高數(shù)課件20常微分方程.ppt

常微分方程,在力學、物理學及工程技術(shù)等領(lǐng)域中為了對客觀事物運動的規(guī)律性進行研究，往往需要尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，但根據(jù)問題的性質(zhì)，常常只能得到待求函數(shù)的導數(shù)或微分的關(guān)系式，這種關(guān)系式在數(shù)學上稱之為微分方程。微分方程又分為常微分方程和偏微分方程，本章討論的是前者。,常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，內(nèi)容十分豐富，作為一種有效的工具在電子科學、自動控制、人口理論、生物數(shù)學、工程技術(shù)以及其它自然科學和社會科學領(lǐng)域中有著十分廣泛的應用,由于學時有限，高等數(shù)學中的常微分方程僅包含幾種特殊類型的一階微分方程的求解，可通過降階求解的高階微分方程，二階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)和特殊情況下的求解方法。,本章先從解決這類實際問題入手，引出微分方程的一些基本概念，然后著重討論一些特殊類型的微分方程的求解方法。,重點,五種標準類型的一階方程的求解,可降階的高階方程的求解,二階常系數(shù)齊次和非齊次線性方程的求解,難點,求解全微分方程,求常系數(shù)非齊次線性方程的通解,一、問題的提出,解,解,代入條件后知,故,開始制動到列車完全停住共需,二、微分方程的定義,微分方程: 凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程.,例,實質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.,分類1: 常微分方程, 偏常微分方程.,微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導數(shù)的階數(shù).,分類2:,一階微分方程,高階(n)微分方程,分類3: 線性與非線性微分方程.,分類4: 單個微分方程與微分方程組.,三、主要問題-求方程的解,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù).,微分方程的解的分類：,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,解的圖象: 微分方程的積分曲線.,通解的圖象: 積分曲線族.,初始條件: 用來確定任意常數(shù)的條件.,初值問題: 求微分方程滿足初始條件的解的問題.,一階:,過定點的積分曲線;,二階:,過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.,解,所求特解為,補充:,微分方程的初等解法: 初等積分法.,求解微分方程,求積分,(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來),四、小結(jié),微分方程;,微分方程的階;,微分方程的解;,通解;,初始條件;,特解;,初