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工程中的不確定性 統(tǒng)計與概率,了解統(tǒng)計與概率的基本知識 數(shù)據(jù)表達方法 離散和連續(xù)分布 正態(tài)分布及查表 單獨事件和多重事件的概率 從散亂數(shù)據(jù)中獲得其變化規(guī)律。 統(tǒng)計與概率在統(tǒng)計過程控制以及公差上的應(yīng)用。,學習目標：,概述,不確定性是人類生產(chǎn)生活中的重要組成部分。在工程設(shè)計中，如果能夠?qū)Σ淮_定性進行量化分析并能預測不確定性的水平，將對設(shè)計和制造產(chǎn)生重大影響。,工程設(shè)計中的不確定性可以分成兩種: 概率問題：當一個系統(tǒng)模型的參數(shù)是已知的，我們可以根據(jù)這些參數(shù)來推導出系統(tǒng)的行為。 統(tǒng)計問題：當一個系統(tǒng)模型的參數(shù)是未知的，需要通過對獲取的數(shù)據(jù)進行分析來獲得這些參數(shù)。,假設(shè)某公司年產(chǎn)1000臺發(fā)動機，其中5臺為次品。次品可以通過100%的檢測程序得到消除。如果更換一臺發(fā)動機需要$10,000，而檢測一臺需要 $100，相應(yīng)的費用為: 檢測: 1000 * $100 = $100,000 更換: 5 * $10,000 = $50,000 顯然，更換的費用低。如果次品數(shù)超過10，檢測將會更經(jīng)濟。因此, 公司必須對加工工程有一個很好的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，以便獲得發(fā)生次品概率的大小，從而決定采用哪種方案（檢測或更換）更加經(jīng)濟。 在工程設(shè)計的整個過程中，都將應(yīng)用統(tǒng)計與概率。,例,統(tǒng)計,統(tǒng)計數(shù)據(jù)表示 最簡單的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以從一個量的重復測量得到，如：人的身高、體重、氣溫等。 這樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)通常是一列數(shù)字，而這樣的一列數(shù)字一般是很抽象的，需要通過可視化的方法加以形象表達。,常用的可視化表達方法： 直方圖 直方圖是用來表達數(shù)據(jù)最簡單的方法。 直方圖將數(shù)據(jù)按區(qū)間組合，并以圖形形式顯示出來。 累積分布 以圖形形式顯示小于指定值的數(shù)據(jù)數(shù)量。,統(tǒng)計數(shù)據(jù)表達方法,一個班28個學生的成績數(shù)據(jù)如下： 70, 73, 74, 76, 76, 76, 76, 77, 77, 77, 78, 78, 79, 79,83, 83, 84, 85, 86, 87, 89, 89, 90, 90, 92, 92, 93, 97 成績數(shù)據(jù)已經(jīng)按大小順序排列。將它們分成6個區(qū)間，有： 區(qū)間 學生數(shù) 累積數(shù) 70-74: 3 3 75-79: 11 14 80-84: 3 17 85-89: 5 22 90-94: 5 27 95-99: 1 28,例,Distribution,圖形化的表示使得我們對數(shù)據(jù)有更深入的理解。 為了能夠更簡單地對數(shù)據(jù)進行比較分析，必須采用一些更加實用的參數(shù)。 下面將定義一些常用的統(tǒng)計術(shù)語,1、均值:,3、方差：標準偏差數(shù)的平方,4、標準偏差 :,對離散分布:,2、眾數(shù): 一組中出現(xiàn)最頻繁的數(shù),5、極差：xi 中最大值與最小值之間的差,分母上的 N-1 往往會帶來混淆。 原因：當用有限采樣來評估大的群體時，采用N-1能得到更好評估效果。,方差,對于前面的例子: 70, 73, 74, 76, 76, 76, 76, 77, 77, 77, 78, 78, 79, 79,83, 83, 84, 85, 86, 87, 89, 89, 90, 90, 92, 92, 93, 97 N = 28 均值為 82.35 方差為 51.20 標準偏差為 7.15 極差為： 97-70=27,課堂 練習 (5 分鐘),課堂練習 1,給出如下數(shù)據(jù): 51,53,54,56,56,56,56,57,57,57,58,59,63, 63,64,65,66,67,69,69,70,72,72,72,73,76 (a) 用六個區(qū)間繪制直方圖. (b) 繪制累積分布圖.,課堂練習 1,給出如下數(shù)據(jù): 51,53,54,56,56,56,56,57,57,57,58,59,63, 63,64,65,66,67,69,69,70,72,72,72,73,76 (a) 用六個區(qū)間繪制直方圖. (b) 繪制累積分布圖.,52 57 62 67 72 77,12 10 8 6 4 2 0,51-55 3 3 56-60 9 12 61-65 4 16 66-70 5 21 71-75 4 25 76-80 1 26,區(qū)間 N CN,課堂練習 1,在一個數(shù)據(jù)分布中，數(shù)據(jù) xi 出現(xiàn)的頻數(shù)為 fi ，有：,均值:,方差:,離散分布:,注意一個給定分布的均值與方差以及用有限采樣評估該分布所得到的均值與方差之間的差別。,均值:,方差:,整體,有限采樣,增加測量數(shù)據(jù)和區(qū)間數(shù)量。繪制頻數(shù)圖。,f=測量數(shù)據(jù)的頻數(shù),f,f,連續(xù)分布,連續(xù)分布:,假設(shè)分布中的數(shù)據(jù)量足夠大，我們可以將區(qū)間劃分得任意小。在極限狀態(tài)下，我們可以說概率密度函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù)。 這樣處理能極大地方便計算。有時，即使數(shù)據(jù)量有限，我們也會采用連續(xù)分布來處理。,當區(qū)間數(shù)量趨于無窮大時，將有限求和換成求積分，則可得到連續(xù)分布的均值和方差。 首先，我們標準化這個分布，使得概率密度函數(shù)滿足：,x1 和 x2之間的測量數(shù)據(jù)所占的比例分數(shù),連續(xù)分布:,均值:,方差:,連續(xù)分布:,則有：,幾種常見的分布,均勻分布 正態(tài)分布,定義：均勻分布是指在分布中任何一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率是相同的。如圖在區(qū)間上的均勻分布的概率密度函數(shù)為：,均值,方差,變量代換,均勻分布:,正態(tài)分布,正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種分布，很多現(xiàn)象都可以用正態(tài)分布來描述， 如：工藝誤差、測量誤差、材料特性、應(yīng)力分布、學生成績等都可以認為服從正態(tài)分布。,正態(tài)分布:,正態(tài)分布記為：N(,2)。 通常正態(tài)分布是對稱的。,不斷增大,正態(tài)分布的概率密度函數(shù)可以用下式表示:,正態(tài)分布也稱高斯分布,正態(tài)分布密度函數(shù),正態(tài)分布N(,2)，稱為位置參數(shù)，稱為形狀參數(shù)； 當固定，改變的大小時，正態(tài)分布的密度曲線形狀不變，只是沿著X軸作平移變化； 當固定 ，改變 的大小時，正態(tài)分布的密度曲線的對稱軸不變，而形狀在改變。 越小，圖形越高越瘦； 越大，圖形越矮越胖。,f(x),累積分布為:,給出了位于x左面的面積分數(shù),為值小于（等于）x的概率。累積分布是均值和標準偏差的函數(shù)。,正態(tài)分布:,累積分布函數(shù)變成：,當=0，=1時，稱為標準正態(tài)分布，記為N(0,1)。正態(tài)分布通過變量變換，可以轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)分布 :,其中： 均值為0 標準偏差為1,正態(tài)分布:,分布函數(shù),累積分布函數(shù),標準正態(tài)分布:,正態(tài)分布的累積分布函數(shù)可以通過下面的變換從標準正態(tài)分布中得到：,標準正態(tài)分布:,通過查表，可以獲得累積正態(tài)分布的值,x.xx,x.xx,標準正態(tài)分布:,通常, F(z) 表中的 z0. 對于 z0 ，由于正態(tài)分布的對稱性，有 F(-z)=1-F(z).,標準正態(tài)分布:,例-I,例-I,某值落在在均值的一個標準偏差范圍內(nèi)的概率是多少？,查表可得, F(1)= 0.8413.,F(1)-F(-1)=0.8413-0.1587=0.6826,約30%左右的值落在一個標準偏差范圍之外。,F(-1)=1-F(1)=1-0.8413=0.1587,F(-1),1-F(1),Example-I,例-II,例-II,某值落在在均值的兩個標準偏差范圍內(nèi)的概率是多少？,查表可得, F(2)= 0.9772.,約5%左右的值落在兩個標準偏差范圍之外。,F(2)-F(-2)=F(2)-(1-F(2)=2*F(2)-1 =2*0.9772-1=0.9544,F(-2),1-F(2),例-II,例-III,例-III,例-III,某公司入庫 250個連桿, 抗張強度均值為45 ksi (kilopound square inch，千磅/平方英寸 )， 標準偏差為5 kpsi. 假設(shè)抗張強度服從正態(tài)分布 。 (a) 有多少連桿的抗張強度將低于 39.5 kpsi.,例-III,由于 z0, 我們用公式： F(-1.10)=1-F(1.10)= 1-0.8643=0.1357, （查表）. 于是, 250*0.1357=34 34個連桿的抗張強度將低于 39.5 kpsi,先進行標準化變換:,例-III,某公司入庫 250個連桿, 抗張強度均值為45 ksi (kilopound square inch，千磅/平方英寸 )， 標準偏差為5 kpsi. 假設(shè)抗張強度服從正態(tài)分布 。 (b) 有多少連桿的抗張強度位于39.5kpsi和59.5 kpsi之間？,例-III,由表, F(2.9)=0.9981, 所以抗張強度 大于的概率為 1-0.9981=0.0019. 抗張強度位于39.5kpsi和59.5 kpsi之間的概率為: 1-0.1357-0.0019=0.8624. 于是有 250*0.8624=216 個連桿的抗張強度位于39.5kpsi和59.5 kpsi之間。,先進行標準化變換:,課堂 練習 (5 分鐘),課堂練習 2,500根鋼棒的長度服從正態(tài)分布。其均值為11cm，標準偏差為1