chapter41定義性質(zhì).pps

第四章 拉普拉斯變換與S域分析,物理與電子工程系 高珊,棗莊學(xué)院,2019/7/13,2,主要內(nèi)容,4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 4.3 拉氏變換的基本性質(zhì) 4.4 拉氏逆變換 4.5 用拉氏變換法分析電路、s域元件模型 4.6 系統(tǒng)函數(shù)H（s） 4.78 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時(shí)域特性、頻響特性 4.9 二階諧振系統(tǒng)的s平面分析（略） 4.10 全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零極點(diǎn)分布 4.11 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 4.12 雙邊拉氏變換（略） 4.13 拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系,2019/7/13,3,拉普拉斯變換的定義,2019/7/13,4,傅氏變換分析法的優(yōu)點(diǎn)： 物理意義明確，是信號分析的有效工具。 傅氏變換的不足： (1)要求信號滿足狄里赫利條件(滿足絕對可積條件)。使一般周期信號，階躍函數(shù)等只能借助于廣義函數(shù)(奇異函數(shù)(t)求得傅氏變換，但仍有一些函數(shù)無法有傅里葉變換,如eat , (a0) ； (2)求傅氏反變換有時(shí)比較麻煩； (3)只能求解零狀態(tài)響應(yīng)。(FT與初始狀態(tài)無關(guān)),連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析方法,2019/7/13,5,拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）可以解決上述問題 信號不滿足絕對可積條件的原因是 解決的方法： 一.引進(jìn)廣義函數(shù)(傅氏變換) 二.拉氏變換(無需引進(jìn)廣義函數(shù)),連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析方法,若 不滿足狄里赫利條件，為了獲得變換域中的函數(shù)，用實(shí)指函數(shù) 去乘 。只要 取得合適，幾乎所有常用的函數(shù)都可以滿足絕對可積的條件。稱 為衰減因子；稱 為收斂因子,2019/7/13,6,拉氏變換的定義從傅氏變換到拉氏變換,有幾種情況不滿足狄里赫利條件： u(t) 增長信號 周期信號,若乘一衰減因子 , 為任意實(shí)數(shù)，則 收斂，滿足狄里赫利條件,2019/7/13,7,一. 求 的傅氏變換：,顯然，可表示成,記為,拉氏變換的定義,2019/7/13,8,上兩式稱一對拉普拉斯變換式，正變換，反變換,其反變換，為,拉氏變換的定義,2019/7/13,9,拉氏變換擴(kuò)大了信號的變換范圍。,變換域的內(nèi)在聯(lián)系,拉氏變換的定義,2019/7/13,10,拉氏變換的定義,單邊拉氏變換定義,-,2019/7/13,11,拉氏變換的物理意義,拉氏變換是將時(shí)間函數(shù)f(t)變換為復(fù)變函數(shù)F(s)，或作相反變換。 時(shí)域f(t)變量t是實(shí)數(shù)，復(fù)頻域F(s)變量s是復(fù)數(shù)。變量s又稱“復(fù)頻率”。 拉氏變換建立了時(shí)域與復(fù)頻域(s域）之間的聯(lián)系。,看出：將頻率變換為復(fù)頻率s,且只能描述振蕩的重復(fù)頻率，而s不僅能給出重復(fù)頻率，還給出振蕩幅度的增長速率或衰減速率。,2019/7/13,12,拉氏變換的優(yōu)點(diǎn),把線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域模型簡便地進(jìn)行變換，經(jīng)求解再還原為時(shí)間函數(shù)。 拉氏變換是求解常系數(shù)線性微分方程的工具。 （1）求解方程得到簡化。且初始條件自動(dòng)包含在變換式里。 （2）拉氏變換將“微分”變換成“乘法”，“積分”變換成“除法”。即將微分方程變成代數(shù)方程。 拉氏變換將時(shí)域中卷積運(yùn)算變換成“乘法”運(yùn)算。 利用系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的規(guī)律。,2019/7/13,13,從算子法的概念說明拉氏變換的定義,2019/7/13,14,拉氏變換收斂域,使得拉氏變換存在的所有的s的值,統(tǒng)稱為拉氏變換的收斂域,2019/7/13,15,拉氏變換收斂域舉例,2019/7/13,16,(6),2019/7/13,17,拉氏變換收斂域舉例,例:求指數(shù)衰減信號 的拉氏變換。,2019/7/13,18,常用信號的拉氏變換,1,2,3,2019/7/13,19,常用信號的拉氏變換,證明:,對上式進(jìn)行分部積分，令,2019/7/13,20,可見：,依次類推：,特別是n=1時(shí)，有,常用信號的拉氏變換,2019/7/13,21,證明:,常用信號的拉氏變換,2019/7/13,22,常用信號的拉氏變換,2019/7/13,23,常用信號的拉氏變換,2019/7/13,24,第一類： 只有拉氏變換而無付氏變換 如增長的指數(shù)信號(雙曲函數(shù)等) 第二類： 拉氏變換、付氏變換都存在，且,小結(jié)：(拉氏變換有三類情況),如衰減的指數(shù)信號：,2019/7/13,25,第三類： 拉氏變換,付氏變換都存在，但不滿足第二類。 如 的傅氏變換 拉氏變換,小結(jié)：(拉氏變換有三類情況),2019/7/13,26,拉氏變換的性質(zhì)及應(yīng)用,2019/7/13,27,拉氏變換的基本性質(zhì),2019/7/13,28,觀察下列圖形的時(shí)移關(guān)系,(前后一定要呼應(yīng)),2019/7/13,29,解（1）和（2）的單邊拉氏變換相同,2019/7/13,30,2019/7/13,31,2019/7/13,32,例 求鋸齒波的拉氏變換,解：,由時(shí)移性：,2019/7/13,33,所以：,利用時(shí)移性可以求(單邊)周期信號的拉氏變換設(shè)f1(t)表示第一個(gè)周期的函數(shù)，則有,同樣的如臺(tái)階函數(shù),也可以這樣求解,2019/7/13,34,例.求半波正弦函數(shù)的拉氏變換,2019/7/13,35,2019/7/13,36,3,2019/7/13,37,再由比例性,由時(shí)移性,解：信號之間的關(guān)系:,另解,再由時(shí)移性,由比例性,2019/7/13,38,注意：與傅氏變換比較：,與拉氏變換比較：,這里， 可以是實(shí)數(shù)，也可以是虛數(shù)或復(fù)數(shù)。,故可得,4,2019/7/13,39,拉氏變換的基本性質(zhì),證明:由定義,同理可得,5,2019/7/13,40,依此類推,可得,若f(t)為有始函數(shù),則,2019/7/13,41,2019/7/13,42,由題圖可知,所求信號 的拉氏變換不同。 請看P184例題4-4,2019/7/13,43,拉氏變換的基本性質(zhì),證明:由定義,2019/7/13,44,所以,若積分下限由 開始,2019/7/13,45,拉氏變換的基本性質(zhì),證明:,2019/7/13,46,基本公式,復(fù)頻域積分性質(zhì),時(shí)域積分性質(zhì),2019/7/13,47,拉氏變換的基本性質(zhì),2019/7/13,48,拉氏變換的基本性質(zhì),證明:,10,2019/7/13,49,拉氏變換的基本性質(zhì),2019/7/13,50,初值定理?xiàng)l件 必須存在,時(shí)域中意 味著 本身不能包含沖激。 的存在,不影響 的值 , 可把 移去后再應(yīng)用初值定理。即只取真分式。,初值定理例子,2019/7/13,51,可見：,應(yīng)用初值定理先求真分式。(取其真分式部分),推廣到?jīng)_激函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)也不影響零正值。,2019/7/13,52,其極點(diǎn)s=在s平面的右半平面，不能用終值定理。否則得到 是錯(cuò)誤的。,條件是 存在，這相當(dāng)于 的極 點(diǎn)都在復(fù)頻域S平面的左半平面或原點(diǎn)僅有單極點(diǎn)(虛軸上只能在原點(diǎn))。如,終值定理例子,2019/7/13,53,解：因?yàn)?F(s) 的極點(diǎn)為 s=0，-1和-2，滿足終值定理的條件。所以有,求終值首先判斷極點(diǎn)位置,例：已知 ，試求 的終值。,2019/7/13,54,求下列函數(shù)的拉氏變換,2019/7/13,55,解：,。由頻移性，可得,2019/7/13,56,2019/7/13,57,