曲線曲面積分習(xí)題課.ppt

第二類曲線積分,第一類曲面積分,第二類曲面積分,第一類曲線積分,線面積分總結(jié),曲線積分,曲面積分,對面積的 曲面積分,對坐標(biāo)的 曲面積分,對弧長的 曲線積分,對坐標(biāo)的 曲線積分,定義,計(jì)算,定義,計(jì)算,（一）曲線積分與曲面積分,曲 線 積 分,對弧長的曲線積分,對坐標(biāo)的曲線積分,定義,聯(lián)系,計(jì) 算,三代一定,二代一定 (與方向有關(guān)),與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題,條件,等 價(jià) 命 題,曲 面 積 分,對面積的曲面積分,對坐標(biāo)的曲面積分,定義,聯(lián)系,計(jì) 算,一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān)),一代,二投,三定向 (與側(cè)有關(guān)),曲線積分的計(jì)算法,1. 基本方法,曲線積分,第一類 ( 對弧長 ),第二類 ( 對坐標(biāo) ),(1) 統(tǒng)一積分變量,定積分,用參數(shù)方程,用直角坐標(biāo)方程,用極坐標(biāo)方程,(2) 確定積分上下限,第一類: 下小上大,第二類: 下始上終,（3）計(jì)算,直接計(jì)算法,第一類：從小參數(shù)到大參數(shù)；,第二類：從起點(diǎn)參數(shù)到終點(diǎn)參數(shù)。,化為對L的定位參數(shù)的定積分。,注意：,先化簡；,間接計(jì)算法：,第二類與定向有關(guān)。,用兩類曲線積分的聯(lián)系；,用Green公式或Stokes公式；,兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,其中,（可以推廣到空間曲線上 ）,(1) 利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算 ;,(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件;,(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .,2. 基本技巧,第一類曲線積分的幾何與物理意義 -并注意求曲面?zhèn)让娣e時(shí)面積微元的選取.,2、曲面積分,兩類曲面積分的聯(lián)系,曲面的法向量的方向余弦為,向量點(diǎn)積法,曲面的投影問題:,計(jì)算,直接計(jì)算法,第一類：化為對某兩個(gè)直角坐標(biāo)（的定位參 數(shù)）的二重積分；,第二類：將對x、y的曲面積分化為對x、y的二重積分。,注意：,先化簡；,間接計(jì)算法,用兩類曲面積分的聯(lián)系；,用高斯公式,第二類與定向有關(guān)。,(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程,(2) 積分元素投影,第一類: 始終非負(fù),第二類: 有向投影,(3) 確定二重積分域, 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面,2. 基本技巧,(1) 利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用條件,添加輔助面的技巧,(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面),(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化,例1,解,例2,解,由對稱性, 知,其中由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,從 z 軸正向看沿逆時(shí)針方向.,例3,計(jì)算,其中L為圓周,提示: 利用極坐標(biāo) ,原式 =,說明: 若用參數(shù)方程計(jì)算,則,例4,例5,解,例6. 計(jì)算,其中 為曲線,解: 利用輪換對稱性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原點(diǎn)),求力,沿有向閉曲線 所作的,功, 其中 為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三,提示:,方法1,從 z 軸正向看去沿順時(shí)針方向.,利用對稱性,角形的整個(gè)邊界,例7.,設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向向上,則,方法2,利用斯托克斯公式,思路:,閉合,非閉,閉合,非閉,補(bǔ)充曲線再用公式,解,解,例10,解,例11,解,解,例 13,解,例 14,解,（左右兩片投影相同）,例 15,解,例 16,h,a,Dxy,解：,引入極坐標(biāo),=,.,.,1,1,.,1,解：,例 17,解：,下側(cè)為負(fù)側(cè)。,R, I =,.,用極坐標(biāo).,這是定積分，,.,., I =,.,例 18,a,b,c,解：,由本題變量字母的輪序?qū)ΨQ性知：,.,例 19,2,1,2,1,解：,I =,.,例 20,例21 計(jì)算曲面積分,其中,解:,三、 各種積分之間的聯(lián)系,定積分,二重積分,積分概念的聯(lián)系,曲面積分,曲線積分,三重積分,計(jì)算上的聯(lián)系,線面關(guān)系,理論上的聯(lián)系,1. 定積分與不定積分的聯(lián)系,牛頓-萊布尼茨公式,2. 二重積分與曲線積分的聯(lián)系,格林公式,3. 三重積分與曲面積分的聯(lián)系方向,高斯公式,4. 曲面積分與曲線積分的聯(lián)系,斯托克斯公式,定積分,曲線積分,重積分,曲面積分,計(jì)算,計(jì)算,計(jì)算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,附、 各種積分之間的聯(lián)系圖,梯度,通量,旋度,環(huán)流量,散度,三、場論初步,證明題,證明: 設(shè),(常向量),則,單位外法向向量,試證,特例 設(shè) 是曲面,解: 取足夠小的正數(shù), 作曲面,取下側(cè),使其包在 內(nèi),為 xo