2018版高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.2均值不等式一學(xué)案新人教B版.doc

3.2 均值不等式（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解均值不等式的內(nèi)容及證明.2.能熟練運(yùn)用均值不等式來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.3.能初步運(yùn)用均值不等式證明簡(jiǎn)單的不等式知識(shí)點(diǎn)一算術(shù)平均值與幾何平均值思考如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)Q是AB上任一點(diǎn)，AQa，BQb，過點(diǎn)Q作PQ垂直AB于Q，連接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的長(zhǎng)度？梳理一般地，對(duì)于正數(shù)a，b，為a，b的_平均值，為a，b的_平均值兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即.其幾何意義如上圖中的|PO|PQ|.知識(shí)點(diǎn)二均值不等式及其常見推論思考如何證明不等式(a0，b0)?梳理(a0，b0)當(dāng)對(duì)正數(shù)a，b賦予不同的值時(shí)，可得以下推論：(1)ab()2(a，bR)；(2)2(a，b同號(hào))；(3)當(dāng)ab0時(shí)，2；(4)a2b2c2abbcca(a，b，cR)類型一常見推論的證明例1證明不等式a2b22ab(a，bR)引申探究證明不等式()2(a，bR)反思與感悟(1)本例證明的不等式成立的條件是a，bR，與均值不等式不同(2)本例使用的作差法與不等式性質(zhì)是證明中常用的方法跟蹤訓(xùn)練1已知a，b，c為任意的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2abbcca.類型二用均值不等式證明不等式例2已知x、y都是正數(shù)求證：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.反思與感悟在(1)的證明中把，分別看作均值不等式中的a，b從而能夠應(yīng)用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次應(yīng)用不等式時(shí)等號(hào)成立的條件相同，所以最終能取到等號(hào)跟蹤訓(xùn)練2已知a、b、c都是正實(shí)數(shù)，求證：(ab)(bc)(ca)8abc.類型三用均值不等式比大小例3某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長(zhǎng)率為a，第三年的增長(zhǎng)率為b，這兩年的平均增長(zhǎng)率為x，a，b，x均大于零，則()Ax BxCx Dx反思與感悟均值不等式一端為和，一端為積，使用均值不等式比大小要擅于利用這個(gè)橋梁化和為積或者化積為和跟蹤訓(xùn)練3設(shè)ab1，P，Q，Rlg ，則P，Q，R的大小關(guān)系是()ARPQ BPQRCQPR DPRQ1已知a0，b0，則2的最小值是()A2 B2 C4 D52若0ab BbaCba Dba3設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，且ab3，則2a2b的最小值是()A6 B4C2 D84設(shè)a0，b0，給出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a296a.其中恒成立的是_(填序號(hào))1兩個(gè)不等式a2b22ab與都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)”這句話的含義要有正確的理解一方面，當(dāng)ab時(shí)，；另一方面，當(dāng)時(shí)，也有ab.2. 在利用均值不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)或把恒等式變形配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，以便于利用均值不等式答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考|PO|.易證RtAPQRtPBQ，那么|PQ|2|AQ|QB|，即|PQ|.梳理算術(shù)幾何知識(shí)點(diǎn)二思考ab2()2()22()20，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立題型探究類型一例1證明a2b22ab(ab)20，a2b22ab.引申探究證明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，兩邊同除以4，即得()2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取等號(hào)跟蹤訓(xùn)練1證明a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立類型二例2證明(1)x，y都是正數(shù)，0，0，22，即2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，等號(hào)成立(2)x，y都是正數(shù)，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，等號(hào)成立跟蹤訓(xùn)練2證明a，b，c都是正實(shí)數(shù)，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)2228abc.即(ab)(bc)(ca)8abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立類型三例3B第二年的產(chǎn)量為AAaA(1a)，第三年產(chǎn)量為A(1a)A(1a)bA(1a)(1b)若平均增長(zhǎng)率為x，則第三年產(chǎn)量為A(1x)2.依題意有A(1x)2A(1a)(1b)，a0，b0，x0，(1x)2(1a)(1b)2，1x1，x.跟蹤訓(xùn)練3B當(dāng)堂訓(xùn)練1C2.C3.B4.答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考不等式x21的解集為x|x1，該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解，而不等式的每一個(gè)解均屬于解集梳理(1)一元二次(3)集合知識(shí)點(diǎn)二思考x210yx21x210.梳理兩相異實(shí)根x1，x2(x1x2)兩相等實(shí)根x1x2x|xx2x|x1x0.方程x23x20的根x11，x22，原不等式的解集為x|x2題型探究類型一命題角度1例1解因?yàn)?4)24410，所以方程4x24x10的解是x1x2，所以原不等式的解集為.跟蹤訓(xùn)練1x|x或x2命題角度2例2解不等式可化為x22x30.因?yàn)?，方程x22x30無實(shí)數(shù)解，而yx22x3的圖象開口向上，所以原不等式的解集是.跟蹤訓(xùn)練2x|1x0，即2x23x10.由2x23x10，解得x1.bx2ax10的解集為.跟蹤訓(xùn)練4解由題設(shè)條件知a0，