數(shù)學(xué)物理方法chapt01.ppt

序言,對(duì)一個(gè)物理問題的處理，通常需要三個(gè)步驟 利用物理定律將物理問題翻譯成數(shù)學(xué)問題； 解該數(shù)學(xué)問題； 將所得的數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯成物理，即討論所得結(jié) 果的物理意義。,數(shù)學(xué)物理方法 主要內(nèi)容,第一章、復(fù)變函數(shù) 第二章、復(fù)變函數(shù)的積分 第三章、冪級(jí)數(shù)展開 第四章、留數(shù)定理 第五章、傅里葉變換 第六章、拉普拉斯變換 第七章、數(shù)學(xué)物理定解問題 第八章、分離變數(shù)法 第九章、二階常微分方程級(jí)數(shù)解法 第十章、球函數(shù),復(fù)變函數(shù)論,數(shù)學(xué)物理方程,第一篇 復(fù)變函數(shù)論,一. 復(fù)數(shù) 二. 復(fù)數(shù)的表示 三. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 四.復(fù)變函數(shù) 五. 導(dǎo)數(shù) 六. 解析函數(shù) 七. 平面標(biāo)量場(chǎng),第一章 復(fù)變函數(shù),復(fù)數(shù)的引入,需特別指出：可以證明當(dāng)有三個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，若要用公式法來求解，則不可能不經(jīng)過負(fù)數(shù)開方(參考：范德瓦爾登著代數(shù)學(xué),丁石孫譯, 科學(xué)出版社，1963年). 至此，我們明白了這樣的事實(shí)，此方程根的求得必須引入虛數(shù)概念. 卡丹諾公式出現(xiàn)于十七世紀(jì)，那時(shí)虛數(shù)的地位就應(yīng)確定下來，但對(duì)虛數(shù)的本質(zhì)還缺乏認(rèn)識(shí).“虛數(shù)”這個(gè)名詞是由十七世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes）正式取定的.“虛數(shù)”代表的意思是“虛假的數(shù)”，“實(shí)際不存在的數(shù)”，后來還有人“論證”虛數(shù)應(yīng)該被排除在數(shù)的世界之外.由此給虛數(shù)披上了一層神秘的外衣.,十八世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler， 1707-1783) 試圖進(jìn)一步解釋虛數(shù)到底是什么數(shù)，他把虛數(shù)稱之為“幻想中的數(shù)”或“不可能的數(shù)”.他在對(duì)代數(shù)的完整性介紹(17681769年在俄國(guó)出版，1770年在德國(guó)出版)一書中說：因?yàn)樗锌梢韵胂蟮臄?shù)或者比零大，或者比零小，或者等于零，即為有序數(shù). 所以很清楚，負(fù)數(shù)的平方根不能包括在可能的有序數(shù)中，就其概念而言它應(yīng)該是一種新的數(shù)，而就其本性來說它是不可能的數(shù). 因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾?因而通常叫做虛數(shù)或幻想中的數(shù)，于是Euler首先引入符號(hào)作為虛數(shù)單位.,十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)初，挪威測(cè)量學(xué)家Wessel(威塞爾)、瑞士的工程師阿爾甘（Argand）以及德國(guó)的數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）等都對(duì)“虛數(shù)”(也稱為“復(fù)數(shù)”)給出了幾何解釋，并使復(fù)數(shù)得到了實(shí)際應(yīng)用. 特別地, 在十九世紀(jì)，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，17891857）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，18151897）、黎曼（Rieman，18261866）.柯西和維爾斯特拉斯分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映像性質(zhì)，經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論.,1.1 復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的無序性,實(shí)數(shù)可以比較大小，是有序的，但復(fù)數(shù)不能比較大小，即復(fù)數(shù)是無序的.,復(fù)數(shù)的共軛,1.2 復(fù)數(shù)的表示,1.2.1 復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)平面,(1)直角坐標(biāo)表示法: 在坐標(biāo)平面xoy上,用點(diǎn)(x,y)表示復(fù)數(shù),復(fù)矢量,xoy,復(fù)平面,例:將 用代數(shù)式,三角式和指數(shù)式表示出來,2 復(fù)數(shù)的幾何表示-復(fù)數(shù)球面,復(fù)平面上的點(diǎn)復(fù)數(shù)球面上的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,1.3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算,1.四則運(yùn)算 兩條基本規(guī)則 a 代數(shù)運(yùn)算規(guī)則 b,復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算也滿足交換律、結(jié)合律和分配律。,2 復(fù)數(shù)的乘冪與方根,兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，其模等于它們模的乘積，其輻角等于它們輻角的和.,復(fù)數(shù)的乘冪,復(fù)數(shù)的方根,例1 求,的根,例3,試確定不等式,所確定的點(diǎn)集是什么圖形？,1.4 復(fù)變函數(shù),1.4.1 復(fù)變函數(shù)的定義 若在復(fù)數(shù)平面(或復(fù)數(shù)球面)上存在一個(gè)點(diǎn)集E,對(duì)于E的每一點(diǎn)(每一個(gè)z值),按照一定的規(guī)律有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值與之相對(duì)應(yīng),則稱 為z的函數(shù)-復(fù)變函數(shù).z稱為 的宗量記做,比較 實(shí)變函數(shù),區(qū)別 a:自從有了復(fù)變函數(shù)論，實(shí)數(shù)領(lǐng)域中的 禁 區(qū)或不能解釋的問題，比如： 負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方； 負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)； 指數(shù)函數(shù)無周期性； 正弦、余弦函數(shù)的絕對(duì)值不能超過1； 等已經(jīng)不復(fù)存在.,b:實(shí)變函數(shù)可以用幾何圖形表示出來; 復(fù)變函數(shù)不能通過同一平面或同一空間上的幾何 圖形表示出來,它的幾何意義是兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)(z平面到w平面的一種映射),1.4.2 區(qū)域的概念,區(qū)域嚴(yán)格的定義是 同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的點(diǎn)集：,(i)全由內(nèi)點(diǎn)組成；,(ii)具有連通性 即點(diǎn)集中的任意兩點(diǎn)都可以用一條折線連接起來且折線的點(diǎn)全都屬于該點(diǎn)集；區(qū)域可用B表示,注：通常所謂某區(qū)域是連通的，即指B中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于B的一條折線連接起來,閉區(qū)域：區(qū)域B及境界線組成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域，用,表示,注：若無特殊聲明區(qū)域僅包含內(nèi)點(diǎn)，不含境界點(diǎn)，區(qū)域指的是開區(qū)域,區(qū)域B邊界閉區(qū)域,1.4.3 復(fù)變函數(shù)的例子,多項(xiàng)式,為正整數(shù),有理分式,為正整數(shù),根式,初等函數(shù)定義式,1.5 導(dǎo)數(shù),設(shè)函數(shù) 是定義于區(qū)域 上的單值函數(shù)， 若 在 上的某點(diǎn) 極限 存在， 且與 的方式無關(guān),則稱函數(shù) 在點(diǎn) 可導(dǎo)，此極限值稱為 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)，記為 或 即,1.5.1,求導(dǎo)公式,1.5.2 柯西黎曼條件（CR條件）,復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件,復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分必要條件,函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) 存在，且連續(xù)，并且滿足C-R條件,1.6 解析函數(shù),若函數(shù) 在點(diǎn) 及其鄰域上處處可 導(dǎo)，則稱 在點(diǎn) 解析,若函數(shù) 在區(qū)域D上的每一點(diǎn)都解析，則稱 是區(qū)域D上的解析函數(shù),1.6.1,復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)解析 某點(diǎn)可導(dǎo) 某點(diǎn)極限存在 某點(diǎn)連續(xù),如何判斷一個(gè)函數(shù)是否解析,函數(shù) 在D內(nèi)解析的充要條件：,a: 及 在D內(nèi)處處可微,b: 及 在D內(nèi)處處滿足C-R條件,1.6.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,調(diào)和函數(shù)：如果在區(qū)域B內(nèi)的實(shí)變函數(shù) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足laplace方程 則稱 為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，其中 是laplace算符,2 共軛調(diào)和函數(shù)： 如果兩個(gè)實(shí)函數(shù) 及 均為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且又滿足C-R條件，則稱 為 的共軛調(diào)和函數(shù),3 解析函數(shù)，調(diào)和函數(shù) 及共軛調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系,解析函數(shù)的兩個(gè)重要特性,a:,b:,已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)，要求構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)的方法,不定積分法(