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1.1集合1.1.1集合的含義與表示第1課時(shí)集合的含義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解集合與元素的含義.2.理解集合中元素的特征,并能利用它們進(jìn)行解題.3.理解集合與元素的關(guān)系.4.掌握數(shù)學(xué)中一些常見(jiàn)的集合及其記法知識(shí)點(diǎn)一集合的概念元素與集合的概念(1)把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫(xiě)拉丁字母a,b,c,表示(2)把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集),通常用大寫(xiě)拉丁字母A,B,C,表示知識(shí)點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系思考1是整數(shù)嗎?是整數(shù)嗎?有沒(méi)有這樣一個(gè)數(shù),它既是整數(shù),又不是整數(shù)?答案1是整數(shù);不是整數(shù)沒(méi)有梳理元素與集合的關(guān)系有且只有兩種,分別為屬于、不屬于,數(shù)學(xué)符號(hào)分別為、.知識(shí)點(diǎn)三元素的三個(gè)特性思考某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個(gè)界限清楚的群體?某班身高高于175厘米的男生呢?答案某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成界限清楚的群體,因“帥哥”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn),難以判定該班某男生是否屬于“帥哥”這一群體高于175厘米的男生能構(gòu)成一個(gè)界限清楚的群體,因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)確定梳理元素的三個(gè)特性是指確定性、互異性、無(wú)序性知識(shí)點(diǎn)四常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或NZQR1yx1上所有點(diǎn)構(gòu)成集合A,則點(diǎn)(1,2)A.()20N但0N*.()3由形如2k1,其中kZ的數(shù)組成集合A,則4k1A.()類型一判斷給定的對(duì)象能否構(gòu)成集合例1考察下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合(1)不超過(guò)20的非負(fù)數(shù);(2)方程x290在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解;(3)某班的所有高個(gè)子同學(xué);(4)的近似值的全體考點(diǎn)集合的概念題點(diǎn)集合的概念解(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”,所以能構(gòu)成集合;(2)能構(gòu)成集合;(3)“高個(gè)子”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn),對(duì)于某個(gè)人算不算高個(gè)子無(wú)法客觀地判斷,因此不能構(gòu)成一個(gè)集合;(4)“的近似值”不明確精確到什么程度,因此很難判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不是它的近似值,所以不能構(gòu)成集合反思與感悟判斷給定的對(duì)象能不能構(gòu)成集合,關(guān)鍵在于是否給出一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn),使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象,都能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是給定集合的元素跟蹤訓(xùn)練1下列各組對(duì)象可以組成集合的是()A數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題B小于8的所有素?cái)?shù)C平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)D所有小的正數(shù)考點(diǎn)集合的概念題點(diǎn)集合的概念答案B解析A中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定,不能構(gòu)成集合;B能構(gòu)成集合;C中“一些點(diǎn)”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn),對(duì)于某個(gè)點(diǎn)是否在“一些點(diǎn)”中無(wú)法確定,因此“平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合;D中沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn),所以不能構(gòu)成集合類型二元素與集合的關(guān)系命題角度1判定元素與集合的關(guān)系例2給出下列關(guān)系:R;Q;|3|N;|Q;0N,其中正確的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4考點(diǎn)常用的數(shù)集及表示題點(diǎn)常用的數(shù)集及表示答案B解析是實(shí)數(shù),對(duì);不是有理數(shù),對(duì);|3|3是自然數(shù),錯(cuò);|是無(wú)理數(shù),錯(cuò);0是自然數(shù),錯(cuò)故選B.反思與感悟要判斷元素與集合的關(guān)系,首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用數(shù)集,如N,R,Q,概念要清晰);其次要看待判定的元素是否具有集合要求的條件跟蹤訓(xùn)練2用符號(hào)“”或“”填空_R;3_Q;1_N;_Z.考點(diǎn)常用的數(shù)集及表示題點(diǎn)常用的數(shù)集及表示答案命題角度2根據(jù)已知的元素與集合的關(guān)系推理例3集合A中的元素x滿足N,xN,則集合A中的元素為_(kāi)考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)伴隨元素問(wèn)題答案0,1,2解析xN,N,0x2且xN.當(dāng)x0時(shí),2N;當(dāng)x1時(shí),3N;當(dāng)x2時(shí),6N.A中元素為0,1,2.反思與感悟判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法使用前提:集合中的元素是直接給出的判斷方法:首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成,然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)(2)推理法使用前提:對(duì)于某些不便直接表示的集合判斷方法:首先明確已知集合的元素具有什么特征,然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征跟蹤訓(xùn)練3已知集合A中元素滿足2xa0,aR,若1A,2A,則()Aa4Ba2C4a2D40,a4,4a2.類型三元素的三個(gè)特性的應(yīng)用例4已知集合A有三個(gè)元素:a3,2a1,a21,集合B也有三個(gè)元素:0,1,x.(1)若3A,求a的值;(2)若x2B,求實(shí)數(shù)x的值;(3)是否存在實(shí)數(shù)a,x,使AB.考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值解(1)由3A且a211,可知a33或2a13,當(dāng)a33時(shí),a0;當(dāng)2a13時(shí),a1.經(jīng)檢驗(yàn),0與1都符合要求a0或1.(2)當(dāng)x0,1,1時(shí),都有x2B,但考慮到集合元素的互異性,x0,x1,故x1.(3)顯然a210.由集合元素的無(wú)序性,只可能a30或2a10.若a30,則a3,Aa3,2a1,a210,5,10B.若2a10,則a,Aa3,2a1,a21B.故不存在這樣的實(shí)數(shù)a,x,使AB.反思與感悟元素的無(wú)序性主要體現(xiàn)在:給出元素屬于某集合,則它可能等于集合中的任一元素;給出兩集合相等,則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等元素的互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗(yàn),同一集合中的元素要互不相等跟蹤訓(xùn)練4已知集合M中含有三個(gè)元素:2,a,b,集合N中含有三個(gè)元素:2a,2,b2,且MN,求a,b的值考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值解方法一根據(jù)集合中元素的互異性,有或解得或或再根據(jù)集合中元素的互異性,得或方法二兩個(gè)集合相等,則其中的對(duì)應(yīng)元素相同即集合中的元素互異,a,b不能同時(shí)為零當(dāng)b0時(shí),由得a0或b.當(dāng)a0時(shí),由得b1或b0(舍去)當(dāng)b時(shí),由得a.當(dāng)b0時(shí),a0(舍去)或1下列給出的對(duì)象中,能組成集合的是()A一切很大的數(shù)B好心人C漂亮的小女孩D清華大學(xué)2018年入學(xué)的全體學(xué)生考點(diǎn)集合的概念題點(diǎn)集合的概念答案D2下面說(shuō)法正確的是()A所有在N中的元素都在N*中B所有不在N*中的數(shù)都在Z中C所有不在Q中的實(shí)數(shù)都在R中D方程4x8的解既在N中又在Z中考點(diǎn)常用的數(shù)集及表示題點(diǎn)常用的數(shù)集及表示答案C3由“book”中的字母構(gòu)成的集合中元素個(gè)數(shù)為_(kāi)考點(diǎn)集合中元素的特征題點(diǎn)集合中元素的個(gè)數(shù)答案34下列結(jié)論不正確的是_(填序號(hào))0N; Q; 0Q; 1Z.考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案5已知集合A是由0,m,m23m2三個(gè)元素組成的集合,且2A,求實(shí)數(shù)m的值考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值解由元素互異性知m0,m23m20.由2A可知:若m2,則m23m20,這與m23m20相矛盾;若m23m22,則m0或m3,當(dāng)m0時(shí),與m0相矛盾,當(dāng)m3時(shí),此時(shí)集合A中的元素為0,3,2,符合題意故實(shí)數(shù)m2.1考察對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合,就是要看是否有一個(gè)確定的特征(或標(biāo)準(zhǔn)),依此特征(或標(biāo)準(zhǔn))能確定任何一個(gè)個(gè)體是否屬于這個(gè)總體,如果有,能構(gòu)成集合,如果沒(méi)有,就不能構(gòu)成集合2元素a與集合A之間只有兩種關(guān)系:aA,aA.3集合中元素的三個(gè)特性(1)確定性:指的是作為一個(gè)集合中的元素,必須是確定的,即一個(gè)集合一旦確定,某一個(gè)元素屬不屬于這個(gè)集合是確定的要么是該集合中的元素,要么不是,二者必居其一,這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合(2)互異性:集合中的元素必須是互異的,就是說(shuō),對(duì)于一個(gè)給定的集合,它的任何兩個(gè)元素都是不同的(3)無(wú)序性:集合與其中元素的排列順序無(wú)關(guān),如由元素a,b,c與由元素b,a,c組成的集合是相等的集合這個(gè)性質(zhì)通常用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系一、選擇題1已知集合A由x1的數(shù)構(gòu)成,則有()A3AB1AC0AD1A考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案C解析很明顯3,1不滿足不等式,而0,1滿足不等式2集合A中只有一個(gè)元素a(a0),則()A0ABaACaADaA考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案C解析A中只有一個(gè)元素a且a0,0A,選項(xiàng)A錯(cuò)a為元素,A為集合,故B錯(cuò)誤由已知選C.3下列結(jié)論中,不正確的是()A若aN,則aNB若aZ,則a2ZC若aQ,則|a|QD若aR,則R考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案A解析A不對(duì)反例:0N,0N.4已知x,y為非零實(shí)數(shù),代數(shù)式的值所組成的集合是M,則下列判斷正確的是()A0MB1MC2MD2M考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案D解析當(dāng)x,y為正數(shù)時(shí),代數(shù)式的值為2;當(dāng)x,y為一正一負(fù)時(shí),代數(shù)式的值為0;當(dāng)x,y均為負(fù)數(shù)時(shí),代數(shù)式的值為2,所以集合M中的元素共有3個(gè):2,0,2,故選D.5已知集合S中三個(gè)元素a,b,c是ABC的三邊長(zhǎng),那么ABC一定不是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形考點(diǎn)集合中元素的特征題點(diǎn)集合中參數(shù)的取值范圍答案D解析由元素的互異性知a,b,c均不相等6已知A中元素滿足x3k1,kZ,則下列表示正確的是()A1AB11AC3k21AD34A考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案C解析令3k11,解得k0Z,1A;令3k111,解得kZ,11A;kZ,k2Z,3k21A;令3k134,解得k11Z,34A.7由實(shí)數(shù)x,x,|x|,所組成的集合,最多含()A2個(gè)元素B3個(gè)元素C4個(gè)元素D5個(gè)元素考點(diǎn)集合中元素的特征題點(diǎn)集合中元素的個(gè)數(shù)答案A解析由于|x|x,|x|,x,并且x,x,|x|之中總有兩個(gè)相等,所以最多含2個(gè)元素8由不超過(guò)5的實(shí)數(shù)組成集合A,a,則()AaABa2AC.ADa1A考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)判斷元素與集合的關(guān)系答案A解析a45,aA.a15.a2A.5.A.故選A.二、填空題9下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是_R;D/Q;0N*;|4|D/N*.考點(diǎn)常用的數(shù)集及表示題點(diǎn)常用的數(shù)集及表示答案2解析是實(shí)數(shù),是無(wú)理數(shù),0不是正整數(shù),|4|4是正整數(shù),正確,不正確,正確的個(gè)數(shù)為2.10如果有一集合含有三個(gè)元素:1,x,x2x,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_考點(diǎn)集合中元素的特征題點(diǎn)集合中參數(shù)的取值范圍答案x0,1,2,解析由集合元素的互異性可得x1,x2x1,x2xx,解得x0,1,2,.11已知a,bR,集合A中含有a,1三個(gè)元素,集合B中含有a2,ab,0三個(gè)元素,若AB,則ab_.考點(diǎn)集合中元素的特征題點(diǎn)集合中參數(shù)的取值范圍答案1解析AB,0B,0A.又a0,0,則b0.Ba,a2,01B,a1,a21,a1或1(舍)由元素的互異性知,a1,ab1.三、解答題12已知集合A是由a2,2a25a,12三個(gè)元素組成的,且3A,求實(shí)數(shù)a的值考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值解由3A,可得3a2或32a25a,a1或a.當(dāng)a1時(shí),a23,2a25a3,不滿足集合中元素的互異性,故a1舍去當(dāng)a時(shí),a2,2a25a3,滿足題意實(shí)數(shù)a的值為.13數(shù)集A滿足條件:若aA,則A(a1)(1)若2A,試求出A中其他所有元素;(2)自己設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)屬于A,然后求出A中其他所有元素;(3)從上面的解答過(guò)程中,你能悟出什么道理?并大膽證明你發(fā)現(xiàn)的“道理”考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)伴隨元素問(wèn)題解(1)2A,則A,即1A,則A,即A,則A,即2A,所以A中其他所有元素為1,.(2)如:若3A,則A中其他所有元素為,.(3)分析以上結(jié)果可以得出:A中只能有3個(gè)元素,它們分別是a,且三個(gè)數(shù)的乘積為1.證明如下:若aA,a1,則有A且1,所以又有A且1,進(jìn)而有aA.又因?yàn)閍(因?yàn)槿鬭,則a2a10,而方程a2a10無(wú)解),故,所以A中只能有3個(gè)元素,它們分別是a,且三個(gè)數(shù)的乘積為1.四、探究與拓展14已知集合A中有3個(gè)元素a,b,c,其中任意2個(gè)不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.則集合A中的任意2個(gè)不同元素的差的絕對(duì)值的集合中的元素是_考點(diǎn)元素與集合的關(guān)系題點(diǎn)根據(jù)新定義求集合答案1,2解析由題意知解得集合A0,1,2,則集合A中的任意2個(gè)不同元素的差的絕對(duì)值分別是1,2.故集合A中的任意2個(gè)不同元素的差的絕對(duì)值
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