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第四節(jié) 一階線性微分方程,稱為一階線性微分方程,因?yàn)樗鼘?duì)未知函數(shù),y及其導(dǎo)數(shù)都是一次的. 當(dāng)q(x)=0時(shí)是線性齊次的;,這就是對(duì)應(yīng)的線性齊次方程(2)的通解.,方程(2)是可分離變量的,分離變量得,否則稱為線性非齊次的. 線性齊次微分方程方程(1)的解和方程(2)的解有密切關(guān)系.,常數(shù)變易法求解非齊次線性方程(1)的通解, 是把(2)的通解中的C換成x的待定函數(shù)u(x),第一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)齊次線性方程(2)的通解,第二項(xiàng)是非齊次線性方 程的一個(gè)特解.由此可知,一階非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng) 齊次線性方程的通解與非齊次線性方程自身的一個(gè)特解之和.,例1 求解方程,分析先求出對(duì)應(yīng)的齊次線性方程,的通解,其中C1是任意常數(shù),例2 求解方程,注意:嚴(yán)格說(shuō),上式只有在x0時(shí)才成立,當(dāng)x0時(shí),由于C是任意常數(shù),(7)式和(6)式是相同的.,例3 求解,解,例4 求解方程,二. 伯努利方程,稱為伯努利方程.,當(dāng)n=0或n=1時(shí),是線性微分方程.當(dāng)n0,n1時(shí),不是線性, 但可通過(guò)變量代換,化為線性.把yn除方程(10)兩端,得到,令 z=y1-n,則,用(1-n)乘方程(11)的兩端,把上式代入,我們得到,求出這方程的通解后,以y1-n代入z就得到伯努利方程的通解.,方程,例5 求方程的通解,以y2除方程的兩端,我們得到,有些一階非線性微分方程不是伯努里方程,也不是其他已知 類型的方程,但通過(guò)某種因變量代換也可化為線性方程.,可通過(guò)變量代換 yn=u (yn)=nyn-1y 可化為線性微 分方程 u+p(x)u=Q(x),(1)形如,三. 其他可化為線性微分方程的方程,例6 求微分方程通解,令 y2=u 2yy=u 于是原方程化為線性微分方程 u+2xu=xe-x2,(2

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