數(shù)理方程第四章格林函數(shù)法.ppt

下午2時(shí)52分,1,第四章 格林函數(shù)法,分離變量法主要適用于求解各種有界問題，而,傅立葉變換法則主要適用于求解各種無(wú)界問題，,這兩種方法所得到的解一般分別為無(wú)窮級(jí)數(shù)和,無(wú)窮積分的形式。格林函數(shù)法給出的解則是有,限的積分形式，十分便于理論分析和研究。,下午2時(shí)52分,2,格林函數(shù)又稱為點(diǎn)源函數(shù)或影響函數(shù)。顧名思,義，它表示一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和(或)初值條,件下所產(chǎn)生的場(chǎng)或影響。由于任意分布的源所產(chǎn)生的,場(chǎng)均可看成許許多多點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)的疊加，因此格林,函數(shù)一旦求出，就可算出任意源的場(chǎng)。格林函數(shù)法以,統(tǒng)一的方式處理各類數(shù)學(xué)物理方程，既可以研究常微,分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齊次方,程又可以研究非齊次方程；既可以研究有界問題，又,可以研究無(wú)界問題。它的內(nèi)容十分豐富，應(yīng)用極其廣,泛。這一章，我們主要介紹用格林函數(shù)求解拉普拉斯,方程的邊值問題。,下午2時(shí)52分,3,4.1 格林公式及其應(yīng)用,4.1.1 基本解,對(duì)拉普拉斯方程, 其球坐標(biāo)形式為：,(4.1.1),求方程(4.1.1)的球?qū)ΨQ解,(即與,和,無(wú)關(guān)的解) ,則有：,其通解為：,為任意常數(shù))。,若取,則得到特解,稱此解為三維Laplace,方程的基本解,它在研究三維拉普拉斯方程中起著重要的作用.,下午2時(shí)52分,4,對(duì)二維拉普拉斯方程,其極坐標(biāo)形式為:,(4.1.2),求方程(4.1.2)的徑向?qū)ΨQ解,(即與,無(wú)關(guān)的解) ,則有：,其通解為：,為任意常數(shù))。,若取, 則得到特解, 稱此解為二維,Laplace方程的基本解.,下午2時(shí)52分,5,4.1.2 格林公式,由高斯公式,則得到格林第一公式：,令,將以上兩公式相減，得到格林第二公式：,調(diào)和函數(shù)：具有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)。,下午2時(shí)52分,6,4.1.3 調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式,由Green公式可導(dǎo)出調(diào)和函數(shù)的積分表示。由于函數(shù)：,除在,點(diǎn)外處處滿足三維Laplace方程,，于是有,定理：若函數(shù),在,上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在,內(nèi)調(diào)和，則,調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值可以通過積分表達(dá)式用這個(gè)函數(shù)在區(qū)域邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來表示。,下午2時(shí)52分,7,若函數(shù),在,上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在,內(nèi)滿足Poisson方程 ，則同樣有,4.1.4 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1. 設(shè),是區(qū)域,內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，它在,上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則,其中,的外法線方向。,是,證明 只要在Green公式中取 即證。,注：此性質(zhì)表明調(diào)和函數(shù)的法向?qū)?shù)沿區(qū)域邊界的積分為零。 對(duì)穩(wěn)定的溫度場(chǎng)，流入和流出物體界面的熱量相等，否則就 不能保持熱的動(dòng)態(tài)平衡，而使溫度場(chǎng)不穩(wěn)定。,下午2時(shí)52分,8,思考：Laplace方程N(yùn)eumann問題有解的必要條件是什么？,性質(zhì)2 (平均值定理) 設(shè)函數(shù),在區(qū)域,內(nèi)調(diào)和，,是,內(nèi)任意一點(diǎn)，若,是以,為中心，a為半徑,的球面，此球完全落在區(qū)域,的內(nèi)部，則有,證明： 由調(diào)和函數(shù)的積分表示：,及由性質(zhì)1，有,下午2時(shí)52分,9,上式稱為調(diào)和函數(shù)的球面平均值公式。,又因?yàn)?，?上有,，所以,性質(zhì)3 (極值原理) 設(shè)函數(shù),在區(qū)域,內(nèi)調(diào)和，,它在,上連續(xù)且不為常數(shù)，則它的最大值與最小值,只能在邊界上達(dá)到。,推論1 設(shè)在,內(nèi)有,在,上連續(xù)且在邊界,上有,，則在,內(nèi)有,推論2 Dirichlet問題,的解是唯一的。,下午2時(shí)52分,10,下午2時(shí)52分,11,下午2時(shí)52分,12,4.2 格林函數(shù),由于調(diào)和函數(shù)有積分表示:,又因?yàn)镈irichlet邊值問題,的解唯一,故希望,將此問題的解用積分表示出來。但由于在積分表達(dá)示中，u,在邊界上的值雖然已知,而,在邊界上的值卻不知道.那么,能否作為邊界條件加上 的值呢？,因?yàn)?此時(shí)的解已經(jīng)是唯一的了.那么只有想辦法去掉,為此，引入格林函數(shù)的概念。,顯然這是行不通的，,(4.2.1),下午2時(shí)52分,13,格林函數(shù)的物理背景,原點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量 ，,點(diǎn)電荷密度,處點(diǎn)電位,即 處點(diǎn)電荷電量,點(diǎn)電荷密度,處點(diǎn)電位,下午2時(shí)52分,14,4.2.1 格林函數(shù)的定義,設(shè)在,內(nèi)有,在,上有一階連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)，則由格林第二公式有,(4.2.2),將（4.2.1）和 (4.2.2)兩式加起來：,(4.2.3),選擇調(diào)和函數(shù)v滿足,于是有：,(4.2.4),下午2時(shí)52分,15,記,(4.2.5),則有,(4.2.6),稱,為L(zhǎng)aplace方程的格林函數(shù)。若,上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)Dirichlet問題,且在,上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解存在時(shí)，解可以表示為,在,(4.2.7),存在,下午2時(shí)52分,16,對(duì)Poisson方程的Dirichlet問題,上存在具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的解，則解可以,如果在,表示為,由此可見,求解Dirichlet問題,關(guān)鍵是求Green函數(shù)(4.2.5),其中v滿足一個(gè)特殊的Dirichlet問題：,(4.2.8),稱由函數(shù)v確定的格林函數(shù)為第一邊值問題的格林函數(shù)。,下午2時(shí)52分,17,4.2.2 格林函數(shù)的性質(zhì),1. 格林函數(shù),在除去點(diǎn),外處處滿足,Laplace方程，當(dāng),時(shí)，,其階數(shù)與 相同。,2. 在邊界上，格林函數(shù)恒等于零：,3. 在區(qū)域 內(nèi)成立不等式：,（用極值原理證明）,4.,（由格林第二公式證明）,5.,下午2時(shí)52分,18,4.3 格林函數(shù)的應(yīng)用,用鏡象法求特殊區(qū)域上的函數(shù)。,4.3.1 上半空間內(nèi)的Green函數(shù)及Dirichlet問題,求解上半空間,內(nèi)的Dirichlet問題,先求上半空間,內(nèi)的Green函數(shù),（4.3.1）,，即求解問題,下午2時(shí)52分,19,在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)關(guān)于邊界的象點(diǎn)，在這兩個(gè)點(diǎn)放置適當(dāng)?shù)碾姾?，這兩個(gè)電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個(gè)電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。,下午2時(shí)52分,20,于是，半空間上的格林函數(shù)為,(4.3.2),從而，問題(4.3.1)的解可表示為:,由于平面z=0上的外法線方向即oz軸的負(fù)向,所以,即,所以，問題(4.3.1)的解為:,下午2時(shí)52分,21,例2 求解下列定解問題,解：,下午2時(shí)52分,22,4.3.2 球域上的Green函數(shù)及Dirichlet問題,其中，,（4.3.3）,，即求解問題,求解球域上的Dirichlet問題,是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為球心，R為半徑的球域。,先求球域上的Green函數(shù),下午2時(shí)52分,23,下午2時(shí)52分,24,球內(nèi)的格林函數(shù),M0點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量 ，,M1點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量,下午2時(shí)52分,25,下午2時(shí)52分,26,從而，問題(4.3.3)的解可表示為：,因,其中,是,與,的夾角，于是：,（4.3.4）,此公式稱為球域上的泊松積分公式。如果用球坐標(biāo)表示，則有,（4.3.5）,其中,是點(diǎn),的球坐標(biāo)，,是,上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，,下午2時(shí)52分,27,是,與,的夾角。由于,所以,(4.3.6),下午2時(shí)52分,28,例1. 設(shè)有一半徑為R的均勻球，上半球面的溫度保持為,。求球內(nèi)溫度的穩(wěn)定分布。,下半球面的溫度保持為,解：考慮定解問題,由球域上的泊松積分公式(4.3.5)，得,下午2時(shí)52分,29,由于此積分的計(jì)算很困難，下面我們只考慮一些特殊位置的,溫度分布。比如，求溫度在球的鉛垂直徑,（直徑的上,半部）和,（直徑的下半部分）上的分布。,當(dāng),時(shí)，,(見(4.3.6)式)，故有：,下午2時(shí)52分,30,當(dāng),時(shí)，,故有,在以上兩個(gè)公式中，當(dāng),時(shí)，球的溫度為 .,下午2時(shí)52分,31,4.3.3 四分之一空間的格林函數(shù),下午2時(shí)52分,32,4.4 試探法及Poisson方程的求解,4.4.1 試探法,對(duì)某些定解問題,根據(jù)問題的物理意義和幾何特征，可假設(shè)解具有某種特殊形式，將這種形式的解代入方程進(jìn)行試探直至求出特解。這種方法稱為試探法。,下午2時(shí)52分,33,例1. 設(shè)有一半徑為R的無(wú)限均勻圓柱體,已知圓柱內(nèi)無(wú)熱源,圓柱,面上的溫度分布為,試求圓柱內(nèi)溫度的穩(wěn)定分布.,解：因柱面上溫度與z無(wú)關(guān),則域內(nèi)溫度也應(yīng)與z無(wú)關(guān),故原問題,可簡(jiǎn)化為求解圓域上Laplace方程的第一邊值問題,采用極坐標(biāo),我們考慮問題:,由(4.4.2),設(shè),(4.4.1)得,代入, 再由(4.4.2)得,由,的任意性得:,下午2時(shí)52分,34,例2 求圓柱域,內(nèi)的電位u,使在柱面上有給定的電場(chǎng)強(qiáng)度,的法向分量,即,解: 由邊界條件知，問題可化為平面問題：,由邊界條件(4.4.4),設(shè), 顯然,滿足方程(4.4.3)及條件(4.4.4)，于是問題的解為：,下午2時(shí)52分,35,例3 求由兩同心球面導(dǎo)體,和,構(gòu)成的電容器內(nèi),的電位，使內(nèi)球面,保持常電位,外球面接地。,解: 采用球坐標(biāo)，考慮定解問題,由邊界條件知，球內(nèi)電位的分布僅與r有關(guān)，即電位 函數(shù)是球?qū)ΨQ的，而電位與r成反比，故可設(shè),下午2時(shí)52分,36,顯然,滿足(4.4.5), 這是因?yàn)?是三維Laplace方程,的基本解。由(4.4.6),于是(4.4.5) (4.4.6)的解為：,下午2時(shí)52分,37,如果知道Poisson方程的一個(gè)特解，則通過函數(shù)代換，,4.4.2 Poisson方程的求解,就可將Poisson方程邊值問題化成Laplace方程的邊值問題。,例1 求,的特解。,解: 設(shè)其特解為,則,于是，其解有無(wú)窮多個(gè)，如,等等。,下午2時(shí)52分