高中數(shù)學第二章數(shù)列章末復習課練習（含解析）新人教A版.docx

第二章章末復習課 整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建警示易錯提醒1數(shù)列的概念及表示方法(1)定義：按照一定順序排列的一列數(shù)(2)表示方法：列表法、圖象法、通項公式法和遞推公式法(3)分類：按項數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項與項之間的大小關(guān)系可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列2求數(shù)列的通項(易錯點)(1)數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系：an(2)當已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an，常利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(3)當已知數(shù)列an中，滿足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an，常利用恒等式ana1.(4)作新數(shù)列法：對由遞推公式給出的數(shù)列，經(jīng)過變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來求通項(5)歸納、猜想、證明法3等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法(1)定義法：an1and(常數(shù))an是等差數(shù)列；q(q為常數(shù)，q0)an是等比數(shù)列(2)中項公式法：2an1anan2an是等差數(shù)列；aanan2(an0)an是等比數(shù)列(3)通項公式法：ananb(a，b是常數(shù))an是等差數(shù)列；ancqn(c，q為非零常數(shù))an是等比數(shù)列(4)前n項和公式法：Snan2bn(a，b為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列；Snaqna(a，q為常數(shù)，且a0，q0，q1，nN*)an是等比數(shù)列4求數(shù)列的前n項和的基本方法(易錯點)(1)裂項(相消)法：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和(2)錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和(3)倒序相加法：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導(4)分組求和法：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列(5)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項和Sn公式專題一等差、等比數(shù)列的判斷判定一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列有如下多種方法：定義法an1and(常數(shù))an是等差數(shù)列q(非零常數(shù))an是等比數(shù)列中項公式法2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列aanan2(an1anan20)an是等比數(shù)列通項公式法anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列ancqn(c，q均為非零常數(shù))an是等比數(shù)列前n項和公式SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列Snkqnk(k為常數(shù)，且q0，k0，q1)an是等比數(shù)列例1已知數(shù)列an、bn滿足：a11，a2a(a為常數(shù))，且bnanan1，其中n1，2，3，.(1)若an是等比數(shù)列，試求數(shù)列bn的前n項和Sn的公式(2)當bn是等比數(shù)列時，甲同學說：an一定是等比數(shù)列；乙同學說：an一定不是等比數(shù)列你認為他們的說法是否正確？為什么？解：(1)因為an是等比數(shù)列，a11，a2a，所以a0，anan1.又bnanan1，則b1a1a2a，a2，即bn是以a為首項，a2為公比的等比數(shù)列所以，Sn(2)甲、乙兩個同學說法都不正確，理由如下：法一：設(shè)bn的公式比為q，則q且a0，又a11，a2a，a1，a3，a5，a2n1，是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，a2n，是以a為首項， q為公比的等比數(shù)列即an為：1，a，q，aq，q2，aq2，當qa2時，an是等比數(shù)列；當aa2時，an不是等比數(shù)列法二：an可能是等比數(shù)列，也可能不是等比數(shù)列，舉例說明如下：設(shè)bn的公式為q.取aq1時，an1(nN*)，此時bnanan11，an、bn都是等比數(shù)列取a2，q1時，anbn2(nN*)所以bn是等比數(shù)列，而an不是等比數(shù)列歸納升華判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法(1)定義法：q(q為常數(shù)且不為零)an為等比數(shù)列(2)等比中項法：aanan2(nN*且an0)an為等比數(shù)列(3)通項公式法：ana1qn1(a10且q0)an為等比數(shù)列變式訓練已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an5Sn3，求數(shù)列an的通項公式解：當n1時，因為a15a13，所以a1.當n2時，因為an5Sn3，所以an15Sn13，所以anan15(SnSn1)即anan15an，所以an是首項a1，公比q的等比數(shù)列所以ana1qn1(nN*)專題二數(shù)列的通項公式的求法(1)定義法：定義法是指直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法，這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目(2)已知Sn求an.若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項an可用公式an求解(3)由遞推公式求數(shù)列通項法對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列(4)待定系數(shù)法(構(gòu)造法)求數(shù)列通項公式的方法靈活多樣，特別是由給定的遞推關(guān)系求通項公式，對于觀察、分析、推理能力要求較高通常可對遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列(等差或等比數(shù)列)來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想，而運用待定系數(shù)法變換遞推公式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法例2(1)等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項和為Sn，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，S5a，則數(shù)列an的通項公式為_；(2)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an(1)n，n1，則數(shù)列an的通項公式為_解析：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0)，因為a1，a3，a9成等比數(shù)列，所以aa1a9，即(a12d)2a1(a18d)d2a1d，因為d0，所以a1d.因為S5a，所以5a1d(a14d)2.由得：a1，d，所以an(n1)n.(2)n1時，a1S1，所以a12a11，即a11，n2時，anSnSn12(anan1)2(1)n，所以an2an12(1)n1，an12an22(1)n2，a22a12，所以an2n2(1)n1又因為a11適合an2n2(1)n1，所以an2n2(1)n1答案：(1)ann(2)an2n2(1)n1歸納升華(1)已知數(shù)列的前n項和，或前n項和與通項的關(guān)系求通項，常用an與Sn的關(guān)系求解(2)由遞推關(guān)系an1AanB(A，B為常數(shù)，且A0，A1)求an時，由待定系數(shù)法設(shè)an1A(an)可得，這樣就構(gòu)造了等比數(shù)列an變式訓練已知數(shù)列an滿足an12an35n，a16，求數(shù)列an的通項公式解：設(shè)an1x5n12(anx5n)將an12an35n代入式，得2an35nx5n12an2x5n，等式兩邊消去2an，得35nx5n12x5n，兩邊除以5n，得35x2x，則x1，代入式得an15n12(an5n)由a1516510及式得，an5n0，則2.所以an5n是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an5n12n12n1，所以an2n15n(nN*)專題三數(shù)列求和數(shù)列求和問題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和問題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉(zhuǎn)化的再根據(jù)數(shù)列通項公式的特點選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠼庖话愠Ｒ姷那蠛头椒ㄓ校?1)公式法(直接利用等差或等比數(shù)列的前n項和公式)；(2)分組求和法；(3)錯位相減法；(4)倒序相加法；(5)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互拆消，從而求得其和；(6)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例3(1)已知等比數(shù)列an中，a13，a481，若數(shù)列bn滿足bnlog3an，則數(shù)列的前n項和Sn_.(2)設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1.求數(shù)列an的通項公式；令bnnan，求數(shù)列bn的前n項Sn.(1)解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q327，解得q3，所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.則Sn11.答案：(2)解：由已知，當n1時，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以數(shù)列an的通項公式為an22n1.由bnnann22n1知Sn12223325n22n1從而22Sn123225327n22n1得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12歸納升華用錯位相減法求和時，應注意：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準確寫出“SnqSn”的表達式若公比是個參數(shù)(字母)，則應先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和變式訓練設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)因為a13a232a33n1an，所以當n2時，a13a232a33n2an1，由得3n1an，所以an，在中，令n1，得a1，所以數(shù)列an的通項公式an(nN*)(2)因為bnn3n，所以Sn3232333n3n，所以3Sn32233334n3n1.由得2Snn3n1(332333n)n3n1，所以Sn.專題四函數(shù)與方程思想(1)在等差(比)數(shù)列的通項公式和前n項和公式中共有5個量a1，d(或q)，n，an及Sn，已知這5個量中任意3個量的值，就可以運用方程思想，解方程(或方程組)求出另外2個量的值(2)數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)集(或其有限子集)的特殊函數(shù)運用函數(shù)思想去研究數(shù)列，就是要借助于函數(shù)的單調(diào)性、圖象和最值等知識解決與數(shù)列相關(guān)的問題等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)有著密切的關(guān)系，等差數(shù)列前n項和公式與二次函數(shù)也有密切關(guān)系，故可用函數(shù)的思想來解決數(shù)列問題例4(1)已知數(shù)列an的首項為a121，前n項和為Snan2bn，等比數(shù)列bn的前n項和Tn2n1a，則Sn的最大值為_；(2)若等差數(shù)列an中，a1a4a715，a2a4a645.則通項公式an_解析：(1)由Tn22na，可求得a2，所以Sn2n2bn，所以數(shù)列an為等差數(shù)列，又因為a121，Sn2n2bn，故b21(2)23，所以Sn2n223n2，當n6時，Sn取得最大值66.(2)因為a1a72a4a2a6，所以a1a4a73a415，所以a45，所以a2a610且a2a69，所以a2，a6是方程x210x90的兩根，解得或若a21，a69，則d2，所以an2n3；若a29，a61，則d2，所以an132n.故an2n3或an132n.答案：(1)66(2)2n3或132n歸納升華函數(shù)的思想：等比數(shù)列的通項ana1qn1qn(q0且q1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系；等比數(shù)列前n項和Sn(qn1)(q1)設(shè)A，則SnA(qn1)也與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系變式訓練等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393.求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn.解：設(shè)數(shù)列an的公差為d，由題意得所以d2.所以ana1(n1)d2n1，Snn(n)專題五數(shù)列的交匯問題例5設(shè)數(shù)列an滿足1，其中常數(shù).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若，bn(2n4 001)an，當n為何值時，bn最大？解：(1)由題意得1，當n2時，1，由得，即(n2)又當n1時，1，所以a121.因為，所以數(shù)列an是以21為首項，以為公比的等比數(shù)列所以an(21)，即an.(2)當時，an，所以bn.設(shè)bn最大，則即解得n.因為nN*，所以n2 002，故當n2 002時，bn最大歸納升華數(shù)列是高中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，它始終處在知識的交匯點上，如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識有較多交匯處它包含知識點多、思想豐富、綜合性強，已成為近年高考的一大亮點變式訓練已知二次函數(shù)f(x)x2axa(xR)同時滿足：不等式f(x)0的解集有且