華科王敏老師自控教案第二章.ppt

1,第二章 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2-1 系統(tǒng)的微分方程 2-2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 2-3 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2-4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 2-5 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),2,2.1 系統(tǒng)的微分方程,在實際應(yīng)用中，絕大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用線性微分方程來描述。 用解析法列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟為： 根據(jù)實際工作情況，確定系數(shù)和各元件的輸入、輸出變量。 從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循 的物理、化學(xué)定理，列寫出動態(tài)方程，一般為微分方程。 消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。 標準化。,3,例2-1 設(shè)一彈簧、質(zhì)量塊、阻尼器組成的系統(tǒng)如圖所示，當外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運動。試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的微分方程。,4,解：若彈簧恢復(fù)力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)與外力F(t)不能平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運動，其速度和位移發(fā)生變化。根據(jù)牛頓定理有:,式中 f 阻尼系數(shù), k 彈性系數(shù),由以上所列方程中消去中間變量：,5,2.2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,在一定條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的數(shù)學(xué)模型化為線性模型的處理方法稱為非線性數(shù)學(xué)模型的線性化。,在工程實際中，控制系統(tǒng)都有一個額定的工作狀態(tài)和工作點，當變量在工作點附近作小范圍的變化,且變量在給定的區(qū)域間有各階導(dǎo)數(shù)時，便可在給定工作點的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，忽略級數(shù)中高階無窮小項后，就可得到只包含偏差的一次項的線性方程。這種線性化方法稱為小偏差法。,6,例如，設(shè)非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示，其輸入量為x，輸出量為y，如果在給定工作點y0=f(x0)處各階導(dǎo)數(shù)均存在， 在y0=f(x0)附近將y展開成泰勒級數(shù)：,如果偏差x=x-x0很小，則可忽略級數(shù)中高階無窮小項，上式可寫為,K表示y=f(x)曲線在(x0,y0)處切線的斜率。因此非線性函數(shù)在工作點處可以用該點的切線方程線性化。,7,2.3.1傳遞函數(shù)的定義,線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,若線性定常系統(tǒng)的微分方程為,在初始條件為零時，對上式進行拉氏變換，得,2.3 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,8,2.3.2 傳遞函數(shù)的性質(zhì),1.傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號的能力，反映系統(tǒng)本身的動態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號和初始條件無關(guān)。 2.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，其分子多項式的次數(shù)m低于或等于分母多項式的次數(shù)n，即mn。且系數(shù)均為實數(shù)。 3.在同一系統(tǒng)中，當選取不同的物理量作為輸入、輸出時，其傳遞函數(shù)一般也不相同。傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)。 4.傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。,9,常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積,式中的K稱為傳遞函數(shù)的增益或傳遞系數(shù)（放大系數(shù)）。zj(j=1.2.m)為分子多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點。Pi(1.2.n)為分母多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點。傳遞函數(shù)的分母多項式就是相應(yīng)微分方程式的特征多項式，令該分母多項式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的特征方程。,10,2.3.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),11,2.慣性環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其輸入、輸出間的微分方程為,式中T為時間常數(shù)，K為比例系數(shù) 慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時間上延遲，時間常數(shù)愈大慣性愈大，延遲時間也愈長，時間常數(shù)T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。,在單位階躍輸入時慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當t=3T4T時，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。,12,3.積分環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié)的微分方程是,式中K=1/T，稱為積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，T稱為積分時間常數(shù)。,13,4.振蕩環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是,式中T-時間常數(shù)，-阻尼比，對振蕩環(huán)節(jié)有 01,14,5.微分環(huán)節(jié),理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為 這是一個強度為的理想脈沖。 在實際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。,15,6.純滯后環(huán)節(jié),當輸入作用到環(huán)節(jié)以后，其輸出量要等待一段時間后，才能復(fù)現(xiàn)輸入信號，在時間0到的時間內(nèi)，輸出量為零，這種具有延時效應(yīng)的環(huán)節(jié)稱為純滯后環(huán)節(jié)。純滯后環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達式為,16,2.3.4 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),對于簡單控制系統(tǒng)，在求取傳遞函數(shù)時，可采用直接計算法。即先列寫系統(tǒng)的微分方程，再由拉氏變換求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解 根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式,17,在零初始條件下，對上式進行拉氏變換，得,消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式,由此得出該電路的傳遞函數(shù)為,18,在上述計算過程中，如果先對所列寫的微分方程組作拉氏變換，再消去中間變量，可簡化計算。 在零初始條件下，對方程組取拉氏變換，得到 消去中間變量可得,19,2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它表示系統(tǒng)中各變量所進行的數(shù)學(xué)運算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。采用結(jié)構(gòu)圖，不僅能方便地求取復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而且能形象直觀地表明信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。,2.4.1 結(jié)構(gòu)圖的組成 把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理方塊圖的方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號分別以拉氏變換來表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖，這種圖形既說明了信號之間的數(shù)學(xué)物理關(guān)系，又描述了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)，因此稱之為系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，簡稱為結(jié)構(gòu)圖。,20,信號比較點：表示兩個或多個信號在此代數(shù)相加。 信號比較點的運算關(guān)系為,信號引出點：表示信號引出或測 量的位置。從同一位置引出的信號 在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同。,21,2.4.2 結(jié)構(gòu)圖的畫法 繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下： 1.列寫出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量，同時應(yīng)考慮相鄰元部件之間是否有負載效應(yīng)。 2.在零初始條件下，對各微分方程進行拉氏變換，并將變換式寫成標準形式。 3.由標準變換式利用結(jié)構(gòu)圖的四個基本單元，分別畫出各元部件的結(jié)構(gòu)圖。 4.按照系統(tǒng)中信號的傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,22,例2-3 在例22所示的濾波電路中，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試畫出其結(jié)構(gòu)圖。,解,23,2、將上述方程整理,24,25,2.4.3 結(jié)構(gòu)圖的等效變換,1.串聯(lián)連接方式的等效變換,26,2.并聯(lián)連接方式的等效變換,輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯(lián)。如下圖所示，,并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為,27,3.反饋連接方式的等效變換,將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號進行比較，就構(gòu)成了反饋連接。,28,4.分支點的移動規(guī)則,將分支點跨越元件方塊圖移動時，必須遵循移動前后所得的分支信號保持不變的等效原則。,29,分支點移動的規(guī)則為：若分支點從一個方塊圖的輸入端移到其輸出端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。若分支點從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。,30,5.比較點的移動規(guī)則,如圖(a)所示，當比較點在A處時，總輸出量為 C(s)=G(s)R1(s)-R2(s) 當比較點移到B處時，必須使兩個輸入都經(jīng)過元件方塊圖后再相加，如圖(b)所示，此時 C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s) 與移動前相等，因而兩圖是等效的。,31,當綜合點之間相互移動時，如下圖所示，因為三者輸出都為 C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s) 故它們都是等效的。,可見，互換綜合點的位置，不會影響總的輸入輸出關(guān)系。,32,2.4.4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化,例2-4 簡化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。,解 這是一個沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時不需要將分支點和綜合點作前后移動?？砂春唵未⒉⒙?lián)和反饋連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡化。,33,34,梅遜公式一般形式為,2.4.5 用梅遜(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù),35,例2-5 用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解 圖中共有四個不同回路，其回路傳遞函數(shù)分別為,故 Li=L1+L2+L3+L4,36,在上述四個回路中，互不接觸回路有：L2、L3，它們之間沒有重合的部分，因此有 LiLj= L2L3=(-G2G3H2)(G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3 圖中沒有三個互不接觸回路，故 LiLjLK=0 可得特征式,37,圖中只有一條前向通路，且該前向通路與四個回路均接觸，所以,注意 應(yīng)用梅遜公式可以方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而不必進行結(jié)構(gòu)圖變換。但當結(jié)構(gòu)圖較復(fù)雜時，容易遺漏前向通路、回路或互不接觸回路。因此在使用時應(yīng)特別注意。,38,2.5.1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),定義 反饋信號B(s)與偏差信號E(s)之比，稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，（簡稱開環(huán)傳遞函數(shù)）。 Gk(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s),2.5 反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),39,2.5.2 閉環(huán)傳遞函數(shù),1. r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù),在下圖(a)所示的反饋系統(tǒng)中，為求取r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，可令n(t