學(xué)科教育論文-數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè).doc

學(xué)科教育論文-數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般都要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用（包括概念所涉及的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用）等階段。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，很多教師往往不注重概念的形成過程，只重視概念的運(yùn)用，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的重要階段，強(qiáng)行地將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，無從體現(xiàn)學(xué)生的主體性，將嚴(yán)重影響學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，阻礙學(xué)生的能力發(fā)展。造成這種現(xiàn)象的原因，一方面是由于教師的教學(xué)觀念比較陳舊，在教學(xué)中不重視學(xué)生的思維活動(dòng),不能使學(xué)生的認(rèn)知過程成為一個(gè)再創(chuàng)造的過程,實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)、理解、創(chuàng)造與應(yīng)用；另一方面是許多教師不知如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動(dòng)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)有效的問題情景，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動(dòng)，探究規(guī)律，得出新的數(shù)學(xué)概念。從而使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)水平，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)要研究的首要問題。一、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景的途徑數(shù)學(xué)概念有些是由生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中抽象出來的，有些是由數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而產(chǎn)生的，許多數(shù)學(xué)概念源于生活實(shí)際，但又依賴已有的數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生。根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式及數(shù)學(xué)思維的一般方法，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以用下列幾種方法來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景。（一）回顧已有相似概念，創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過的概念屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。例1異面直線的距離的教學(xué)（1）展示概念背景：向?qū)W生指出：刻劃兩條異面直線的相對(duì)位置的一個(gè)幾何量異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，若要刻劃其遠(yuǎn)近程度，需要用另一個(gè)量異面直線之間的距離。（2）創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景：先引導(dǎo)學(xué)生回顧一下過去學(xué)過的有關(guān)距離的概念（點(diǎn)與點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離），并概括出它們的共同點(diǎn)：各種距離概念都?xì)w結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。（3）啟迪發(fā)現(xiàn)階段：指出定義兩異面直線的距離也必須遵循上述原則，然后引導(dǎo)學(xué)生討論：異面直線a、b上哪兩點(diǎn)之間的距離最??？為什么？進(jìn)一步誘導(dǎo)：如右圖，過直線a上一點(diǎn)B作AB直線b，垂足為點(diǎn)A，則線段AB的長為異面直線a,b間的距離,對(duì)嗎?因?yàn)檫^A作AC直線a，垂足為C，在RTABC中有ABAC,即AB不具有最小性。再過C作CD直線b，如此下去，線段只垂直于a、b中的一條時(shí),總是某直角三角形的斜邊,不可能是a、b上任兩點(diǎn)間距離的最小者，那么，異面直線a、b上任兩點(diǎn)間距離的最小者到底應(yīng)該是哪條線段的長呢？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：可能是與異面直線a、b都垂直相交的線段。（4）表述論證階段：最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：異面直線a、b的公垂線段MN的長度具有最小性,又公垂線是唯一的，所以，可以把線段MN定義為異面直線a,b之間的距離。以上通過引導(dǎo)學(xué)生研究已有“距離”概念的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長點(diǎn)”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，學(xué)生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發(fā)展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值類比、二次方程與一次方程的類比、空間的二面角與平面的角類比等等。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，通過與熟悉的概念類比（類比的形式多樣，如平面與空間的類比、高維與低維的類比、有限與無限的類比，還有方法類比、結(jié)構(gòu)類比、形式類比等等），可使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然要注意類比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯(cuò)誤的類比設(shè)想，直到得出正確結(jié)果。（二）由已有相關(guān)概念的比較，創(chuàng)設(shè)歸納發(fā)現(xiàn)的問題情景有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)充，若能揭示概念的擴(kuò)充規(guī)律，便可以水到渠成地引入新概念。例2復(fù)數(shù)概念的教學(xué)先回顧已經(jīng)歷過的幾次數(shù)集擴(kuò)充的事實(shí)：正整數(shù)自然數(shù)非負(fù)有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)，然后教師提出以下問題:（1）上述數(shù)集擴(kuò)充的原因及其規(guī)律如何？實(shí)際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無法進(jìn)行，數(shù)集的擴(kuò)充過程體現(xiàn)了如下規(guī)律：每次擴(kuò)充都增加規(guī)定了新元素；在原數(shù)集內(nèi)成立的運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)充后的更大范圍內(nèi)仍然成立；擴(kuò)充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題。有了上述準(zhǔn)備后，教師提出問題：負(fù)數(shù)不能開平方的事實(shí)說明實(shí)數(shù)集不夠完善，因而提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為一個(gè)更為完整的數(shù)集的必要性。那么，怎樣解決這個(gè)問題呢？（2）借鑒上述規(guī)律，為了擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，引入新元素i，并作出兩條規(guī)定。（略）這樣學(xué)生對(duì)i的引入不會(huì)感到疑惑，對(duì)復(fù)數(shù)集概念的建立也不會(huì)覺得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識(shí)發(fā)生和形成的軌道中，為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是揭示出相關(guān)概念的擴(kuò)充發(fā)展的背景及其規(guī)律，從而引發(fā)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。（三）聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)設(shè)引發(fā)猜想的問題情景許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)設(shè)計(jì)成問題情景，引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。例3異面直線所成角的概念教學(xué)（1）展示概念背景：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請(qǐng)學(xué)生觀察圖中有幾對(duì)異面直線？接著提問：從位置關(guān)系看，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置，是否就沒有區(qū)別？教師緊接著說：既然有區(qū)別，說明僅用“異面”來描述異面直線間的相對(duì)位置顯然是不夠的。在生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)問題中，有時(shí)還需要進(jìn)一步精確化，這就提出了一個(gè)新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對(duì)位置，或者說，引進(jìn)一些什么數(shù)量來刻劃這種相對(duì)位置？(2)情境設(shè)計(jì)階段：我們知道平面幾何中用“距離”來刻劃兩平行直線間的相對(duì)位置，用“角”來刻劃兩相交直線間的相對(duì)位置，那么用什么來刻劃兩異面直線的相對(duì)位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實(shí)存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個(gè)角，用它的大小來度量異面直線的相對(duì)傾斜程度。為了解決這個(gè)問題，我們研究一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線、（但交點(diǎn)在紙外）現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出、所成的角的大??？(3)猜想發(fā)現(xiàn)階段：解決上述問題的方法是過一點(diǎn)分別作a,b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經(jīng)學(xué)生研討后能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線的角（即過一點(diǎn)分別作a、b的平行線，這兩條平行線所成的角）(4)表述論證階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關(guān)系？（以上即是存在性和確定性問題）通過解決以上兩個(gè)問題得到：兩異面直線所成角的范圍規(guī)定在（0，內(nèi)，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點(diǎn)O（一線的平行線與另一線的平行線的交點(diǎn)）的選取無關(guān)，點(diǎn)O可任選一般總是將點(diǎn)選在特殊位置至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了