高中數(shù)學(xué)第二章拋物線課后提升作業(yè)（十六）2.3.2.1拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)檢測(cè)（含解析）.docx

課后提升作業(yè) 十六拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2015陜西高考)已知拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)【解析】選B.因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),所以=1,所以該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).2.經(jīng)過(guò)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x-2y+5=0的直線l的方程是()A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0【解析】選A.設(shè)直線l的方程為3x-2y+c=0,拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F,所以3-20+c=0,所以c=-,故直線l的方程是6x-4y-3=0.3.(2016衡水高二檢測(cè))若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓+=1的右焦點(diǎn)重合,則p的值為()A.-2B.2C.-4D.4【解析】選D.橢圓+=1的右焦點(diǎn)為(2,0),所以=2,所以p=4.4.(2016武漢高二檢測(cè))已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為()A.-B.-1C.-D.-【解析】選C.因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px的準(zhǔn)線為x=-,且點(diǎn)A(-2,3)在準(zhǔn)線上,故-=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),這時(shí)直線AF的斜率kAF=-.5.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線y=2x-4與C交于A,B兩點(diǎn),則cosAFB=()A.B.C.-D.-【解析】選D.由得x2-5x+4=0,所以x=1或x=4.不妨設(shè)A(4,4),B(1,-2),則|=5,|=2,=(3,4)(0,-2)=-8,所以cosAFB=-.6.已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直, l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則ABP的面積為()A.18B.24C.36D.48【解析】選C.如圖所示,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0).因?yàn)楫?dāng)x=時(shí),|y|=p,所以p=6.又P到AB的距離始終為p,所以SABP=126=36.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,則y0的取值范圍是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+)D.2,+)【解析】選C.因?yàn)閤2=8y,所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.由拋物線的定義知|FM|=y0+2.以F為圓心、|FM|為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交,又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4,故42.7.(2016全國(guó)卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( )A.2B.4C.6D.8【解析】選B.以開(kāi)口向右的拋物線為例來(lái)解答，其他開(kāi)口同理可得.設(shè)拋物線為y2=2px(p0)，設(shè)圓的方程為x2+y2=r2，題目條件翻譯如圖：設(shè)點(diǎn)A(x0,2)在拋物線y2=2px上，所以8=2px0.點(diǎn)D在圓x2+y2=r2上，所以5+=r2.點(diǎn)A(x0,2)在圓x2+y2=r2上，所以x02+8=r2.聯(lián)立解得：p=4，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=48.(2016天津高二檢測(cè))若拋物線x2=2y上距離點(diǎn)A(0,a)的最近點(diǎn)恰好是拋物線的頂點(diǎn),則a的取值范圍是()A.a0B.00,即a1時(shí),y=a-1時(shí)d2取到最小值,不符合題意.綜上可知a1.【易錯(cuò)警示】忽視了y的取值范圍是0,+),只想到當(dāng)點(diǎn)在y軸負(fù)半軸時(shí),d最小,導(dǎo)致錯(cuò)選D,或胡亂猜測(cè)以致錯(cuò)選B.二、填空題(每小題5分,共10分)9.以雙曲線-=1的中心為頂點(diǎn),且以該雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程為_(kāi).【解析】由-=1知a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0),依題意,拋物線的焦點(diǎn)F(3,0),=3,所以p=6,所以拋物線的方程為y2=12x.答案:y2=12x10.(2016長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上射影是M,點(diǎn)A(4,6),則|PA|+|PM|的最小值是_.【解題指南】將P到y(tǒng)軸的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離,當(dāng)A,P,F共線時(shí),|PA|+|PM|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦點(diǎn)F(1,0),如圖,|PM|=|PN|-=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1|AF|-1=-1=3-1.答案:3-1【補(bǔ)償訓(xùn)練】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn),且AFO=120(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),AKl,垂足為K,則AKF的面積是_.【解析】如圖,設(shè)A(x0,y0),過(guò)A作AHx軸于H,在RtAFH中,|FH|=x0-1,由AFO=120,得AFH=60,故y0=|AH|=(x0-1).所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,(x0-1),將此代入拋物線方程可得3-10x0+3=0,解得x0=3或x0=(舍),故SAKF=(3+1)2=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共20分)11.已知雙曲線-=1(a0,b0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,AOB的面積為,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題指南】由雙曲線離心率求得其漸近線方程,從而求得交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),即可得到三角形面積表達(dá)式,從而得到p的值,進(jìn)而寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】由已知得=2,所以=4,解得=,即漸近線方程為y=x.而拋物線準(zhǔn)線方程為x=-,于是A,B,從而AOB的面積為p=,可得p=2.因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向右,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.12.若直線l過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線交于A,B兩點(diǎn),且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求線段AB的長(zhǎng).【解析】因?yàn)閽佄锞€方程為y2=4x,所以拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為:x=-1,設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(2,y0),則M到準(zhǔn)線的距離為:|MN|=2-(-1)=3,過(guò)A,B分別作AC,BD與準(zhǔn)線垂直,垂足分別為C,D.根據(jù)梯形中位線定理,可得|AC|+|BD|=2|MN|=6.再由拋物線的定義知:|AF|=|AC|,|BF|=|BD|.所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=6.即線段AB的長(zhǎng)為6.【能力挑戰(zhàn)題】已知拋物線C:y2=2px(p0),焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,拋物線C上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3,且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為5.(1)求拋物線C的方程.(2)若P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),求線段F