數(shù)學(xué)建模第一數(shù)模概論.ppt

,數(shù)學(xué)建模 課件,出 品 哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)建模教練組 （沈繼紅 張曉威 高振濱 施久玉 羅躍生 ） 年月,數(shù)學(xué)建模(模型)概述 近半個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的形象有了很大的變化，數(shù)學(xué)已經(jīng)不再單純是數(shù)學(xué)家與少數(shù)物理家、天文學(xué)家、力學(xué)家手中的神秘武器，它越來越深入地應(yīng)用到各行各業(yè)之中，幾乎在人類社會(huì)生活的每個(gè)角落都在顯示它的無窮威力。這一點(diǎn)尤其表現(xiàn)在生物、政治、經(jīng)濟(jì)等數(shù)學(xué)應(yīng)用的非傳統(tǒng)領(lǐng)域。 利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題時(shí)，首先要進(jìn)行的工作是建立數(shù)學(xué)模型，然后才能在此模型的基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行理論求解、分析的研究。,數(shù)學(xué)模型概念 或許我們對(duì)客觀實(shí)際中的模型并不陌生。敵對(duì)雙方在某區(qū)作戰(zhàn)時(shí)，都務(wù)必需要這個(gè)地區(qū)的主體作戰(zhàn)地形模型；在采煤開礦或打井時(shí)，我們需要描述本地區(qū)的地質(zhì)結(jié)構(gòu)的地形圖；出差或旅游到外地，總要買一張注明城市中各種地名及交通路線的交通圖。 一般地說，模型是我們所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬，它應(yīng)當(dāng)具有事物中我們關(guān)心和需要的主要特性。 數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言或工具，對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等等）加以翻譯、歸納的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過演繹、求解以及推斷，給出數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)報(bào)、決策或控制，再經(jīng)過翻譯和解釋，回到現(xiàn)實(shí)世界之中。,最后，這些推斷或結(jié)果必須經(jīng)過實(shí)際的檢驗(yàn)，完成實(shí)踐理論實(shí)踐這一循環(huán)。如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確的或基本正確的，即可用來指導(dǎo)實(shí)際，否則，要重新考慮翻譯、歸納的過程，修改數(shù)學(xué)模型。 下面，我們看一個(gè)簡單的例子！ 一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模型實(shí)例 一輛汽車在拐彎時(shí)急剎車，結(jié)果沖到路邊的溝里（見下圖），交通警察立即趕到了事故現(xiàn)場(chǎng)。司機(jī)申辯說，當(dāng)他進(jìn)入彎道時(shí)剎車失靈，他還一口咬定，進(jìn)入彎道其車速為每小時(shí)英里（這是該路的速度上限，約合每秒.米）。警察驗(yàn)車時(shí)證實(shí)該車的制動(dòng)器在事故發(fā)生時(shí)確實(shí)失靈，然而，司機(jī)所說的車速是否真實(shí)可信呢？,現(xiàn)在，讓我們幫警察計(jì)算一下司機(jī)所報(bào)速度的真實(shí)性。 連接剎車痕跡的初始點(diǎn)和終點(diǎn)，用x表示沿連線汽車橫向所走出的距離，用y表示豎直的距離，如下圖,上面的表中，我們給出了外側(cè)剎車痕跡的有關(guān)值，而且，經(jīng)過測(cè)量還 發(fā)現(xiàn)，該車并沒有偏離它所行駛的轉(zhuǎn)彎路線，也就是說，它的車頭一直指 向切線方向?？梢约僭O(shè)，該車的重心是沿一個(gè)半徑為r的圓做圓周運(yùn)動(dòng)。 假設(shè)磨擦力作用在該車速度的法線方向上，并設(shè)汽車的速度v是一個(gè)常 數(shù)。顯然，磨擦力提供了向心力，設(shè)磨擦系數(shù)為, 則,其中m為汽車質(zhì)量.由上式易得,如何計(jì)算圓周半徑r？假設(shè)已知弦的長度為c，弓形的高度為h，其圖如 下所示，由勾股定理知,由前面的表中代入近似數(shù)據(jù)c=33.27, h=3.55后，得 r=40.75米 根據(jù)實(shí)際路面與汽車輪胎的情況，可以測(cè)量出磨擦系數(shù)，經(jīng)過實(shí)際測(cè)試得到 g=8.175米秒 將此結(jié)果代入我們上面利用第二定律所得到的式子中，得 v18.25米秒 此結(jié)果比司機(jī)所報(bào)速度（17.92米秒）略大。但是，我們不得不考慮計(jì)算半徑r及測(cè)試時(shí)的誤差。如果誤差允許在以內(nèi)，無疑，此計(jì)算結(jié)果對(duì)司機(jī)是相當(dāng)有利的。,建立模型的方法、步驟和模型的分類 建立數(shù)學(xué)模型主要采用機(jī)理分析與統(tǒng)計(jì)分析兩種方法。 .建模準(zhǔn)備 要了解問題的實(shí)際背景、明確建立模型的目地，掌握對(duì)象的各種信息如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對(duì)象的特征。 、模型假設(shè) 根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特性和建立模型的目地，對(duì)問題進(jìn)行必要的簡化。要善于辨別問題的主要和次要方面，抓住主要因素，拋棄次要因素，盡量將問題均勻化、線性化。,。建立模型 根據(jù)所做的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量之間的等式或不等式之間的關(guān)系，列出表格，畫出圖形或確定其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建模時(shí)還有一個(gè)原則，即盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，以便使更多的人能對(duì)你所建立的數(shù)學(xué)模型有所理解并且能夠使用它。 、模型求解 對(duì)上述建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)上的求解，包括解方程、畫出圖形、證明定理以及邏輯運(yùn)算等等，會(huì)用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是有關(guān)計(jì)算機(jī)技術(shù)。 、模型分析 對(duì)上邊求得的模型結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)是根據(jù)問題的性質(zhì)，分析各變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；有時(shí)則根據(jù)所得的結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)測(cè)；有時(shí)我們則給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制。 、模型檢驗(yàn) 這一步是把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇耘c實(shí)用性。,如果檢驗(yàn)的結(jié)果不符合或部分不符合實(shí)際情況，那么，我們必須回到建模之初，修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模，即按上面步驟做到模型檢驗(yàn)這一步；如果檢驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際情況相符，則可進(jìn)行最后的工作模型應(yīng)用。 按照變量的情況，可分為離散型和連續(xù)型模型，也可分為確定型模型和隨機(jī)模型等等；按照時(shí)間變化對(duì)模型的影響，可分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型；按照研究方法和對(duì)象的特征，有初等模型、優(yōu)化