數(shù)學分析中極限求法探究學年論文.doc

學 年 論 文題 目： 數(shù)學分析中極限求法探究 學 院： 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 學生姓名： 馬建芳 學 號： 201071010243 指導教師： 楊 榮 。- 17 -數(shù)學分析中極限求法探究馬建芳西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院 甘肅蘭州 730070【摘要】極限一直是數(shù)學分析中的一個重點內容，極限思想貫穿于始末，求極限的方法也顯得至關重要。本文主要探討，總結求極限的一般方法并補充利用級數(shù)收斂及利用積分求極限的特殊方法，而且把每一種方法的特點及注意事項作了詳細重點說明，并以實例加以解析，本文通過總結，研究對求極限的各種方法的很多細節(jié)作了具體注解，使方法更具有針對性，技巧性，因此，克服了遇到問題無從下手的缺點，能夠做到游刃有余。【關鍵字】極限 夾逼準則 單調有界 諾必達法則 微分中值定理【abstract】limit has been a focus in mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit method are crucial. this paper mainly discusses the general methods, limit and added a special method of integral limit the convergence of the series and use, and the characteristics of each method and the matters needing attention in detail explained, and examples analysis, this paper summarizes, research on various methods for the limit of the many details for a specific note, make the method more targeted, skills, therefore, had overcome the problem can not start, can do a job with skill and ease.【keywords】limit； squeeze rule； monotone bounded； padiar rule；the differential mean value theorem；一、 極限的定義性質及作用學習數(shù)學分析，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性，因為代數(shù)是人們已經(jīng)熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以為了要利用代數(shù)處理代表無限的量，于是精心構造了“極限”的概念，在“極限”定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數(shù)除以0的麻煩，而引入了一個過程任意小量。就是說，除數(shù)不是零，所以有意義，同時，這個過程小量可以取任意小，只要滿足在的區(qū)間內，都小于該任意小量，我們就說它的極限為該數(shù)，這樣的定義還算比較完整，給出了正確推論的可能。數(shù)列極限的標準定義（數(shù)列極限的定義）：設為數(shù)列，為實數(shù)，若對任意的給定的正數(shù)，總存在正整數(shù),使得當時有 則稱數(shù)列收斂于數(shù)，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作或，讀作“當趨于無窮大時，的極限等于或趨于”.注：關于數(shù)列極限的定義應注意下面幾點：1. 的任意性 上述定義中正數(shù)的作用在于衡量數(shù)列通項與定數(shù)的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正數(shù)可以任意地小，說明與可以接近到任何程度。然而，盡管有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出.2. 的相應性 一般說，隨的變大而變小，因此常把寫作，來強調是依賴于的，但這并不意味著是由所唯一確定的，這里重要的是的存在性，而不在于它的值的大小。3從幾何意義上看，“當時有”意味著：所有下標大于的項都落在鄰域內，而在之外，數(shù)列中的項至多只有個（有限個）。函數(shù)極限的標準定義： (1) 趨于時函數(shù)的極限設為定義在上的函數(shù)，為定數(shù)，若對任給的，存在正數(shù)，使得當時，有則稱函數(shù)當趨于時以為極限，記作或.(2) 趨于時函數(shù)的極限(函數(shù)極限的定義)設函數(shù)在點的某個空心鄰域 內有定義，為定數(shù)，若對任給的，存在正數(shù)，使得當 時有則稱函數(shù)當趨于時以為極限，記作或二、求極限的方法 1. 極限定義求法利用定義法求極限的關鍵是：將通項化為一個常數(shù)與一個含的無窮小之和，從而得到，并借此找到.例1 證明，這里為正數(shù)。證明：由于，若對任給，只要取,則當時，便有 ，即，這就證明了.例2 按極限的定義證明極限 證明：，限制，則.于是，對任意給定的，只要取，則當時，有.故.2. 利用極限的四則運算求極限數(shù)列極限的四則運算法則若與為收斂數(shù)列，也都是收斂數(shù)列，且有特別當為常數(shù)時有 ，函數(shù)極限的四則運算法則若極限和都存在，則函數(shù)， 當時也存在且 又若，則在時也存在，且有通常在這一類題型中，一般都含有未定式，不能直接進行極限的四則運算，首先對函數(shù)進行各種恒等變形。例如分子，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分子，分母有理化消除未定式；通分化簡；化無窮多項的和(或積)為有限項。例3 求，其中.解：若，則顯然有； 若，則由得；若，則.例4 求 的極限解：= 由于 故 又故3. 利用迫斂性求數(shù)列極限 數(shù)列迫斂性定理：設收斂數(shù)列，都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù),當時有 ，則數(shù)列收斂，且. 函數(shù)迫斂性定理：設，且在某內有 則 例5 求數(shù)列的極限解：記，這里，則有 由上式得，從而有 . (1)數(shù)列是收斂于1的，因對任給的，取,則當時有.于是，不等式(1)的左右兩邊的極限皆為1，故由迫斂性證得.例6 利用迫斂性求極限 解：因為，所以當時 ， 又因為由迫斂性得4. 利用兩個重要極限求極限 兩個重要極限是：和.其中的擴展形式為：令，當或時，則有或的擴展形式為：.事實上，令.所以.第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。利用這兩個極限來求函數(shù)的極限時要仔細觀察所給的函數(shù)形式，只有形式符合或經(jīng)過轉化后符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例7 求極限解： 所以=例8 求 的極限解： 注：第二個重要性極限主要搞清楚湊得步驟：先湊出1，在湊，最后湊指數(shù)部分。5. 利用無窮小量的性質求函數(shù)極限無窮小量定義：設在某內有定義.若則稱為當時的無窮小量。由無窮小量的定義可以推得如下性質：(1) 兩個(相同類型的)無窮小量之和、差、積仍為無窮小量.(2) 無窮小量與有界量的乘機為無窮小量.例9 求的極限 解：分析：設，當時，為無窮小量，由于，所以，是有界函數(shù)，利用無窮小量的性質可求得該函數(shù)有極限。 = 06. 利用等價無窮小量替換求函數(shù)的極限若 ，則稱與是當時的等價無窮小量，記作.定理3.12 設函數(shù)，在內有定義，且有.(1) 若，則.(2) 若，則.例10 利用等價無窮小量代換求極限 . 解：由于，而，故有 注：在利用等價無窮小量代換求極限時，應注意：只有對所有求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意替代。7. 利用諾必達法則求極限 利用諾必達法則求極限，由于分類明確，規(guī)律性強，且可連續(xù)進行運算，可以簡化一些較復雜的函數(shù)求極限的過程，但運用時需注意條件。1. 型不定式極限 定理1 若函數(shù)和滿足：(1) ;(2) 在點的某空心鄰域內兩者都可導，且；(3) (可為實數(shù)，也可為或)，則 2. 型不定時極限定理2 若函數(shù)和滿足：(1) ; (2) 在的某右鄰域內兩者都可導，且； (3) (可為實數(shù)，也可為或)， 則 例 11 求 解：這是型不定式極限，可直接運用諾必達法則求解，但若作適當變換，在計算上方便些，為此，令，當時有，于是有例12 求解：注：(1)若不存在，并不能說明不存在。(2)不能對任何比式極限都按諾必達法則求解，首先必須注意它是不是不定式極限，其次是否滿足諾必達法則的其他條件。(3)其他類型的不定式極限還有，等，這些類型經(jīng)過簡單的變換，都可以化為型和型的不定式極限。8. 利用定積分求極限定積分定義：設是定義在上的一個函數(shù)，是一個確定的實數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某一個正數(shù)，使得對的任何分割，以及在其上任意選取的點集，只要，就有則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或黎曼可積；數(shù)j稱為在 上的定積分或黎曼積分，記作.例 13 用定積分求極限 解：原式= = = = = 分析：上述解法是構造法。用逆向思維的方法，將數(shù)列和轉化為黎曼和的形式，從而構造出函數(shù)，將求極限的問題轉化為上的函數(shù)的定積分問題，關鍵技巧有兩方面：提取因子；變形后和式聯(lián)想定積分定義，構造出函數(shù).9.利用泰勒公式極限 常用的泰勒公式有：(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;這種方法是利用泰勒公式將函數(shù)展開后直接帶入或經(jīng)過轉化后帶入要求的極限式中，使得原來的極限問題轉化為多項式或有理分式的極限。例14 求極限 解：本題可用諾必達法則求解，但是較繁瑣，在這里可以應用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們可用麥克勞林公式表示極限的分子（?。﹦t 因而求得 10. 利用導數(shù)的定義求極限導數(shù)的定義：設函數(shù)在點的某鄰域內有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱該極限為函數(shù)函數(shù)在點處的導數(shù)。在該方法的運用過程中，首先要選好，然后把所求的極限表示成在定點的導數(shù).例 15 證明：若存在，則證明：= = = = 11. 利用單調有界準則求極限單調有界定理：在實數(shù)系中，有界的單調數(shù)列必有極限，且唯一。例 16 證明數(shù)列收斂，并求其極限。證明：記 ，易見數(shù)列是遞增的。 現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明有上界.顯然，假設，則有，從而對一切有，即有上界.由單調有界定理，數(shù)列有極限，記為，由于，對上式兩邊取極限得，即有，解得或.由數(shù)列極限的保不等式性，是不可能的，故有.注：利用單調有界準則求極限，關鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項遞推公式求極限。12. 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限函數(shù)連續(xù)的定義：若對任給的，存在，使得當時有則稱函數(shù)在點連續(xù).由上述定義，我們可以得出函數(shù)在點有極限與在點連續(xù)之間的關系，因此，可以利用函數(shù)的連續(xù)性求極限。例 17 求極限解：由于及函數(shù)在處連續(xù)，故13.利用微分中值定理求極限微分中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間內可導；則在內至少存在一點，使得例18 求極限解： 14.利用積分中值定理求極限積分中值定理：若與都在上連續(xù)，且在上不變號，則至少存在一點，使得 例19 求極限 解： 15.利用單側極限求極限形如：(1) 求含的函數(shù)趨向于無窮的極限，或求含的函數(shù)趨于0的極限；(2) 求含取整函數(shù)的函數(shù)極限；(3) 分段函數(shù)在分段點處的極限；(4) 含偶次方根的函數(shù)以及或的函數(shù)，趨向于無窮的極限.這種方法還能用于求分段函數(shù)在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則不存在。例 20 設 ， 求它在處的左極限，而它在處的右極限存在嗎？ 解：(1) ,由于，故 (2)右極限不存在，因為若存在右極限,則，故對某，使得只要，必有，然而由于是振幅為1的振蕩函數(shù)，對于，不妨設，則必存在，使得，則，因而在處的右極限不存在。 參考文獻：1 華東師范大學數(shù)學系編. 數(shù)學分析，第三版.2 華東師大 .數(shù)學分析全程導學及習題全解， 第三版.2 許