大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件7-6.ppt

第六節(jié) 空間直線及其方程,一 空間直線的一般方程,A1 x+B1 y+C1z+D1 =0, A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0,空間直線L可以看作是兩個(gè)平面的交線,如果兩個(gè)相交,的平面1 和2的方程分別為,空間直線的方程不是 唯一的.,二 空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程,方向向量.,則在L直線的點(diǎn)應(yīng)該同時(shí)滿足這兩個(gè)方程.,如果點(diǎn)M不在直線L上,它就不滿足上面 的方程組.由此可見,上面兩個(gè)方程是空間 直線的一般方程.,通過直線L的平面有很多個(gè),上面方程 的形式就不少.因此,如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線,這個(gè)向量稱為,直線的方向向量.由此可見一條直線的方向向量不是唯一,的.任何非零向量只要平行于已知直線,就是該直線的,設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)是直線L上的一點(diǎn),則,過空間一點(diǎn)可作而且只能作一條直線平行于已知直線.,當(dāng)直線L上一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)和它的一個(gè)方向向量S=m,n,p,為已知時(shí),直線L的位置就完全確定了.現(xiàn)在我們來建立這,直線方程.,方向余弦也叫做直線的方向余弦,直線的對(duì)稱式方程中分母可為零,此時(shí)分子也為零.,方程組(2)就是直線L的方程,稱為直線的,對(duì)稱式方程.直線的任一方向向量S的,坐標(biāo)m,n,p叫做這直線的一組方向數(shù).S的,方程組(2)中m,n,p不能同時(shí)為零.為了簡便起見,我們?cè)试S,的參數(shù)方程, t叫做參數(shù).,的方程組為,個(gè)平面的法向量,于是取,不同的t就得到直線上不同的點(diǎn),所以方程組(3)稱為直線,現(xiàn)在我們把直線的一般式方程化為對(duì)稱式方程.設(shè)直線L,1,求出直線L上的任意一點(diǎn)(x0,y0,z0).可先取x=x0,由(4),(5),得到y(tǒng)0,z0,2,求直線L的方向向量S=m,n,p.因?yàn)橹本€L是由方程(4),(5),所確定的兩平面的交線,因此它的方向向量同時(shí)垂直于這兩,最后得到,得到,例1 設(shè)直線的一般方程為,2x-3y+z-5=0,3x+y-2z-2=0.,求這直線的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程.,解:求直線上的一點(diǎn),為了簡便起見,我們?nèi)=0,代入方程組,這直線上的一點(diǎn)為(1,-1,0),2.求直線的方向向量,直線的對(duì)稱式方程,直線的參數(shù)方程,s=x2-x1,y2-y1, z2-z1,所以直線方程為,交線平行,故直線的方向向量同時(shí)和兩平面的法向量垂直.,稱為兩點(diǎn)式方程,例2 求通過兩點(diǎn)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)的直線方程.,解: 因?yàn)橹本€過M1,M2 兩點(diǎn),所以可取它為方向向量,例3 求過點(diǎn)-3,2,5且與兩平面x-4z=8,2x-y-5z=1的交線,平行的直方程.,解: 設(shè)所求直線的方向向量為S=m,n,p而兩平面的法向量,分別為 n1=1,0,-4,n2=2,-1,-5 由于所求直線與平面的,由直線的方向向量知道所求直線方程為,三 兩條直線的夾角,1,定義:兩條直線的方向向量的夾角叫做兩條直線的夾角.,和直線,2,求法 設(shè)有直線,它們的方向向量為,根據(jù)兩向量的夾角余弦公式,可得到直線L1和 L2 的夾角余弦,兩條直線垂直的充分必要條件是,兩條直線平行的充分必要條件是,公式,例4 求兩條直線L1 和 L2的夾角,解:L1和L2的方向向量分別為,故兩直線的夾角為,四 直線與平面的夾角,設(shè)直線L的方程是,平面的方程是 Ax+By+Cz+D=0. 因?yàn)?夾角為/2-或/2+,直線的方向向量S=m,n,p與平面的法向量n=A,B,C的,1,定義: 直線與它在平面上的投影直線的夾角,(0/2)叫做直線與平面的夾角.,直線與平面垂直的充分必要條件是：,直線與平面平行的充分必要條件是,例5 求過點(diǎn)(1,0,-2)且與直線L相互垂直的平面方程,解:先求直線L的對(duì)稱式方程:,設(shè)z=0,則方程為,用克萊姆法則,我們得到,直線上的一點(diǎn)為(1,-1,0),對(duì)稱式方程為,直線的方向向量為5,7,11. 下面,我們求直線上的一點(diǎn).,直線的方向向量為5,7,11,直線上的一點(diǎn)為(1,-1,0直線的,5x+7y+11z+17=0,平面方程.,平面與直線相互垂直,平面的法向量平行直線,所以平面,的法向量同直線的方向向量相同.即為n=5,7,11.,平面的方向向量知道,并知道平面過點(diǎn)(1,0,-2).,于是平面的方程為 5(x-1)+7(y-0)+11(z+2)=0.即為,例6 平面過z軸,且與平面2x+y-5z=0的夾角為/3,求,此平面方程,分析:平面過z軸,則z軸上的任一點(diǎn),例如點(diǎn)O(0,0,0)在所求,的平面上. 因此只需要再求出平面的法向量,即可得到,設(shè)所求平面的法向量為n=Ai+Bj+Ck,因?yàn)閚n1=|n|n1|cos(nn1),n1=2i+j-5k,我們得到,設(shè)所求的平面的法向量為:n,因?yàn)樗蟮钠矫孢^z軸,故有,nk=0. 因?yàn)樗笃矫婧鸵阎矫娴膴A角為/3.平面之間的,夾角為其法向量之間的夾角.設(shè)已知平面的法向量為n1:則有,(n,n1)= /3.可得到所求平面方程.,解: (1)平面過z軸,則點(diǎn)O(0,0,0)是所求平面上的一點(diǎn).,所求平面過z軸,則nk=0.即(Ai+Bj+Ck)(k)=C=0.,所求平面和已知平面夾角為/3,則(nn1)= /3或2 /3,代入n=Ai+Bj+Ck,我們得到所求的平面方程的法向量為,故所求的平面方程為 x+3y=0 或 -3x+y=0,五 雜 例,例6 一平面過點(diǎn)M(1,2,1),且與兩條直線平行,求其方程.,解:,兩直線的方向向量分別為S1和S2,于平面和直線平行由,即平面的法向量和兩直線方向向量垂直,平面的法向量為,故平面方程為:,例7 設(shè)點(diǎn)M1與M2對(duì)稱于直線L,已知點(diǎn)M1(4,3,10),直線為,求點(diǎn)M2的坐標(biāo)(x2,y2,z2),面的交點(diǎn)是3,6,8,解: 過點(diǎn)M1(4,3,10)作平面垂直于直線L,求出平面和直線的,交點(diǎn)坐標(biāo),再應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求出M2的坐標(biāo).,因?yàn)槠矫娲怪敝本€,所以直線的方向向量為平面的法向量.,因此平面方程為2(x-4)+4(y-3)+5(z-10)=0即為 2x+4y+5z-70=0,把直線方程寫成參數(shù)方程形式: x=1+2t,y=2+4t,z=3+5t,代入平面方程得到直線和平面的交點(diǎn).,2(1+2t)+4(2+4t)+5(3+5t)-70=0.,2+4t+8+16t+15+25t-70=45t-45=0 , 得到 t=1 即直線和平,例8 求通過點(diǎn)M1(-1,0,4)并平行于平面3x-4y+z-10=0且與 直線,相交的直線方程.,解: 設(shè)所求直線的方程為,即S1S2M1 M2,它和已知直線相交,所以,該直線和已知直線可組成一平面,點(diǎn)M2(-1,3,0)和點(diǎn)M1都是,該平面上的點(diǎn),它們的連線和組成的新平面的法向量垂直.,它和上面的方程10l-12m-9n=0聯(lián)合得到:,所求的直線平行于已知平面,所以直線的方向向量l,m,n,垂直已知平面3x-4y+z-10=0的法向量.我們有 3l-4m+n=0,處理比較方便,下面介紹這個(gè)方法.,設(shè)直線L是是下列兩個(gè)平面的交線,即,我們把方程(2)乘上,加到方程(1)中得到,例9 求過兩個(gè)平面x+2y-z+1=0與2x-3y+z=0的交線且過點(diǎn),(1,2,3)的平面方程.,解:多個(gè)平面相交于同一直線的問題,采用平面束方法來,設(shè)直線L通過平面方程(4),x+2y-z+1=0與2