CHP3.2隨機(jī)向量隨機(jī)變量的獨(dú)立性.ppt

第三章,隨機(jī)變量與分布函數(shù),第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布,第二節(jié) 隨機(jī)變量與隨機(jī)向量的獨(dú)立性,第三節(jié) 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布,第二節(jié) 隨機(jī)變量及隨機(jī)向量的獨(dú)立性,一、隨機(jī)向量及其分布,二、邊際分布,三、條件分布,四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性,一、隨機(jī)向量及其分布,構(gòu)成一個(gè)n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量。,定義,若隨機(jī)變量 定義在同一概率空間 上，則稱,把它們作為一個(gè)隨機(jī)向量，我們不僅能研究各個(gè)分量的性質(zhì)，而且可以考察它們之間的聯(lián)系，對(duì)許多問題來說，這是十分必要的。,對(duì)于任意的n個(gè)實(shí)數(shù),定義,稱 n 元函數(shù),為隨機(jī)向量 的（聯(lián)合）分布函數(shù)。,亦即對(duì)于 中的 n 維矩形 ，有,利用測(cè)度論的方法還可以證明，若 為 上任一博雷爾點(diǎn)集，也有,以后，我們將要用到這個(gè)結(jié)論。,給出了分布函數(shù)以后，我們可以計(jì)算事件,的概率，例如當(dāng) 時(shí)，有,類似于一元的場(chǎng)合，可以證明多元分布函數(shù)的一些性質(zhì),（1）單調(diào)性：關(guān)于每個(gè)變?cè)菃握{(diào)不減函數(shù)。,（2）,（3） 關(guān)于每個(gè)變?cè)筮B續(xù)。,在二元場(chǎng)合，還應(yīng)該有：對(duì)任意 ，都有,（4）,性質(zhì)（4）能推出單調(diào)性，但存在著反例說明，由單調(diào)性并不能保證（4）式成立。這是多元場(chǎng)合與一元場(chǎng)合的不同之處。,隨機(jī)向量也有不同類型，最常見的也是離散型與連續(xù)型。,在離散型場(chǎng)合，概率分布集中在有限或可列個(gè)點(diǎn)上，重要的離散型分布有多項(xiàng)分布與多元超幾何分布，它們分別是二項(xiàng)分布和超幾何分布往多元場(chǎng)合的推廣。,可以證明：滿足（2），（3），（4）這三條性質(zhì)的二元函數(shù)必為某二元隨機(jī)變量的分布函數(shù)。因此，以后我們稱滿足以上三條性質(zhì)的函數(shù) 為二元聯(lián)合分布函數(shù)。,重復(fù)這種實(shí)驗(yàn) 次，并假定這些實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的，若以 分別記 出現(xiàn)的次數(shù)，則,這里整數(shù) ，且僅當(dāng) 時(shí)上式才成立，否則為0。,多項(xiàng)分布,在實(shí)驗(yàn)中，若每次實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果為 ，而,且,多元超幾何分布,袋中裝有 號(hào)球 只， ，從中隨機(jī)摸出 只，若以 分別記 號(hào)球的出現(xiàn)數(shù)，則,這里整數(shù) ，且僅當(dāng) 時(shí)上式才成立，否則為0。,以上兩個(gè)分布在抽樣中常用，前者用于有放回場(chǎng)合，后者則用于不放回場(chǎng)合。,在連續(xù)型場(chǎng)合，存在著非負(fù)函數(shù) ，使,這里的 稱為密度函數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件,均勻分布和 元正態(tài)分布是比較常見的多維連續(xù)型分布,均勻分布,若 為 中有限區(qū)域，其測(cè)度 ；則由密度函數(shù),給出的分布稱為 上的均勻分布。,多元正態(tài)分布,若 是 階正定對(duì)稱矩陣，以 表示 的逆矩陣； 表示 的行列式的值。 是任意實(shí)值行向量，則由密度函數(shù),定義的分布稱為 元正態(tài)分布，簡稱為,元正態(tài)分布是最重要的一種多維分布，它在概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過程論中都占有重要地位，具有許多重要性質(zhì)。,元正態(tài)分布地密度函數(shù)可以寫為向量形式：,這里 表示向量 的轉(zhuǎn)置。,二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度函數(shù) 的圖形是一個(gè)鐘形曲面，它與平行于坐標(biāo)平面 的水平平面相交的截口為橢圓，而與平行 于另外兩個(gè)坐標(biāo)平面的豎直平面相交 的截口為正態(tài)曲線。,二維正態(tài)分布的圖形特點(diǎn),二、邊際分布,為方便起見，討論將對(duì)二維場(chǎng)合進(jìn)行，多維時(shí)這些結(jié)論仍然成立。,考慮二維離散型分布的場(chǎng)合，設(shè) 取值 ； 取值 ，記,顯然,此外對(duì)固定的 和 ，有,稱為聯(lián)合概率分布， 稱為邊際分布。,注意：,聯(lián)合分布不能由邊際分布唯一確定，也就是說二維隨機(jī)向量的性質(zhì)不能由它兩個(gè)分量的個(gè)別性質(zhì)來確定，這時(shí)還必須考慮它們之間的聯(lián)系，這也說明了研究多維隨機(jī)向量的作用。,一般地，若 是二維隨機(jī)向量，其分布函數(shù)為 ，我們能由 得出 或 的分布函數(shù)，事實(shí)上，,同理,及 稱為 的邊際分布函數(shù)。,若 是連續(xù)型分布函數(shù)，有密度函數(shù) ，那么,因此 是連續(xù)型分布函數(shù)，其密度函數(shù)為,同理 也是連續(xù)型分布函數(shù)，其密度函數(shù)為,及 稱為 的邊際分布密度函數(shù)。,二元正態(tài)分布（P139）,元正態(tài)分布 時(shí)的特殊情況。相應(yīng)地,二元正態(tài)分布的邊際分布仍為正態(tài)分布。,問題：,均勻分布的邊際分布是否還是均勻分布？,例,設(shè) 服從單位圓 上的均勻分布，試求它的邊際密度函數(shù)。,解,聯(lián)合密度函數(shù)為：,當(dāng) 時(shí)， 故 ；而當(dāng) 時(shí)，,對(duì)稱可得,因而，單位圓上均勻分布的邊際分布不是一維均勻分布。,三、條件分布,對(duì)于多個(gè)隨機(jī)事件可以討論它們的條件概率，同樣地，對(duì)于多個(gè)隨機(jī)變量也可以討論它們的條件分布。,仍對(duì)二維的場(chǎng)合進(jìn)行討論。也還是從離散型開始。,若已知 則事件 的條件概率為,此式定義了隨機(jī)變量 關(guān)于隨機(jī)變量 的條件分布。,在一般情況下，它不同于 ，這表示從 的取值可以得出關(guān)于 的某些信息。,對(duì)于一般隨機(jī)向量 ，我們也想定義條件分布函數(shù),，但是由于會(huì)出現(xiàn) ，因此我們不能像上式一樣簡單地定義。,自然會(huì)想到可以用下式來定義,特別對(duì)于有連續(xù)密度函數(shù)的場(chǎng)合，這定義導(dǎo)出,因此在給定 的條件下， 的分布密度函數(shù)為,因此在給定 的條件下， 的分布密度函數(shù)為,利用積分中值定理， 當(dāng) 時(shí)，,這里當(dāng)然也要求,例,二元正態(tài)分布 ，其中,的條件分布仍然是正態(tài)分布，即,例,若 服從單位圓上的均勻分布，則在 的條件下 的條件分布是區(qū)間 上的均勻分布，即,特別指出，這一條件分布的均值是 的線性函數(shù)，這一結(jié)論在一些統(tǒng)計(jì)問題中很重要。,四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性,定義,設(shè) 是概率空間 上的 個(gè)隨機(jī)變量，如果他們的聯(lián)合分布函數(shù)等于各自邊緣分布函數(shù)之積，即,則稱 相互獨(dú)立。,一族無限多個(gè)隨機(jī)變量稱作相互獨(dú)立的，如果其中任意有限個(gè)相互獨(dú)立。,定理,如果隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，則其中任何一部分隨機(jī)變量仍獨(dú)立。,于是，整體獨(dú)立的多個(gè)隨機(jī)變量是兩兩獨(dú)立的，但其逆命題不真。,定理,隨機(jī)向量 相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng),定理,如果 為離散型隨機(jī)向量，則 與 獨(dú)立的充分必要條件是它的聯(lián)合分布等于邊際分布之積。,定理,如果 為連續(xù)型隨機(jī)向量，則 與 獨(dú)立的充分必要條件是它的聯(lián)合密度等于邊際密度之積。,對(duì)幾乎處處的 成立。,下面，以 為例討論獨(dú)立性定義的種種等價(jià)形式。,若隨機(jī)變量 與 獨(dú)立，則條件分布化為無條件分布。,即由 的取值不能得出任何關(guān)于 的信息。,隨機(jī)向量之間的獨(dú)立性,定義,對(duì)于 維隨機(jī)向量 和 維隨機(jī)向量 ，如果,成立，,則稱 與 相互獨(dú)立。,其中 分別是任意一個(gè) 維和 維的博雷爾點(diǎn)集。,顯然若 與 獨(dú)立，則 的子向量 與 的子向量獨(dú)立,命題,二維正態(tài)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充分必要條件為參數(shù) 。,隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念是概率論中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一，關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量的研究構(gòu)成了概率論的重要課題，我們將在第五章介紹一些基本結(jié)果。,正態(tài)分布的一個(gè)條件,（1） 與 有連續(xù)的密度函數(shù)。,（2） 與 相互獨(dú)立。,彈落點(diǎn)的坐標(biāo) 是一個(gè)二維隨機(jī)變量，若滿足,（3） 的密度函數(shù)在 點(diǎn)的值僅與它到原點(diǎn)的距 離有關(guān)。,則 與 均服從正態(tài)分布。,例,假定在一段確定的時(shí)間內(nèi)，放射性物質(zhì)發(fā)射出的 粒子數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布，如果每個(gè)發(fā)射出的 粒子被記錄下的概率均為 ，且各粒子能否被記錄相互獨(dú)立，求證在這段時(shí)間內(nèi)被記錄下的 粒子數(shù) 與未被記錄下的粒子數(shù) 相互獨(dú)立。