高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

3.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用導(dǎo)數(shù)求不超過(guò)三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系思考1f(x)x2在(，0)上為減函數(shù)，在(0，)上為增函數(shù)，那么f(x)在(，0)，(0，)上的函數(shù)值的大小如何？答案當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)0.思考2yf(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性與yf(x)在區(qū)間(a，b)上的函數(shù)值的正、負(fù)有何關(guān)系？答案在區(qū)間(a，b)上，f(x)0，則f(x)在(a，b)上為增函數(shù)；在區(qū)間(a，b)上，f(x)0單調(diào)遞增f(x)0，則f(x)仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些1函數(shù)f(x)在定義域上都有f(x)0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增()2函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)越大，函數(shù)在該點(diǎn)處的切線越“陡峭”()3函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大()類型一原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系例1已知函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是圖中的()考點(diǎn)函數(shù)變化的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)根據(jù)原函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)圖象答案C解析由函數(shù)yf(x)的圖象的增減變化趨勢(shì)判斷函數(shù)yf(x)的正、負(fù)情況如下表：x(1，b)(b，a)(a,1)f(x)f(x)由表分析函數(shù)yf(x)的圖象：當(dāng)x(1，b)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸下方；當(dāng)x(b，a)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸上方；當(dāng)x(a,1)時(shí)，函數(shù)圖象在x軸下方故選C.反思與感悟?qū)τ谠瘮?shù)圖象，要看其在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則在此區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)值大于零在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則在此區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)值小于零根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)可判定導(dǎo)函數(shù)圖象跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)yf(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為yf(x)，則不等式f(x)0的解集是()A.2,3)B.C.)1,2D.考點(diǎn)函數(shù)變化的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)根據(jù)原函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)圖象答案A解析求f(x)0的解集，即求函數(shù)f(x)在上的單調(diào)減區(qū)間由題干圖象可知yf(x)的單調(diào)減區(qū)間為，2,3)類型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)f(x)2x33x236x1；(2)f(x)3x22lnx.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間解(1) f(x)6x26x36.由f(x)0，得6x26x360，解得x2；由f(x)0，解得3x0，即20，解得x.令f(x)0，即20，解得0x0和f(x)0的區(qū)間為增區(qū)間，定義域內(nèi)滿足f(x)0，(x2)20.由f(x)0，得x3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，)；由f(x)0，得x3.又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，2)(2，)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)和(2,3)類型三含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例3若函數(shù)f(x)kxlnx在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是_考點(diǎn)利用函數(shù)單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxlnx在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，得f(x)k0在(1，)上恒成立因?yàn)閗，而00時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.2若f(x)kxlnx在區(qū)間(1，)上不單調(diào)，則k的取值范圍是_答案(0,1)解析由引申探究1知k0，且1，則0k0(或f(x)0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)遞減遞增由上表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)；單調(diào)遞增區(qū)間是(，)(2)由g(x)x22alnx，得g(x)2x，由已知函數(shù)g(x)為1,2上的減函數(shù)，則g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立，即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，則h(x)2x0，解得x0，故選D.2設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能為()考點(diǎn)函數(shù)變化的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)根據(jù)原函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)圖象答案D解析由f(x)的圖象判斷出f(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增；在(0，)上先增再減再增，在區(qū)間(，0)上f(x)0，在(0，)上先有f(x)0，再有f(x)0.只有D符合3yxlnx在(0,5)上是()A增函數(shù)B減函數(shù)C在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)D在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性答案C解析ylnx1，令y0，則x，當(dāng)0x時(shí)，y時(shí)，y0，所以函數(shù)yxlnx在上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)4已知函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是增函數(shù)，則a的最小值是()A3B2C2D3考點(diǎn)利用函數(shù)單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)答案A解析f(x)3x2a，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是增函數(shù)，f(x)3x2a0在1，)上恒成立，f(x)3x2a在1，)上是增函數(shù)，3x2a312a3a，3a0，a3.5判斷函數(shù)yax31(aR)在(，)上的單調(diào)性考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解y(ax31)3ax2.當(dāng)a0時(shí)，y0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a0和f(x)0在(0，)上恒成立，yxex在(0，)上為增函數(shù)對(duì)于A，C，D都存在x0，使y0恒成立即可，只有選項(xiàng)B符合題意，當(dāng)x(，2)時(shí)，y0恒成立3函數(shù)f(x)xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(，1 B1，)C(0,1 D(0，)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間答案C解析f(x)1(x0)，令f(x)0，解得00，所以在(4,5)上f(x)是增函數(shù)5函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能是()考點(diǎn)函數(shù)變化的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)根據(jù)原函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)圖象答案D解析函數(shù)f(x)在(，0)，(0，)上都是減函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.故選D.6函數(shù)f(x)ax3x在R上為減函數(shù)，則()Aa0Ba1Ca0時(shí)，顯然不合題意，當(dāng)a0時(shí)，成立故a0.7若f(x)，eaf(b)Bf(a)f(b)Cf(a)1考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)比較函數(shù)值的大小答案A解析因?yàn)閒(x)，當(dāng)x(e，)時(shí)，1lnx0，所以f(x)f(b)，故選A.二、填空題8已知函數(shù)f(x)kex1xx2(k為常數(shù))，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線與x軸平行，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案(，0)解析f(x)kex11x，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線與x軸平行，f(0)ke110，解得ke，故f(x)exx1.令f(x)0，解得x0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)9函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式0的解集為_(kāi)考點(diǎn)函數(shù)變化的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系題點(diǎn)根據(jù)原函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)圖象答案(3，1)(0,1)解析由題圖知，當(dāng)x(，3)(1,1)時(shí)，f(x)0，故不等式0的解集為(3，1)(0,1)10已知f(x)在區(qū)間m，m1上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)利用函數(shù)單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)答案1,0解析f(x)，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,1，又f(x)在m，m1上是增函數(shù)，1m0，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是1,011已知函數(shù)f(x)x2axlnx，aR，若函數(shù)f(x)在1,2上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_考點(diǎn)利用函數(shù)單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)答案解析f(x)2xa，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在1,2上是減函數(shù)，所以f(x)0在1,2上恒成立(“”不恒成立)，即2xa0在1,2上恒成立，所以a2x在1,2上恒成立，令g(x)2x，則g(x)20，求證：xsinx.考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明設(shè)f(x)xsinx(x0)，則f(x)1cosx0對(duì)x(0，)恒成立，函數(shù)f(x)xsinx在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)，又f(0)0，f(x)0對(duì)x(0，)恒成立，xsinx(x0)13已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程為6xy70.(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1)由yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2)，知d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程為6xy70，知6f(1)70，即f(1)1，f(1)6.即解得bc3.故所求的解析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得1x1.故f(x)x33x23x2的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，1)四、探究與拓展14函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1)1，對(duì)任意xR，f(x)2x1的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求解不等式答案C解析令g(x)f(x)2x1，則g(x)f(x)2g(1)0時(shí)，x0，即f(x)2x1的解集為(，1)15已知函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6，)內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)利用函數(shù)單調(diào)性求變量題點(diǎn)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)解(1)f(x)x2axa1(x1)x(a1)，令f(x)0，得x1