CHP3.2隨機向量隨機變量的獨立性.ppt

第三章,隨機變量與分布函數,第一節(jié) 隨機變量及其分布,第二節(jié) 隨機變量與隨機向量的獨立性,第三節(jié) 隨機變量的函數及其分布,第二節(jié) 隨機變量及隨機向量的獨立性,一、隨機向量及其分布,二、邊際分布,三、條件分布,四、隨機變量的獨立性,一、隨機向量及其分布,構成一個n維隨機變量或n維隨機向量。,定義,若隨機變量 定義在同一概率空間 上，則稱,把它們作為一個隨機向量，我們不僅能研究各個分量的性質，而且可以考察它們之間的聯系，對許多問題來說，這是十分必要的。,對于任意的n個實數,定義,稱 n 元函數,為隨機向量 的（聯合）分布函數。,亦即對于 中的 n 維矩形 ，有,利用測度論的方法還可以證明，若 為 上任一博雷爾點集，也有,以后，我們將要用到這個結論。,給出了分布函數以后，我們可以計算事件,的概率，例如當 時，有,類似于一元的場合，可以證明多元分布函數的一些性質,（1）單調性：關于每個變元是單調不減函數。,（2）,（3） 關于每個變元左連續(xù)。,在二元場合，還應該有：對任意 ，都有,（4）,性質（4）能推出單調性，但存在著反例說明，由單調性并不能保證（4）式成立。這是多元場合與一元場合的不同之處。,隨機向量也有不同類型，最常見的也是離散型與連續(xù)型。,在離散型場合，概率分布集中在有限或可列個點上，重要的離散型分布有多項分布與多元超幾何分布，它們分別是二項分布和超幾何分布往多元場合的推廣。,可以證明：滿足（2），（3），（4）這三條性質的二元函數必為某二元隨機變量的分布函數。因此，以后我們稱滿足以上三條性質的函數 為二元聯合分布函數。,重復這種實驗 次，并假定這些實驗是相互獨立的，若以 分別記 出現的次數，則,這里整數 ，且僅當 時上式才成立，否則為0。,多項分布,在實驗中，若每次實驗的可能結果為 ，而,且,多元超幾何分布,袋中裝有 號球 只， ，從中隨機摸出 只，若以 分別記 號球的出現數，則,這里整數 ，且僅當 時上式才成立，否則為0。,以上兩個分布在抽樣中常用，前者用于有放回場合，后者則用于不放回場合。,在連續(xù)型場合，存在著非負函數 ，使,這里的 稱為密度函數，滿足如下兩個條件,均勻分布和 元正態(tài)分布是比較常見的多維連續(xù)型分布,均勻分布,若 為 中有限區(qū)域，其測度 ；則由密度函數,給出的分布稱為 上的均勻分布。,多元正態(tài)分布,若 是 階正定對稱矩陣，以 表示 的逆矩陣； 表示 的行列式的值。 是任意實值行向量，則由密度函數,定義的分布稱為 元正態(tài)分布，簡稱為,元正態(tài)分布是最重要的一種多維分布，它在概率論、數理統計、隨機過程論中都占有重要地位，具有許多重要性質。,元正態(tài)分布地密度函數可以寫為向量形式：,這里 表示向量 的轉置。,二維正態(tài)分布的聯合密度函數 的圖形是一個鐘形曲面，它與平行于坐標平面 的水平平面相交的截口為橢圓，而與平行 于另外兩個坐標平面的豎直平面相交 的截口為正態(tài)曲線。,二維正態(tài)分布的圖形特點,二、邊際分布,為方便起見，討論將對二維場合進行，多維時這些結論仍然成立。,考慮二維離散型分布的場合，設 取值 ； 取值 ，記,顯然,此外對固定的 和 ，有,稱為聯合概率分布， 稱為邊際分布。,注意：,聯合分布不能由邊際分布唯一確定，也就是說二維隨機向量的性質不能由它兩個分量的個別性質來確定，這時還必須考慮它們之間的聯系，這也說明了研究多維隨機向量的作用。,一般地，若 是二維隨機向量，其分布函數為 ，我們能由 得出 或 的分布函數，事實上，,同理,及 稱為 的邊際分布函數。,若 是連續(xù)型分布函數，有密度函數 ，那么,因此 是連續(xù)型分布函數，其密度函數為,同理 也是連續(xù)型分布函數，其密度函數為,及 稱為 的邊際分布密度函數。,二元正態(tài)分布（P139）,元正態(tài)分布 時的特殊情況。相應地,二元正態(tài)分布的邊際分布仍為正態(tài)分布。,問題：,均勻分布的邊際分布是否還是均勻分布？,例,設 服從單位圓 上的均勻分布，試求它的邊際密度函數。,解,聯合密度函數為：,當 時， 故 ；而當 時，,對稱可得,因而，單位圓上均勻分布的邊際分布不是一維均勻分布。,三、條件分布,對于多個隨機事件可以討論它們的條件概率，同樣地，對于多個隨機變量也可以討論它們的條件分布。,仍對二維的場合進行討論。也還是從離散型開始。,若已知 則事件 的條件概率為,此式定義了隨機變量 關于隨機變量 的條件分布。,在一般情況下，它不同于 ，這表示從 的取值可以得出關于 的某些信息。,對于一般隨機向量 ，我們也想定義條件分布函數,，但是由于會出現 ，因此我們不能像上式一樣簡單地定義。,自然會想到可以用下式來定義,特別對于有連續(xù)密度函數的場合，這定義導出,因此在給定 的條件下， 的分布密度函數為,因此在給定 的條件下， 的分布密度函數為,利用積分中值定理， 當 時，,這里當然也要求,例,二元正態(tài)分布 ，其中,的條件分布仍然是正態(tài)分布，即,例,若 服從單位圓上的均勻分布，則在 的條件下 的條件分布是區(qū)間 上的均勻分布，即,特別指出，這一條件分布的均值是 的線性函數，這一結論在一些統計問題中很重要。,四、隨機變量的獨立性,定義,設 是概率空間 上的 個隨機變量，如果他們的聯合分布函數等于各自邊緣分布函數之積，即,則稱 相互獨立。,一族無限多個隨機變量稱作相互獨立的，如果其中任意有限個相互獨立。,定理,如果隨機變量 相互獨立，則其中任何一部分隨機變量仍獨立。,于是，整體獨立的多個隨機變量是兩兩獨立的，但其逆命題不真。,定理,隨機向量 相互獨立，當且僅當,定理,如果 為離散型隨機向量，則 與 獨立的充分必要條件是它的聯合分布等于邊際分布之積。,定理,如果 為連續(xù)型隨機向量，則 與 獨立的充分必要條件是它的聯合密度等于邊際密度之積。,對幾乎處處的 成立。,下面，以 為例討論獨立性定義的種種等價形式。,若隨機變量 與 獨立，則條件分布化為無條件分布。,即由 的取值不能得出任何關于 的信息。,隨機向量之間的獨立性,定義,對于 維隨機向量 和 維隨機向量 ，如果,成立，,則稱 與 相互獨立。,其中 分別是任意一個 維和 維的博雷爾點集。,顯然若 與 獨立，則 的子向量 與 的子向量獨立,命題,二維正態(tài)隨機變量相互獨立的充分必要條件為參數 。,隨機變量的獨立性概念是概率論中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一，關于獨立隨機變量的研究構成了概率論的重要課題，我們將在第五章介紹一些基本結果。,正態(tài)分布的一個條件,（1） 與 有連續(xù)的密度函數。,（2） 與 相互獨立。,彈落點的坐標 是一個二維隨機變量，若滿足,（3） 的密度函數在 點的值僅與它到原點的距 離有關。,則 與 均服從正態(tài)分布。,例,假定在一段確定的時間內，放射性物質發(fā)射出的 粒子數服從參數為 的泊松分布，如果每個發(fā)射出的 粒子被記錄下的概率均為 ，且各粒子能否被記錄相互獨立，求證在這段時間內被記錄下的 粒子數 與未被記錄下的粒子數 相互獨立。