世紀(jì)金榜二輪專題輔導(dǎo)與練習(xí)專題四第二講.ppt

第二講 數(shù)列的通項(xiàng)與求和,必記公式 1.“基本數(shù)列”的通項(xiàng)公式： (1)數(shù)列-1,1,-1,1,的通項(xiàng)公式是an=_. (2)數(shù)列1,2,3,4,的通項(xiàng)公式是an=_. (3)數(shù)列3,5,7,9,的通項(xiàng)公式是an=_. (4)數(shù)列2,4,6,8,的通項(xiàng)公式是an=_.,(-1)n,n,2n+1,2n,(5)數(shù)列1,2,4,8,的通項(xiàng)公式是an=_. (6)數(shù)列1,4,9,16,的通項(xiàng)公式是an=_. (7)數(shù)列1,3,6,10,的通項(xiàng)公式是an= . (8)數(shù)列 的通項(xiàng)公式是an= .,2n-1,n2,2.常用的拆項(xiàng)公式： (1) (2) (3) (4)若等差數(shù)列an的公差為d,則 =,(5) (6) (7) (8)nn!=(n+1)!-n!.,1.(2013新課標(biāo)全國卷改編)設(shè)首項(xiàng)為1，公比為 的等比 數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=_. 【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1，公比為 Sn= = 所以Sn=3-2an. 答案：3-2an,2.(2013玉溪模擬)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 若 前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為_. 【解析】由 所以a1+a2+an 即 即 解得n+1=121,n=120. 答案：120,3.(2013啟東模擬)對正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的 切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列 的前n項(xiàng)和的公 式Sn=_. 【解析】切線的斜率k=n2n-1-(n+1)2n, 切線方程為y+2n=n2n-1-(n+1)2n(x-2), 令x=0,得an=(n+1)2n+1-n2n-2n=(n+1)2n, 所以 =2n,前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2. 答案：2n+1-2,4.(2013重慶模擬)化簡Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+2 2n-2+2n-1的結(jié)果是_. 【解析】因?yàn)镾n=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1, 2Sn=2n+(n-1)22+(n-2)23+22n-1+2n, 兩式作差,得到Sn=-n+(2+22+2n-1)+2n, 化簡得到正確答案. 答案：2n+1-n-2,5.(2013鹽城模擬)等差數(shù)列an的公差為d,關(guān)于x的不等式 0的解集為0,22,則使數(shù)列an的前n 項(xiàng)和Sn最大的正整數(shù)n的值是_.,【解析】由題意可知，d 因此an從第12項(xiàng)開始an0，所以使an的前n項(xiàng)和Sn最大的 正整數(shù)n的值為11. 答案：11,熱點(diǎn)考向 1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 【典例1】(1)(2013長春模擬)已知數(shù)列an中, a1=1, an= 2an1+1(n2),則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_. (2)已知數(shù)列an與bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,a1=1,b1=2,且對 任意nN*，都有 Tn=2bn-2成立，求數(shù)列an，bn的 通項(xiàng)公式.,【解題探究】 (1)根據(jù)an=2an1+1(n2),可知an+1與an1+1具有什么樣的關(guān) 系？ 提示：an+1=2(an1+1). (2)根據(jù) 能得到an與an1的什么關(guān)系?由此可判斷求 an的方法嗎? 提示: 可用累乘法.,【解析】(1)由an=2an1+1(n2)得an+1=2(an1+1),即 所以數(shù)列an+1是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an + 1=2n, 所以an=2n1. 答案：an=2n1 (2)由 知Sn=n2an, Sn-1=(n-1)2an-1(n2), 兩式相減得an=n2an-(n-1)2an-1, 即(n2-1)an=(n-1)2an-1,所以 所以 = 又a1=1也適合上式，因此 由Tn=2bn-2,所以Tn-1=2bn-1-2(n2), 兩式相減得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1, 所以數(shù)列bn構(gòu)成以b1=2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以 bn=2n.,【互動探究】若題(1)條件變?yōu)閍1=36,an+1-an=2n,試求 的最 小值. 【解析】由an+1-an=2n,得 a2-a1=2, a3-a2=4, a4-a3=6, an-an-1=2(n-1).,將以上n-1個式子累加得 又因?yàn)閍1=36,所以an=n2-n+36, 所以 當(dāng)n=6時， 有最小值11.,【方法總結(jié)】求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見類型及方法 (1)歸納猜想法:已知數(shù)列的前幾項(xiàng),求數(shù)列的通項(xiàng)公式,可采用 歸納猜想法. (2)已知Sn與an的關(guān)系，利用 求an. (3)累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an+1=an+f(n)，其中數(shù)列f(n) 前n項(xiàng)和可求，這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時，常用累加法(疊 加法).,(4)累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系如an+1=g(n)an，其中數(shù)列g(shù)(n)前n 項(xiàng)可求積，此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法). (5)構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如an+1=pan+q(p,q為常數(shù))可化為 (p1)的形式，利用 是以p為 公比的等比數(shù)列求解； 遞推關(guān)系形如 (p為非零常數(shù))可化為 的形式.,【變式備選】已知數(shù)列an滿足a1=2, 則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=_. 【解析】因?yàn)?所以 所以 即,所以數(shù)列 構(gòu)成以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列， 所以 所以an=2. 答案：2,熱點(diǎn)考向 2 裂項(xiàng)相消法求和 【典例2】(2013濰坊模擬)已知數(shù)列an的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形數(shù)陣,數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)a1,a2,a4,a7,構(gòu)成等差數(shù)列bn,Sn是bn的前n項(xiàng)和,且b1=a1=1,S5=15. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ,(1)若數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu) 成公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比相等，已知a9=16，求a50的 值. (2)設(shè) 當(dāng)m-1,1時，對任意nN*， 不等式t2-2mt- Tn恒成立，求t的取值范圍,【解題探究】 (1)求a50需明確的三個問題： a50在數(shù)陣中的位置：_； bn在數(shù)陣中的位置：_； 等差數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的公比：_,公比: _.,第10行第5個數(shù),第n行第一個數(shù),bn=n,q=2,(2)求t的取值范圍的四個步驟： 求Sn：Sn=_； 求Tn： Tn=_； 把Tn看成函數(shù),如何求Tn的最大值? 提示：利用導(dǎo)數(shù)先判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性, 再求Tn的最大值 已知m的取值范圍,如何求t的取值范圍? 提示：把所求問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的函數(shù)求解,【解析】(1)因?yàn)閎n為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,b1=1,S5=15,所以S5=5+10d=15,d=1, 所以bn=1+(n-1)1=n. 設(shè)從第3行起,每行的公比都是q, 且q0,a9=b4q2,4q2=16,q=2, 1+2+3+9=45,故a50是數(shù)陣中第10行第5個數(shù), 則a50=b10q4=1024=160.,(2)因?yàn)?所以 = = =,令f(x)= (x1), f(x)= 當(dāng)x1時,f(x)0,f(x)在1,+)上為減函數(shù), 所以Tn為遞減數(shù)列,Tn的最大值為T1= 所以不等式變?yōu)閠2-2mt-30恒成立， 設(shè)g(m)=-2tm+t2-3,m-1,1, 則 即 解得t3或t-3,【方法總結(jié)】裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意的問題 (1)通項(xiàng)公式形如 (其中a,b1,b2,c為常數(shù)) 用裂項(xiàng)相消法. (2)裂項(xiàng)時要保證裂項(xiàng)前后相等,為此可通過通分檢驗(yàn)裂項(xiàng)的正 確性.,【變式訓(xùn)練】(2013南京模擬)設(shè)an是正數(shù)數(shù)列，其前n項(xiàng) 和Sn滿足 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)令bn= 試求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.,【解析】(1)由a1=S1= (a1-1)(a1+3)及an0得a1=3. 由Sn= (an-1)(an+3),得Sn-1= (an-1-1)(an-1+3). 所以當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1= (an-1)(an+3)- (an-1-1)(an-1+3) = (an2-an-12)+2(an-an-1). 整理,得2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1). 因?yàn)閍n+an-10，所以an-an-1=2，即an是以3為首項(xiàng)、公差 為2的等差數(shù)列，于是an=2n+1.,(2)因?yàn)閍n=2n+1，所以Sn=n(n+2),bn=,熱點(diǎn)考向 3 錯位相減法求和 【典例3】(2013濟(jì)南模擬)已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1-3an= 3n(nN*)，數(shù)列bn滿足 (1)證明數(shù)列bn是等差數(shù)列并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式. (2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn. 【解題探究】 (1)要證明數(shù)列bn是等差數(shù)列只需證明:_. (2)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是: an=_=_, 根據(jù)通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),可用_法求Sn.,bn+1bn=常數(shù),3nbn,(n+2)3n-1,錯位相減,【解析】(1)由 得 所以 所以數(shù)列bn是等差數(shù)列，首項(xiàng)b1=1，公差為 所以,(2)an=3nbn=(n+2)3n-1, 所以Sn=a1+a2+an =31+43+(n+2)3n-1 所以3Sn=33+432+(n+2)3n -得 -2Sn=31+3+32+3n-1-(n+2)3n =2+1+3+32+3n-1-(n+2)3n = 所以,【方法總結(jié)】錯位相減法求和應(yīng)注意的問題 (1)通項(xiàng)公式形如 (其中k1,b1,k2,b2,q為常 數(shù))，用錯位相減法. (2)運(yùn)用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n+1項(xiàng)中 的前n項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時注 意要討論代數(shù)式是否為零.,【變式訓(xùn)練】(2013山東高考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和 為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且 = (為常 數(shù))，令cn=b2n(nN*)求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Rn,【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d， 由S4=4S2,a2n=2an+1得 解得a1=1,d=2， 因此an=2n1,nN*.,(2)由題意知 所以n2時， bn=TnTn1= 故cn=b2n= 所以 則,兩式相減得 整理得 所以數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Rn=,【典例】已知數(shù)列an滿足：a1=1,a2= 且3+(-1)nan+2- 2an+2(-1)n-1=0,nN*. (1)求a3,a4,a5,a6的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)bn=a2n-1a2n-(-1)nln a2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn,【解析】(1)經(jīng)計算a3=3, a5=5,a6= 當(dāng)n為奇數(shù)時,an+2=an+2,即數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,所以 a2n-1=a1+(n-1)2=2n-1; 當(dāng)n為偶數(shù)， 即數(shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所 以 因此，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為,(2)因?yàn)閎n=a2n-1a2n-(-1)nlna2n = = 令 并設(shè)數(shù)列cn,dn的前n項(xiàng)和分別為Tn,Tn. 則,，兩式相減， 得 = = 所以,Tn=-1+2-3+4+(-1)nnln 2, 所以當(dāng)n為偶數(shù)時Tn= 當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn= 所以Tn= 綜上可知，Sn=Tn+Tn=,【方法總結(jié)】條件中含有(1)n題目的求解策略 通項(xiàng)公式形如an=(-1)nn或an=a(-1)n(其中a為常數(shù)，nN*)等正負(fù)交叉項(xiàng)的求和一般用并項(xiàng)法.并項(xiàng)時應(yīng)注意分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論.,分類討論思想 解決數(shù)列中的求和問題 【思想詮釋】 1.主要類型：(1)求和分類討論，如求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和.(2)對等比數(shù)列公比的討論,如求等比數(shù)列前n項(xiàng)和問題中對公比q=1和q1進(jìn)行討論.(3)對項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行討論,如當(dāng)條件中含有(-1)n時應(yīng)討論n的奇偶性.,2.解題思路：結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，全面分析各項(xiàng)變化引起結(jié)論的變化情況進(jìn)行分類討論求解. 3.注意事項(xiàng)：(1)準(zhǔn)確確定分類對象及分類標(biāo)準(zhǔn)，要不重不漏，符合最簡原則.(2)運(yùn)用公式求和時要注意公式成立的條件.,【典例】 (14分)(2013浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列. (1)求d,an. (2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.,【審題】分析信息，形成思路 (1)切入點(diǎn):把a(bǔ)2,a3用a1,d表示,列方程求解. 關(guān)注點(diǎn):公差d有兩個結(jié)果,從而有兩個an. (2)切入點(diǎn):令an0求出變號的項(xiàng). 關(guān)注點(diǎn):需根據(jù)an的正負(fù)分類討論求解.,【解題】規(guī)范步驟，水到渠成 (1)由題意得,5a3a1=(2a2+2)2,2分 d2-3d-4=0, 解得d=-1或d=4， 所以an=-n+11或an=4n+6.5分 (2)設(shè)數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn, 因?yàn)閐0,所以d=-1,an=-n+11,則 由an0,即-n+110得n11. 所以當(dāng)n11時,an0,n12時,an0.7分,所以n11時，|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn 10分 n12時，|a1|+|a2|+|a11|+|a12|+|an|=a1+a2+a11- a12-an =S11-(Sn-S11) =-Sn+2S11= 綜上所述，|a1|+|a2|+|an| 14分,【點(diǎn)題】規(guī)避誤區(qū)，失分警示,【變題】變式訓(xùn)練，