題正確的是（ ） A R， B x 0 且 x R， 2x 已知 a， b 為實(shí)數(shù)，則 a 2， b 2 是 4 的充分條件 D已知 a， b 為實(shí)數(shù)，則 a+b=0 的充要條件是 = 1 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 根據(jù) x+ ） ，判斷 A 錯(cuò)誤； 舉例說(shuō)明 x=2 時(shí) 2x=，判斷 B 錯(cuò)誤； 根據(jù) a 2， b 2 時(shí) 4，判斷充分性成立 C 正確； 舉例說(shuō)明 a=b=0 時(shí) = 1 不成立，判斷 D 錯(cuò)誤 【解答】 解：對(duì)于 A， x R， x+ ） 正確， 該命題的否定是假命題， A 錯(cuò)誤； 對(duì)于 B，當(dāng) x=2 時(shí)， 2x=， B 錯(cuò)誤； 對(duì)于 C， a， b 為實(shí)數(shù)，當(dāng) a 2， b 2 時(shí)， 4，充分性成立， 是充分條件， C 正確； 對(duì)于 D， a， b 為實(shí)數(shù)， a+b=0 時(shí)，若 a=b=0，則 = 1 不成立， 不是充要條件， D 錯(cuò)誤 故選： C 4已知圓 O： x2+（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）經(jīng)過(guò)橢圓 C： + =1（ a b 0）的短軸端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） A + =1 B + =1 C + =1 D + =1 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)圓 O： x2+（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）經(jīng)過(guò)橢圓 C： + =1（ a b 0）的短軸端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)，可得 b， c， a， 【解答】 解： 圓 O： x2+（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）經(jīng)過(guò)橢圓 C： + =1（ a b 0）的短軸端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)， b=2， c=2，則 a2=b2+ 橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ， 故選： B 5已知等差數(shù)列 足 ， ，則 于（ ） A 31 B 32 C 61 D 62 【考點(diǎn)】 等差 數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 由等差數(shù)列的性質(zhì)依次求出 【解答】 解： 等差數(shù)列 足 ， ， +1=7， +7=13， +13=19， +19=25， +25=31 故選： A 6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A 3 B C D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可得，幾何體為底面為正視圖，高為 的四棱錐，即可求出幾何體的體積 【解答】 解：由三視圖可得，幾何體為底面為正視圖，高為 的四棱錐，體積為 = ， 故選 B 7已知函數(shù) f（ x） = 的最大值為 M，最小值為 m，則 M+m 等于（ ） A 0 B 2 C 4 D 8 【考點(diǎn)】 函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】 設(shè) g（ x） = ，得到 g（ x）為奇函數(shù)，得到 g（ x） g（ x） ，相加可得答案 【解答】 解： f（ x） = =2+ ， 設(shè) g（ x） = ， g（ x） = g（ x）， g（ x）為奇函數(shù)， g（ x） g（ x） M=f（ x） +g（ x） m=f（ x） +g（ x） M+m=2+g（ x） +g（ x） ， 故選： C 8如圖所示的程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入 a， b 的值分別是 21， 28，則輸出 a 的值為（ ） A 14 B 7 C 1 D 0 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算出當(dāng)前的 a， b 的值，即可得到結(jié)論 【解答】 解：由 a=21， b=28，不滿足 a b， 則 b 變?yōu)?28 21=7， 由 b a，則 a 變?yōu)?21 7=14， 由 b a，則 a 變?yōu)?14 7=7， 由 a=b=7， 則輸出的 a=7 故選： B 9已知函數(shù) y=x+1+點(diǎn) A（ 1， 2）處的切線 l，若 l 與二次函數(shù) y= a+2）x+1 的圖象也相切，則實(shí)數(shù) a 的取值為（ ） A 12 B 8 C 0 D 4 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 求出 y=x+1+導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線 y= a+2） x+1 相切，有且只有一切點(diǎn)，進(jìn)而可聯(lián)立切線與曲線方程，根據(jù) =0 得到 a 的值 【解答】 解： y=x+1+導(dǎo)數(shù)為 y=1+ ， 曲線 y=x+1+ x=1 處的切線斜率為 k=2， 則曲線 y=x+1+ x=1 處的切線方程為 y 2=2x 2，即 y=2x 由于切線與曲線 y= a+2） x+1 相切， y= a+2） x+1 可聯(lián)立 y=2x， 得 =0， 又 a 0，兩線相切有一切點(diǎn)， 所以有 =4a=0， 解得 a=4 故選： D 10已知 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 A（ 0， 1）， B（ 1， 0）， C（ 0， 2）， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M 滿足 | |=1，則 | + + 的最大值是（ ） A B C 1 D 1 【考點(diǎn)】 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【分析】 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)是（ x， y），由兩點(diǎn)之間的距離公式化簡(jiǎn) | |=1，判斷出動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出 + + ，表示出 | + + |并判斷幾何意義，轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，即可求出答案 【解答】 解：設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)是（ x， y）， C（ 0， 2），且 | |=1， ，則 y+2） 2=1， 即動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是以 C 為圓心、 1 為半徑的圓， A（ 0， 1）， B（ 1， 0）， + + =（ x+1， y+1）， 則 | + + |= ，幾何意義表示： 點(diǎn) M（ x， y）與點(diǎn) A（ 1， 1）之間的距離，即圓 C 上的點(diǎn)與點(diǎn) A（ 1， 1）的距離， 點(diǎn) A（ 1， 1）在圓 C 外部， | + + |的最大值是 |1= +1= ， 故選 A 11已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P 是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線 別交雙曲線 C 的左、右支于另一點(diǎn) M， N，若 |2|且 20，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 直線與橢圓的位置關(guān)系 【分析】 由題意， |2| | |2a，可得 |4a， |2a，由 20， 可 得 20， 由 余 弦 定 理 可 得 4624a2a即可求出雙曲線 C 的離心率 【解答】 解：由題意， |2| 由雙曲線的定義可得， | |2a， 可得 |4a， |2a， 由四邊形 平行四邊形， 又 20，可得 20， 在三角形 ，由余弦定理可得 4624a2a 即有 40 可得 c= a， 即 e= = 故選 B 12定義在 R 上的函數(shù) f（ x），當(dāng) x 0， 2時(shí)， f（ x） =4（ 1 |x 1|），且對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 2n 2， 2n+1 2（ n N*， n 2），都有 f（ x） = f（ 1）若 g（ x） =f（ x） 且只有三個(gè)零點(diǎn)，則 a 的取值范圍是（ ） A 2， 10 B ， C（ 2， 10） D 2， 10） 【考點(diǎn)】 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 由 g（ x） =f（ x） ，得 f（ x） =別作出函數(shù) f（ x）和 y=用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論 【解答】 解：當(dāng) x 0， 2時(shí)， f（ x） =4（ 1 |x 1|）， 當(dāng) n=2 時(shí)， x 2， 6，此時(shí) 1 0， 2，則 f（ x） = f（ 1） = 4（ 1 | 1 1|） =2（ 1 | 2|）， 當(dāng) n=3 時(shí)， x 6， 14，此時(shí) 1 2， 6，則 f（ x） = f（ 1） = 2（ 1 | |） =1 | |， 由 g（ x） =f（ x） ，得 f（ x） =別作出函數(shù) f（ x）和 y=圖象， 若 0 a 1，則此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象只有 1 個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件 若 a 1，當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò) A 時(shí)，兩個(gè)圖象只有 2 個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 個(gè)函數(shù)有 4 個(gè)交點(diǎn)， 則要使兩個(gè)函數(shù)有 3 個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)數(shù)函數(shù)圖象必須在 A 點(diǎn)以下， B 點(diǎn)以上， f（ 4） =2， f（ 10） =1， A（ 4， 2）， B（ 10， 1）， 即滿足 ， 即 ，解得 ， 即 2 a 10， 故選： C 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知實(shí)數(shù) x， y 滿足條件 若目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 的最小值為 3，則其最大值為 7 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 的最小值為 3，建立條件關(guān)系即可求出 m 的值，然后求解最大值即可 【解答】 解：目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 的最小值為 3， y= 2x+z，要使目標(biāo)函數(shù) z= 2x+y 的最小值為 3， 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 則目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 截距最小， 由 ，解得 A（ 2， 1），同時(shí) A 也在直線 2x+y+m=0， 解得 m=5， 目標(biāo)函數(shù) z=2x+y 經(jīng)過(guò) B 時(shí)取得最大值 由 ，解得 B（ 3， 1）， z 的最大值為： 7 故答案為： 7 14設(shè)二項(xiàng)式 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 a，則 的值為 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式可得 a，再利用微積分基本定理即可得出 【解答】 解：二項(xiàng)式 展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式： = =（ 1）r 令 6 =0，解得 r=4 常數(shù)項(xiàng) a= =15， 則 = = 故答案為： 15已知 A， B， C 是球 O 的球面上三點(diǎn) ，且 為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，球心 O 到平面 距離為球半徑的一半，則三棱錐 D 積的最大值為 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【分析】 由題意畫(huà)出圖形，求出三角形 接圓的半徑，設(shè)出球的半徑，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半徑，則三棱錐 D 【解答】 解：如圖，在 ， ， 由余弦定理可得 ，則 A=120， 設(shè) 接圓的半徑為 r，則 ，得 r=3 設(shè)球的半徑為 R，則 ，解得 ， 三棱錐 D 積的最大值為 故答案為： 16已知函數(shù) x） =+ 1） =（ 1） n N*，設(shè)函數(shù) g（ n） = ，若 bn=g（ 2n+4）， n N*，則數(shù)列 前 n（ n 2）項(xiàng)和 于 2n+n 1 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【分析】 由分段函數(shù)，求得 bn=a ，再由函數(shù) x），求得 n=1 時(shí)， ，將 n 換為 n 1，作差可得 n 1，進(jìn)而得到 n 1+1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和 【解答】 解： 由函數(shù) g（ n） = ， 可得 bn=g（ 2n+4） =g（ 2n 1+2） =g（ 2n 2+1） =a ， 由函數(shù) x） =+ 1） =（ 1） 可得 a1+ 1） n=（ 1） n=1 時(shí)， 1，可得 ； n 2 時(shí)， a1+1（ 1） n 1=（ 1） n 1（ n 1）， 可得 1） n=（ 1） 1） n 1（ n 1）， 化簡(jiǎn)可得 n 1，對(duì) n=1 也成立 則 bn=a =2n 1+1， 則數(shù)列 前 n（ n 2）項(xiàng)和 于（ 1+2+4+2n 1） +n = +n=2n+n 1 故答案為： 2n+n 1 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17已知向量 =（ 2 =（ 2 函數(shù) f（ x） = 1 （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間； （ ）在銳角 ，內(nèi)角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a， b， c， ，對(duì)任意滿足條件的 A，求 f（ A）的取值范圍 【考點(diǎn)】 余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 （ ）根 據(jù)函數(shù) f（ x） = 1利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算求解 f（ x），結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)性即可 （ ） 求解 【解答】 解：（ ）向量 =（ 2 =（ 2 函數(shù) f（ x） = 1 則 f（ x） =2 1= 2x ） 由 ， 解得： x ，（ k Z） 故得函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ， ，（ k Z） （ ）由 ，即： ， 又 銳角， B= 則 A 由（ ）可知 f（ A） =22A ） 那么： 2A （ ， ） 則 2A ） （ ， 1） 故得 f（ A）的取值范圍是（ 1， 2） 18某品牌的汽車 4S 店，對(duì)最近 100 例分期付款購(gòu)車情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示，已知分 9 期付款的頻率為 店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車若顧客分 3 期付款，其利潤(rùn)為 1 萬(wàn)元；分 6 期或 9 期付款，其利潤(rùn)為 2 萬(wàn)元；分 12 期付款，其利潤(rùn)為 3 萬(wàn)元 付款方式 分 3 期 分 6 期 分 9 期 分 12 期 頻數(shù) 20 20 a b （ 1）若以表中計(jì)算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購(gòu)車的顧客（數(shù)量較大）中隨機(jī)抽取 3 位顧客，求事件 A： “至多有 1 位采用分 6 期付款 ”的概率P（ A）； （ 2）按分層抽樣的方式從這 100 位顧客中抽出 5 人，再?gòu)某槌龅?5 人中隨機(jī)抽取 3 人，記該店在這 3 人身上賺取的總利潤(rùn)為隨機(jī)變量 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E（ ） 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ 1）由 = a=40， 20+a+20+b=100，解得 b記分期付款的期數(shù)為 ，依題意即可得出其概率進(jìn) 而定點(diǎn) “購(gòu)買該品牌汽車的 3 為顧客中至多有1 位采用 3 期付款 ”的概率 P（ A） （ 2）按分層抽樣的方式從這 100 位顧客中抽出 5 人，則顧客分 3 期付款與分 6期付款的各為 1 人，分 9 期付款的為 2 人，分 12 期付款為 1 人則 的可能取值為 5， 6， 7利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式可得其概率，進(jìn)而得到分布列與數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ 1）由 = a=40， 20+a+20+b=100， b=20 記分期付款的期數(shù)為 ，依題意得： P（ =3） = =P（ =6） = =P（ =9） = =P（ =12） = = 則 “購(gòu)買該品牌汽車的 3 為顧客中至多有 1 位采用 3 期付款 ”的概率 P（ A） = + = （ 2）按分層抽樣的方式從這 100 位顧客中抽出 5 人，則顧客分 3 期付款與分 6期付款的各為 1 人，分 9 期付款的為 2 人，分 12 期付款為 1 人則 的可能取值為 5， 6， 7 P（ =5） =P（ =3） P（ =6） P（ =9） +P（ =3） P（ =9） P（ =9）= + = P（ =6） =P（ =3） P（ =6） P（ =12） +P（ =6） P（ =9） P（ =9） +P（ =3） P（ =9） P（ =12） = = ， P（ =7） =P（ =6） P（ =9） P（ =12） +P（ =9） P（ =9） P（ =12）= = 列表如下： 5 6 7 P 以 的數(shù)學(xué)期望 E（ ） =5 （萬(wàn)元） 19如圖所示，已知長(zhǎng)方體 ， 為 中點(diǎn)將 M 折起，使得 （ 1）求證：平面 平面 （ 2）是否存在滿足 的點(diǎn) E，使得二面角 E D 為大小為若存在，求出相應(yīng)的實(shí)數(shù) t； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 而 平面 此能證明平面 平面 （ 2）以 M 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸，過(guò) M 作平面 垂線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出存在滿足 的點(diǎn) E，使得二面角 E D 為大小為 ，并能求出相應(yīng)的實(shí)數(shù) t 的值 【解答】 證明：（ 1） 長(zhǎng)方形 ， ， M 為 中點(diǎn)， M=2， ， 平面 又 平面 平面 平面 解：（ 2）以 M 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸，過(guò) M 作平面 垂線為 建立空間直角坐標(biāo)系， 則 A（ 2， 0， 0）， B（ 0， 2， 0）， D（ 1， 0， 1）， M（ 0， 0， 0）， =（ 0， 2， 0）， =（ 1， 2， 1）， = =（ t， 2 2t， 1）， 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 =（ x， y， z）， 則 ， 取 y=t，得 =（ 0， t， 2t 2）， 由（ 1）知平面 一個(gè)法向量 =（ 0， 1， 0）， 二面角 E D 為大小為 ， = = ， 解得 t= 或 t=2（舍）， 存在滿足 的點(diǎn) E，使得二面角 E D 為大小為 ，相應(yīng)的實(shí)數(shù) t 的值為 20設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn) F 在 y 軸正半軸上，過(guò)點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A， B 兩點(diǎn)，線段 長(zhǎng)是 8， 中點(diǎn)到 x 軸的距離是 3 （ 1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）設(shè)直線 m 在 y 軸上的截距為 6，且與拋物線交于 P， Q 兩點(diǎn)，連結(jié) 延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn) R，當(dāng)直線 與拋物線相切時(shí)，求直線 m 的方程 【考點(diǎn)】 直線與拋物線的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）設(shè)拋物線的方程為 p 0），求出準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義和中位線定理，可得 2（ 3+ ） =8，解得 p，即可得到拋物線的方程； （ 2）設(shè)直線 方程為 y=，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，再由兩點(diǎn)的方斜率公式，以及三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，化簡(jiǎn)整理解方程可得 k 的值，客人得到直線 m 的方程 【解答】 解：（ 1）設(shè)拋物線的方程為 p 0）， 準(zhǔn)線方程為 y= ， 由拋物線的定義可得 |2（ 3+ ） =8， 解得 p=2， 即有拋物線的方程為 y； （ 2）設(shè)直線 方程為 y=，代入拋物線的方程，可得 424=0， 設(shè) P（ ）， Q（ ）， 可得 x1+k， 24， 由 y= 導(dǎo)數(shù)為 y= x， 設(shè) R（ t， 1），可得 = 可得 t= ， 再由 Q， F， R 共線，可得 = ， 消去 t，可得 = ， 即有 16（ 16（ 2， 即有 16 （ 24） =4（ 4k） 2+2 24 16 242， 解方程可得 k= ， 即有直 線 m 的方程為 y= x+6 21已知函數(shù) （ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）若 1 x 1 時(shí)，均有 f（ x） 0 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）當(dāng) a=1 時(shí)， f（ x）的定義域?yàn)椋?1， 1） （ 1， + ）， 求出 f（ x） = ，即可求單調(diào)區(qū)間； （ ） f（ x） = ， 分（ 1） a 0，（ 2）當(dāng) a 0，討論單調(diào)性及最值即可 【解答】 解：（ ）當(dāng) a=1 時(shí)， f（ x）的定義域?yàn)椋?1， 1） （ 1， + ）， f（ x） = ， 當(dāng) 1 x 0 或 3 時(shí)， f（ x） 0，當(dāng) 0 x 1 或 1 x 3， f（ x） 0， 所以函數(shù) f（ x）的增區(qū)間為（ 1， 0），（ 3， + ），減區(qū)間為（ 0， 1），（ 1， 3） （ ） f（ x） = ， 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x） 0 恒成立，故 0 x 1 時(shí)， f（ x） f（ 0） =0，不符合題意 當(dāng) a 0 時(shí)，由 f（ x） =0，得 ， 若 0 a 1，此時(shí) 0 1，對(duì) 0 x f（ x） 0， f（ x） f（ 0） =0，不符合題意 若 a 1，此時(shí) 1 0，對(duì) x 0，有 f（