D63三重積分的1計(jì)算.ppt

,第三節(jié),3、球面坐標(biāo)系下,三重積分的計(jì)算,第六章,2、柱面坐標(biāo)系下,1、直角坐標(biāo)系下,復(fù)習(xí)、三重積分的概念,類似二重積分解決問題的思想, 采用,引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的,物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的,可得,“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,解決方法:,質(zhì)量 M .,密度函數(shù)為,定義. 設(shè),存在,稱為體積元素,若對(duì) 作任意分割:,任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù),在 上的三重積分.,在直角坐標(biāo)系下常寫作,三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.,性質(zhì):,例如,下列“乘,中值定理.,在有界閉域 上連續(xù),則存在,使得,V 為 的,體積,積和式” 極限,1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法3 . 三次積分法,先假設(shè)連續(xù)函數(shù),并將它看作某物體,通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算,最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.,的密度函數(shù) ,方法:,方法1. 投影法 (“先一后二” ),該物體的質(zhì)量為,細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為,微元線密度,方法2. 截面法 (“先二后一”),為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,面密度,投影法,方法3. 三次積分法,設(shè)區(qū)域,利用投影法結(jié)果 ,把二重積分化成二次積分即得:,當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí), 因?yàn)?均為為非負(fù)函數(shù),根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.,其中 為三個(gè)坐標(biāo),例1. 計(jì)算三重積分,所圍成的閉區(qū)域 .,解:,面及平面,例2. 計(jì)算三重積分,解:,用“先二后一 ”,例3,解一,先重后單,解二,先單后重,將 投影到 xoy 面得D,例3,例4,解,14,解法一,例5,解法二,例6,解,2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:,坐標(biāo)面分別為,圓柱面,半平面,平面,如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為,因此,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ;,2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,其中 為,例7. 計(jì)算三重積分,所,解: 在柱面坐標(biāo)系下,及平面,由柱面,圍成半圓柱體.,例8. 計(jì)算三重積分,解: 在柱面坐標(biāo)系下,所圍成 .,與平面,其中 由拋物面,原式 =,解,3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,坐標(biāo)面分別為,如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為,因此有,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;,2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,例10. 計(jì)算三重積分,解: 在球面坐標(biāo)系下,所圍立體.,其中,與球面,例11 .計(jì)算積分,其中