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文檔簡介

第四章 4.1矩陣的特征值與特征向量,4.1 特征值與特征向量,一 、特征值與特征向量的概念,定義1 設(shè)A是n階矩陣 如果數(shù)和n維非零列向量 x 使 Axx 成立 則數(shù) 稱為方陣 A 的特征值 非零列向量 x 稱為A 的 對應(yīng)于特征值 的特征向量,注：(1) 特征向量 x0與特征值都是對于方陣而言; (2) 一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值;而與特征值對應(yīng) 特征向量不唯一。,二 、特征值與特征向量的求法,定義2,稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式.,稱為矩陣A的特征方程.,特征方程|AI|0的根就是矩陣A的特征值 齊次方程(AI)x0的非零解x就是A的對應(yīng)于特征值的 特征向量,例1 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征多項(xiàng)式為,所以A的特征值為12 231,得基礎(chǔ)解系p2(121)T,得基礎(chǔ)解系p1(0 0 1)T,對于12 解方程(A2I)x0,所以kp1(k0)是對應(yīng)于12的全部特征向量,對于231 解方程(AI)x0,所以kp2(k0)是對應(yīng)于231的全部特征向量,例2 求矩陣 的特征值和特征向量,解,A的特征多項(xiàng)式為,所以A的特征值為11 232,得基礎(chǔ)解系,得基礎(chǔ)解系p1(1 0 1)T,對于11 解方程(AI)x0,所以對應(yīng)于11的全部特征向量為kp1(k0),對于232 解方程(A2I)x0,所以對應(yīng)于232的全部特征向量為k2 p2k3 p3(k2 k3不全為0),p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T,三 、特征值與特征向量的性質(zhì),例3 設(shè)是方陣A的特征值 證明 (1) 2是A2的特征值,證明,因?yàn)槭茿的特征值,故有p0,使App,于是,(1)A2p,2p,(Ap),A(p),A(Ap),所以2是A2的特征值,因?yàn)閜0 知

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