函數(shù)單調(diào)性與曲線(xiàn)的凹凸性(4).ppt

1,一、單調(diào)性的判別法,三、小結(jié)及作業(yè),2,一、單調(diào)性的判別法,定理,3,證,應(yīng)用拉氏定理,得,4,5,例2,解,注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,6,（2）函數(shù)在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具有單調(diào)性，且改變單調(diào)性的點(diǎn)只可能是的 點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),7,（3）討論函數(shù)單調(diào)性的步驟： ） 1）確定函數(shù)的定義域； 2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)； 3）這些點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，列表討論。,（4）區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.,例如,8,例3. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,9,例4,解,單調(diào)區(qū)間為,10,例5,證,11,證明：,因此，,單調(diào)減少,f(x) 單調(diào)減少,也就是,12,13,問(wèn)題:如何研究曲線(xiàn)的彎曲方向?,圖形上任意弧段位 于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,14,1. 曲線(xiàn)的凹凸與拐點(diǎn)的定義,定義 1. 設(shè)函數(shù),在區(qū)間 上連續(xù) ,(1) 若恒有,則稱(chēng) 的圖形,是凹的;,(2) 若恒有,則稱(chēng) 的圖形,函數(shù)圖形上凹凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn) .,是凸的 .,15,2、曲線(xiàn)凹凸的判定,定理1,16,證:,利用一階泰勒公式可得,兩式相加,17,例1.判斷曲線(xiàn),的凹凸性.,解:,時(shí),故曲線(xiàn),在,上是向上凹的.,說(shuō)明,(1) 在個(gè)別二階導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn), 若此點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào), 則不改變曲線(xiàn)的凹凸性 .,18,例2,解,注意到,19,例3.求曲線(xiàn),的拐點(diǎn).,解:,不存在,因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線(xiàn),的拐點(diǎn) .,20,（3）判別曲線(xiàn)的凹凸性及拐點(diǎn)的方法步驟： （a）求出 ； （b）求出使 的點(diǎn)及 不存在的點(diǎn)； （c）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號(hào)，從而決定曲線(xiàn) 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。,21,例4.求曲線(xiàn),的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).,解:,1) 求,2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo),令,得,對(duì)應(yīng),3) 列表判別,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及,均為拐點(diǎn).,故該曲線(xiàn)在,上凸,22,證明：,23,24,三、小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.,定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.,應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.,曲線(xiàn)的彎曲方向凹凸性;,凹凸性的判定.,改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn);,拐點(diǎn)的求法1, 2.,25,26,思考題,27,思考題解答,例,28,練 習(xí) 題,29,30,練習(xí)題答案,31,32,思考題,33,思考題解答,不能斷定.,例,但,34,當(dāng) 時(shí)，,