信號(hào)與系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)與z變換分析法(二).ppt

1,信號(hào)與系統(tǒng) (Signal & system) 教師：徐昌彪 ,2004-12-26,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2,5.9 離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換分析法 5.9.1 零輸入響應(yīng) 5.9.2 零狀態(tài)響應(yīng) 5.9.3 全響應(yīng),電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,zi,3,5.9.1 零輸入響應(yīng)(1) n階系統(tǒng),n ai y i = 0,(k + i ) = 0,對(duì)上式作Z變換，整理后得,Yzi ( z ) =,n i = 0,i 1 ai yzi (k )z i k k = 0 n ai z i i = 0,對(duì)Yzi(z)作Z反變換，可得yzi(k),電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,2z 2 7 z 3z z,Yzi ( z ) = 2 = ,y,4,5.9.1 零輸入響應(yīng)(2) 例：求離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yzi (k ) y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = 0 已知yzi (0) = 2， zi (1) = 3 解：作Z變換 z 2 Yzi ( z ) yzi (0) yzi (1)z 1 5zYzi ( z ) yzi (0) + 6Yzi ( z ) = 0 代入已知條件，有 z 5z + 6 z 2 z 3 因此,yzi (k ) = 3 2k 3k,k 0,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,5,5.9.2 零狀態(tài)響應(yīng)(1) yzs (k ) = x(k ) * h(k ),Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) n階系統(tǒng) n m ai y(k + i ) = b j x(k + j ) i =0 j =0,H ( z ) =,m j = 0 n i = 0,b j z j ai z i,Yzs ( z ) =,m j =0 n i = 0,b j z j ai z i, X ( z ) = H ( z ) X ( z ) 電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分, 2,1 k +1,k,6,5.9.2 零狀態(tài)響應(yīng)(2) 例：求離散時(shí)間系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng) h(k ) 和零狀態(tài)響應(yīng) yzs (k ) y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = x(k + 2) 3 x(k ) 已知 x(k ) = U (k ),解：H ( z ) =,z 2 3 z 2 5z + 6,Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) =,z z 2 3 z 1 z 5z + 6,作Z反變換得 h(k ) = (k ) + (2 3k 2k 1 )U (k 1) yzs (k ) = (1 2 + 3 )U (k ) 2,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,i,7,5.9.3 全響應(yīng)(1),n階系統(tǒng),n m ai y(k + i ) = b j x(k + j ) ，作Z變換 i = 0 j = 0,Y ( z ) =,m b j z j j = 0 n ai z i = 0, X ( z ) +,n i = 0,i 1 m j 1 ai y(k )z i k b j x(k )z j k k = 0 j = 0 k = 0 n ai z i i = 0,Y ( z ) = Yzs ( z ) + Yzi ( z ) y(k ) = yzs (k ) + yzi (k ),電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,=,8,5.9.3 全響應(yīng)(2),系統(tǒng)函數(shù),H ( z ) =,bm z m + bm 1 z m 1 + L + b1 z + b0 an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0,零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng),Yzs = X ( z ) H ( z ),Yzi ( z ) =,n i = 0,i 1 ai yzi (k )z i k k = 0 n ai z i i = 0,n i = 0,i 1 m j 1 ai y(k )z i k b j x(k )z j k k = 0 j = 0 k = 0 n ai z i i = 0,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,y y,（,9,5.9.3 全響應(yīng)(3) 例: 對(duì)如下離散時(shí)間系統(tǒng) y(k + 2) 0.7 y(k + 1) + 0.1 y(k ) = 7 x(k + 2) 2 x(k + 1) 已知 x(k ) = U (k ) ， (0) = 9 ， (1) = 13.9 。 （1）求全響應(yīng) （2）求零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，并由此求全響應(yīng) 解： 1）求全響應(yīng) 將差分方程兩端作ZT z 2 Y ( z ) y(0) y(1)z 1 0.7 zY ( z ) y(0) + 0.1Y ( z ) = 7 z 2 X ( z ) x(0) x(1)z 1 2z X ( z ) x(0) 代入已知，整理后得,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,Y ( z ) = 2,10,5.9.3 全響應(yīng)(4) 9z 3 + 4.27 z 2 8.27 z ( z 0.7 z + 0.1)( z 1) 作Z反變換得,y(k ) = 12.5 + 7 0.5k 10.5 0.2k,k 0,（2）求零輸入響應(yīng)響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng) 將差分方程兩端作ZT z 2 Y ( z ) y(0) y(1)z 1 0.7 zY ( z ) y(0) + 0.1Y ( z ) = 7 z 2 X ( z ) x(0) x(1)z 1 2z X ( z ) x(0) 代入已知，整理后得,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,Yzi ( z ) = 2,7 z 2 2z z,Yzs ( z ) = 2 ,11,5.9.3 全響應(yīng)(5) 2z 2 + 8.27 z z 0.7 z + 0.1 z 0.7 z + 0.1 z 1 作Z反變換得,yzi (k ) = 12 0.5k 10 0.2k yzs (k ) = (12.5 5 0.5k 0.5 0.2k )U (k ) y(k ) = yzi (k ) + yzs (k ) = 12.5 + 7 0.5k 10.5 0.2k 電路基礎(chǔ)教學(xué)部,k 0 k 0 2004年12月26日7時(shí)51分,12,5.10 離散系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定性判別 5.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù) 5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,k,2,z ( z + 3),k 3,13,5.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(1) 系統(tǒng)函數(shù)與單位函數(shù)響應(yīng)是Z變換對(duì) h(k ) H ( z ),x(k ) = (k ) yzs (k ) = h(k ) X ( z ) = 1 Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) = H ( z ),h(k ) H ( z ),例： h(k ) = 2 U (k ),H ( z ) = ?,z z 2,H ( z ) = 2,h(k ) = ? 2 (3) U (k 3),電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,=,14,5.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(2) 系統(tǒng)函數(shù)與差分方程 an y(k + n) + an 1 y(k + n 1) + L + a1 y(k + 1) + a0 y(k ) = bm x(k + m ) + bm 1 x(k + m 1) + L + b1 x(k + 1) + b0 x(k ) 在零狀態(tài)下對(duì)上式兩邊作Z變換后，得,H ( z ) =,Yzs ( z ) bm z m + bm 1 z m 1 + L + b1 z + b0 X ( z ) an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,2z + 1 2z + 1,解： H ( z ) = 2 =,+,15,5.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(3) 例：求系統(tǒng) y(k + 2) + 3 y(k + 1) + 2 y(k ) = 2 x(k + 1) + x(k ) 的 單位沖激響應(yīng)h(k ) 。 z + 3z + 2 ( z + 1)( z + 2),=, 1 3 z + 1 z + 2,得 h(k ) = (1)k 1 + 3 (2)k 1 U (k 1),電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,3 2,= 2,16,5.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(4) 例: 試列寫(xiě)出描述離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 已知 h(k ) = 2 (k ) + (3k 2k )U (k 1),解： H ( z ) = 2 +, z 3 z 2,2z 2 9z + 12 z 5z + 6,因此 y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = 2 x(k + 2) 9 x(k + 1) + 12 x(k ),電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,0,t,t,0,t,17,5.10.1 離散系統(tǒng)函數(shù)(5) H(z)的極點(diǎn)分布與h(k)的響應(yīng)模式 j,系統(tǒng)不穩(wěn)定 0,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定 (單極點(diǎn)重極點(diǎn)),系統(tǒng)不穩(wěn)定,0,t 0,0,t,t 系統(tǒng)穩(wěn)定 0 0,t,0,0,t,t,系統(tǒng)不穩(wěn)定,系統(tǒng)不穩(wěn)定,零點(diǎn)對(duì)響應(yīng)模式無(wú)影響，只影響響應(yīng)的幅度與相位,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,18,5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(1) 穩(wěn)定系統(tǒng)的含義 對(duì)于有界的激勵(lì)產(chǎn)生有界的響應(yīng)的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 系統(tǒng)穩(wěn)定性 穩(wěn)定系統(tǒng)：H(z)的極點(diǎn)全部位于z平面單位圓內(nèi)。 不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(z)的極點(diǎn)至少有一個(gè)位于z平面單位圓外，或 在單位圓上有重極點(diǎn)。 臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(z) 的極點(diǎn)位單位圓上，且為單極點(diǎn)。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 H(z)的極點(diǎn)全部位于z平面單位圓內(nèi),電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,D,19,5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(2),穩(wěn)定系統(tǒng)性判別 H ( z ) = 裘利判別法,N ( z ) D( z ),若系統(tǒng)的特征方程為： ( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0 則特征方程的根全部位于z平面單位圓內(nèi)的充要條件是 D(1)0 (-1)nD(-1)0 裘利表（裘利陣列）中奇數(shù)行的第一個(gè)元素大于最后一 個(gè)元素的絕對(duì)值。 對(duì)于二階系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： a2|a0|、D(1)0、D(-1)0,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,20,5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(3) 裘利表（裘利陣列） D( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0,第1行 an 第2行 a0 第3行 bn 1 第4行 b0 第5行 cn 2 第6行 c0 M 直到2n-3行,an 1 L a2 a1 L an 2 bn 2 L b1 b1 L bn 2 cn 3 L c0 c1 L cn 2 M M,a1 an 1 b0 bn 1,a0 an,bn1 = bn 2 = M cn 2 = cn 3 =,an a0 an a0 bn1 b0 bn1 b0,a0 an a1 an1 b0 bn1 b1 bn 2,M,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,s + 1,| z | 1,z =,s 1,s =,z 1,21,5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(4) 雙線性變換判別法 D( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0 令 z = ，則 | z | 1 Re( s) 0 s 1, D( z ) = 0 從而 反之亦然，即, D( z ) | s +1 = 0 Re( s) 0, D( s) = 0 Re( s) 0, D( s) | z +1 = 0 | z | 1,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,1 + z 1,2z 4,2z + 2z 1,z 2,6z 2z + 2,2,(2),22,5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(5) 例：離散系統(tǒng)函數(shù)如下，試確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定,(1) H ( z ) = 1 2z 1 + z 2 (3) H ( z ) = 2,(2) H ( z ) = 2,解：(1),D( z ) = z 2 2z + 1 = 0 z = 1（重極點(diǎn)） 系統(tǒng)不穩(wěn)定 D( z ) = 6z 2z + 2 = 0 a2 = 6 | a0 |= 2,D(1) = 6 0 D(1) = 10 0 系統(tǒng)穩(wěn)定 (3) D( z ) = 2z 2 + 2z 1 = 0 D(1) = 1 0 系統(tǒng)不穩(wěn)定,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,23,5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(6) 例：離散系統(tǒng)的特征方程如下，試確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定 D( z ) = 2z 5 + 2z 4 + 3z 3 + 4z 2 + 4z + 1 = 0 解：D(1) = 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 1 0 (1)n D(1) = (1)n (2 + 2 3 + 4 4 + 1) 0,系統(tǒng)不穩(wěn)定,第1行 第2行 第3行 第4行,2 1 3 6,2 4 0 5,3 4 2 2,4 3 5 0,4 1 2 2 6 3,第5行, 27 30 6,15,第6行,15, 6 30 27,M 電路基礎(chǔ)教學(xué)部,M,M,2004年12月26日7時(shí)51分,24,5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(7) 例：離散系統(tǒng)的特征方程如下 D( z ) = z 2 + z + (2 K 1) = 0 試確定為使系統(tǒng)穩(wěn)定的常數(shù)K的取值范圍。 解：為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須 a2 = 1 | a0 |=| 2 K 1 | D(1) = 1 + 1 + 2 K 1 0 D(1) = 1 1 + 2 K 1 0 即 0 0.5 K 0.5 因此 0.5 K 1,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,) +,25,5.10.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(8) 或者，令 z = s + 1 ，有 s 1,D( z ) z = s +1 s 1,= (,s + 1 2 s + 1 s 1 s 1,+ (2 K 1) = 0,即 (2 K + 1)s 2 + (4 4 K )s + (2 K 1) = 0 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須 2 K + 1 0 4 4 K 0 2 K 1 0 因此 0.5 K 1,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,jkT,jkT,26,5.11 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性(1) 定義 H ( z ) z = e jT = H (e jT ) =| H (e jT ) | e j ( )為離散系統(tǒng)的頻率特性,| H (e jT ) | 為幅頻特性 ( ) 為相頻特性 (z) x(k ) = e yzs (k ) = x(k ) * h(k ) = n= ,H(z)在單位圓上收斂 yzs (k ) = e jkT H (e jT ) =| H (e jT ) | e jkT + ( ) x(n)h(k n) =| H (e jT ) | e jkT + ( ),由此表明：當(dāng)一個(gè)無(wú)時(shí)限復(fù)指數(shù)信號(hào) e,作用于線性系,統(tǒng)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的指數(shù)信號(hào)，其幅度擴(kuò)大 為原來(lái)的| H (e jT ) | 倍，相位增加了 ( ) 。,電路基礎(chǔ)教學(xué)部,2004年12月26日7時(shí)51分,k,27,5.11 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性(2) H (e jT ) =| H (e jT ) | e j ( ),x(k ) = e,jkT,(z),yzs (k ) = e jkT H (e jT ) =| H (e jT ) | e j kT + ( ),x(k ) = A,yzs (k ) = AH (1),x(k ) = A cos( 0 kT + ),yzs (k ) = A | H (e jT ) | cos0 kT + + ( ),x(k ) = A sin( 0 kT + ),yzs (k ) = A | H (e j0T ) | sin0 kT + + (0 ),條件1：H(z)在單位圓上收斂,x(k ) = a,yzs (k ) = H (a )a k,條件2：a在H(z)的收斂域內(nèi),電路基礎(chǔ)教學(xué)