奇偶性第課時(shí)函數(shù)奇偶性的概念.ppt

2019/7/16,研修班,1,1.3.2 奇偶性(第1課時(shí) 函數(shù)奇偶性的概念),2019/7/16,研修班,2,2019/7/16,研修班,3,2019/7/16,研修班,4,1若奇函數(shù)f(x)在x0處有意義，則f(0)是什么？ 【提示】 由奇函數(shù)定義，f(x)f(x)，則f(0)f(0)，f(0)0. 2奇(偶)函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？這種特點(diǎn)是怎樣影響函數(shù)的奇偶性的？,2019/7/16,研修班,5,【提示】 (1)偶函數(shù)(奇函數(shù))的定義中“對(duì)D內(nèi)任意一個(gè)x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，這表明f(x)與f(x)都有意義，即x、x同時(shí)屬于定義域因此偶(奇)函數(shù)的定義域是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的也就是說，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件 (2)若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),2019/7/16,研修班,6,2019/7/16,研修班,7,2019/7/16,研修班,8,(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x3； 定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下幾種方法： 定義法：若函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則應(yīng)進(jìn)一步判斷f(x)是否等于f(x)，或判斷f(x)f(x)是否等于0，從而確定奇偶性,2019/7/16,研修班,9,圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù) 另外，還有如下性質(zhì)可判定函數(shù)奇偶性： 偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)，奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)(注：利用以上結(jié)論時(shí)要注意各函數(shù)的定義域),2019/7/16,研修班,10,2019/7/16,研修班,11,2019/7/16,研修班,12,(3)xR， f(x)|x2|x2| |x2|x2| (|x2|x2|)f(x)， f(x)是奇函數(shù),2019/7/16,研修班,13,【思路點(diǎn)撥】 由題目可獲取以下主要信息： 已知函數(shù)為分段函數(shù)； 判斷此函數(shù)的奇偶性 解答本題可依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義加以說明 【解析】 (1)當(dāng)x0 f(x)(x)2(x)1， x2x1(x2x1)f(x) (2)當(dāng)x0時(shí)，x0 f(x)(x)2(x)1 (x2x1)f(x) 綜上f(x)f(x) f(x)是奇函數(shù),2019/7/16,研修班,14,(1)對(duì)于分段函數(shù)奇偶性的判斷，須特別注意x與x所滿足的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如x0時(shí)，f(x)滿足f(x)x2x1，x0滿足的不再是f(x)x2x1，而是f(x)x2x1； (2)要對(duì)定義域內(nèi)的自變量都要考察，如本例分為兩種情況，如果本例只有(1)就說f(x)f(x)，從而判斷它是奇函數(shù)是錯(cuò)誤的、不完整的 (3)分段函數(shù)的奇偶性判斷有時(shí)也可通過函數(shù)圖象的對(duì)稱性加以判斷,2019/7/16,研修班,15,【解析】 當(dāng)x0時(shí)，x0 f(x)(x)2x2 f(x) 當(dāng)x0時(shí)，f(x)0f(x) f(x)是偶函數(shù),2019/7/16,研修班,16,已知函數(shù)f(x)不恒為0，當(dāng)x、yR時(shí)，恒有f(xy)f(x)f(y) 求證：f(x)是奇函數(shù) 【思路點(diǎn)撥】 令xy0求f(0)令yx f(x)f(x)結(jié)論,【證明】 函數(shù)定義域?yàn)镽，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 f(xy)f(x)f(y)， 令yx， 則f(0)f(x)f(x)， 再令xy0， 則f(0)f(0)f(0)，得f(0)0， f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù),2019/7/16,研修班,17,抽象函數(shù)奇偶性的判定通常用定義法，主要是充分運(yùn)用所給條件，想法尋找f(x)與f(x)之間的關(guān)系，此類題目常用到f(0)，可通過給式子中變量賦值，構(gòu)造出0，把f(0)求出來,3.本例中，若將條件“f(xy)f(x)f(y)”改為f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，其余不變，求證f(x)是偶函數(shù),2019/7/16,研修班,18,【證明】 令x0，yx， 則f(x)f(x)2f(0)f(x) 又令xx，y0得 f(x)f(x)2f(x)f(0) 得f(x)f(x) f(x)是偶函數(shù),2019/7/16,研修班,19,1準(zhǔn)確理解函數(shù)奇偶性定義 (1)偶函數(shù)(奇函數(shù))的定義中“對(duì)D內(nèi)任意一個(gè)x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，這表明f(x)與f(x)都有意義，即x、x同時(shí)屬于定義域因此偶(奇)函數(shù)的定義域是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的也就是說，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件 存在既是奇函數(shù)又是偶