(好資料)2007年高考“導數(shù)”題--高考數(shù)學試題全解

2007年高考“導數(shù)”題1(全國) 設函數(shù)（）證明：的導數(shù)；（）若對所有都有，求的取值范圍解：（）的導數(shù)由于，故（當且僅當時，等號成立）（）令，則，（）若，當時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即（）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時，即，與題設相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是2(全國II) 已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（ ）A3B2C1D解：已知曲線的一條切線的斜率為，=，解得x=3或x=2，由選擇項知，只能選A。 已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：解：（1）求函數(shù)的導數(shù)；曲線在點處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點，則存在，使于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程 有三個相異的實數(shù)根記，則 當變化時，變化情況如下表：000極大值極小值由的單調(diào)性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則即3（北京卷）4（天津卷）已知函數(shù)R)，其中R.(I)當時，求曲線在點處的切線方程；(II)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：(I)當時，又所以，曲線在點處的切線方程為 即(II)由于以下分兩種情況討論.(1) 當時，令得到當變化時，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).函數(shù)在處取得極小值且.函數(shù)在處取得極大值且.(2) 當時，令得到.當變化時，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).函數(shù)在處取得極大值且.函數(shù)在處取得極小值且.5(上海卷)6（重慶卷）已知函數(shù)(x0)在x = 1處取得極值3c，其中a,b,c為常數(shù)。（1）試確定a,b的值；(6分)（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(4分)（3）若對任意x0，不等式恒成立，求c的取值范圍。(3分)解：（I）由題意知，因此，從而又對求導得由題意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得當時，此時為減函數(shù)；當時，此時為增函數(shù)因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，而的單調(diào)遞增區(qū)間為（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，從而，解得或所以的取值范圍為7（遼寧卷）已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當時的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（ ）A0是的極大值，也是的極大值B0是的極小值，也是的極小值C0是的極大值，但不是的極值D0是的極小值，但不是的極值解：根據(jù)題意和圖形知當0是的極大值時，不是的極值是不可能的，選C已知函數(shù)，（I）證明：當時，在上是增函數(shù)；（II）對于給定的閉區(qū)間，試說明存在實數(shù)，當時，在閉區(qū)間上是減函數(shù)；（III）證明： ()證明：由題設得又由,且t得t，即0.由此可知，為R上的增函數(shù). 3分()證法一：因為0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)k，使得tk時,0，即t在閉區(qū)間a,b上成立即可.因此y=在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，故在閉區(qū)a,b上有最大值，設其為k，于是在tk時, 0在閉區(qū)間a,b上恒成立，即在閉區(qū)間a,b上為減函數(shù). 7分證法二：因為0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)k，使得tk時,0，在閉區(qū)間a,b上成立即可.令則0()當且僅當0().而上式成立只需即 成立.取與中較大者記為k，易知當tk時，0在閉區(qū)間a,b上恒成立，即在閉區(qū)間a,b上為減函數(shù). 7分()證法一：設易得. 9分令則易知.當x0時, 0;當x0, 0.故當x=0時，取最小值，.所以，于是對任意x、t，有，即.12分證法二：設=，當且僅當0只需證明0，即19分以下同證法一. 12分證法三：設=，則易得當t時, 0; 當t時, 0，故當t =時,取最小值即9分以下同證法一. 12分證法四: 設點A、B的坐標分別為，易知點B在直線y =x上，令點A到直線y =x的距離為d ，則9分以下同證法一. 12分.8（江蘇卷）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則.解：令0，得：2，2，17，（3）1，（2）24，（2）8，所以，M24（8）32.9(廣東卷) 已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導數(shù).設，（n=1,2,） （1）求的值； （2）證明：對任意的正整數(shù)n，都有a；（3）記（n=1,2,），求數(shù)列bn的前n項和Sn。解：(1)解方程x2+x-1=0得x=由知=,=(2) f(x)=2x+1= - = 下面我們用數(shù)學歸納法來證明該結(jié)論成立當n=1時，a1=1=成立，假設n=k(k1, kN*)時，結(jié)論也成立，即ak成立，那么當n=k+1時，=-+-+=+=這就是說，當n=k+1時，結(jié)論也成立，故對于任意的正整數(shù)n，都有an,那么有an，于是對上式兩邊取對數(shù)得ln=ln()2=2 ln()即數(shù)列bn為首項為b1= ln()=2ln( )，公比為2的等比數(shù)列。故其前n項和Sn=2ln( )=2ln( )(2n -1).10(福建卷) 已知對任意實數(shù)，有，且時，則時（ ）ABCD解： 由已知f(x)為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,在對稱區(qū)間的單調(diào)性相同;g(x)為偶函數(shù),在對稱區(qū)間的單調(diào)性相反, x0時f(x)0,g (x) 0,遞增,當x0; g(x)遞減, g(x)0）.（）令F（x）xf（x），討論F（x）在（0.）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當x1時，恒有xln2x2a ln x1.解：（）根據(jù)求導法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值（）證明：由知，的極小值于是由上表知，對一切，恒有從而當時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加所以當時，即故當時，恒有12(湖南卷) 函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 解： 13（湖北卷）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當時，有，即當時，14（江西卷）設函數(shù)是上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（）解： 因為是可導偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于y軸對稱，所以在x=0處取得極值，即，又的周期為5，所以，即曲線 在處的切線的斜率0，選B15（山東卷）設函數(shù)，其中（）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)的極值點；（）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立解：(I) 函數(shù)的定義域為.，令，則在上遞增，在上遞減，. 當時，在上恒成立. 即當時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當時函數(shù)無極值點.（2）當時，時，時，時，函數(shù)在上無極值點。（3）當時，解得兩個不同解，.當時，此時在上有唯一的極小值點.當時，在都大于0 ，在上小于0 ，此時有一個極大值點和一個極小值點.綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；時，有一個極大值點和一個極小值點；時，函數(shù)在上無極值點。（III） 當時，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當時，恒有.即當時，有，對任意正整數(shù)，取得16(陜西卷) f(x)是定義在（0，+）上的非負可導函數(shù)，且滿足,對任意正數(shù)a、b,若ab，則必有A.af(b) bf(a) B.bf(a) af(b)C.af(a) f(b) D.bf(b) f(a)解： 設F（x）=，則，故F（x）=為減函數(shù)，由ab有，選A設函數(shù)f(x)=其中a為實數(shù).()若f(x)的定義域為R,求a的取值范圍;()當f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區(qū)間.解：（）的定義域為，恒成立，即當時的定義域為（），令，得由，得或，又，時，由得；當時，；當時，由得，即當時，的單調(diào)減區(qū)間為；當時，的單調(diào)減區(qū)間為17（四川卷）18（浙江卷）設是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD解：檢驗易知A、B、C均適合，D中不管哪個為均不成立。選D設，對任意實數(shù)，記（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（）當時，對任意正實數(shù)成立；（）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立（I）解：由，得因為當時，當時，當時，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（II）證明：（i）方法一：令，則，當時，由，得，當時，所以在內(nèi)的最小值是故當時，對任意正實數(shù)成立方法二：對任意固定的，令，則，由，得當時，當時，所以當時，取得最大值因此當時，對任意正實數(shù)成立（ii）方法一：由（i）得，對任意正實數(shù)成立即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立下面證明的唯一性：當，時，由（i）得，再取，得，所以，即時，不滿足對任意都成立故有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立方法二：對任意，因為關(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：，即，又因為，不等式成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立19（寧夏、海南卷）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（）解：曲線在點處的切線斜率為，因此切線方程為則切線與坐標軸交點為所以：選 D設函數(shù)（I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明