(好資料)2009-2012年高考數(shù)學(xué)ι輪精品教案及其練習(xí)精析_《定積分與微積分的基本定理》

591up有效學(xué)習(xí)（ ）第4講 定積分與微積分的基本定理 知 識(shí) 梳理 1、定積分概念定積分定義：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)，將區(qū)間等分成幾個(gè)小區(qū)間，在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和，當(dāng)時(shí)，上述和無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即，這里、分別叫做積分的下限與上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.2、定積分性質(zhì)（1）；（2）（3）3、微積分基本定理一般地，如果是在上有定義的連續(xù)函數(shù)，是在上可微，并且，則，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式，為了方便，常常把，記作，即.4、常見(jiàn)求定積分的公式（1）（2）（C為常數(shù)）（3）（4）（5）（6）（7） 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：定積分的計(jì)算和簡(jiǎn)單應(yīng)用。2.難點(diǎn)：利用定積分求平面區(qū)域圍成的面積3.重難點(diǎn)：掌握定積分的計(jì)算，了解定積分的物理意義，會(huì)利用定積分求平面區(qū)域圍成的面積. （1）弄清定積分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題1.一物體按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)，式中為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比（比例常數(shù)為），試求物體由運(yùn)動(dòng)到時(shí)，阻力所做的功.解析：要求變力所做的功，必須先求出變力對(duì)位稱(chēng)的變化函數(shù)，這里的變力即媒質(zhì)阻力，然后根據(jù)定積分可求阻力所做之功.解因?yàn)槲矬w的速度所以媒質(zhì)阻力當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，阻力所做功（2）掌握定積分在求曲邊梯形面積的方法.問(wèn)題2. 求由拋物線與直線及所圍成圖形的面積.y解析：作出及的圖形如右：6解方程組 得x解方程組 得62O所求圖形的面積 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1: 定積分的計(jì)算題型1.計(jì)算常見(jiàn)函數(shù)的定積分例1. 求下列定積分（1）（2）（3）【解題思路】根據(jù)微積分基本定理，只須由求導(dǎo)公式找出導(dǎo)數(shù)為，的函數(shù)就可，這就要求基本求導(dǎo)公式非常熟悉.解：（1） （2） （3）【名師指引】簡(jiǎn)單的定積分計(jì)算只需熟記公式即可.題型2:換元法求定積分例2.計(jì)算:【解題思路】：我們要直接求的原函數(shù)比較困難，但我們可以將先變式化為，再求積分，利用上述公式就較容易求得結(jié)果，方法簡(jiǎn)便易行.解析： 【名師指引】較復(fù)雜函數(shù)的積分，往往難以直接找到原函數(shù)，常常需先化簡(jiǎn)、變式、換元變成基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算后，再求定積分.題型3:計(jì)算分段函數(shù)定積分例3. 求【解題思路】：首先是通過(guò)絕對(duì)值表示的分段函數(shù)，同時(shí)又是函數(shù)復(fù)合函數(shù)與的運(yùn)算式，所以我們?cè)谟?jì)算時(shí)必須先把積分區(qū)間分段，再換元積分或奏變量完成.解析： 【名師指引】若被積函數(shù)含絕對(duì)值，往往化成分段函數(shù)分段積分，注意本題中，這實(shí)際是一種奏變量的思想，復(fù)合函數(shù)的積分通?？梢宰嘧兞客瓿?，也可以換元完成.題型4:定積分的逆運(yùn)算例4. 已知求函數(shù)的最小值.【解題思路】：這里函數(shù)、都是以積分形式給出的，我們可以先用牛頓萊布尼茲公式求出與，再用導(dǎo)數(shù)求法求出的最小值.解析： 當(dāng)時(shí)，最小=1 當(dāng)時(shí)，最小=1【名師指引】這是一道把積分上限函數(shù)、二次函數(shù)最值，參數(shù)混合在一起綜合題，重點(diǎn)是要分清各變量關(guān)系. 積分、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)些，最值、解析式交匯出題是近幾年高考命題熱點(diǎn)，把它們之間的相互關(guān)系弄清是我們解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。【新題導(dǎo)練】.1(廣東省揭陽(yáng)二中2010屆高三上學(xué)期期中考試)計(jì)算： 解析:82. .設(shè) 則=（ ）A.B.C.D.不存在解析選C考點(diǎn)2: 定積分的應(yīng)用題型1.求平面區(qū)域的面積例1 求在上，由軸及正弦曲線圍成的圖形的面積.【解題思路】：因?yàn)樵谏?，其圖象在軸上方；在上，其圖象在軸下方，此時(shí)定積分為圖形面積的相反數(shù)，應(yīng)加絕對(duì)值才表示面積.y解析：作出在上的圖象如右0x 與軸交于0、，所2求積【名師指引】利用定積分求平面圖形的面積的步驟如下：第一步：畫(huà)出圖形，確定圖形范圍第二步：解方程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上、下限第三步：確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置第四步：計(jì)算定積分，求出平面圖形面積題型2.物理方面的應(yīng)用例2. 汽車(chē)每小時(shí)54公里的速度行駛，到某處需要減速停車(chē)，設(shè)汽車(chē)以等減速度3米/秒剎車(chē)，問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)走了多少公里？【解題思路】汽車(chē)剎車(chē)過(guò)程是一個(gè)減速運(yùn)動(dòng)過(guò)程，我們可以利用定積分算出汽車(chē)在這個(gè)過(guò)程中所走過(guò)的路程，計(jì)算之前應(yīng)先算出這一過(guò)程所耗費(fèi)的時(shí)間和減速運(yùn)動(dòng)變化式.解析：由題意，千米/時(shí)米/秒，令得153t=0，t=5，即5秒時(shí)，汽車(chē)停車(chē).所以汽車(chē)由剎車(chē)到停車(chē)所行駛的路程為公里答：汽車(chē)走了0.0373公里.【名師指引】tvaboV=v(t)若作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，由定積分的物理意義可知，作變速運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)間內(nèi)的路程s是曲邊梯形（陰影部分）的面積，即路程；如果時(shí)，則路程. 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. （2010年廣東北江中學(xué)高三第二次月考）= 2. (2008學(xué)年廣東北江中學(xué)高三高三年級(jí)第一次統(tǒng)測(cè)試題) 3. = 4. 已知,當(dāng)= 時(shí), .恒成立5. 求曲線，及所圍成的平面圖形的面積.思路分析：圖形由兩部分構(gòu)成，第一部分在區(qū)間上，及圍成，第一部分在上由與圍成，所以所求面積應(yīng)為兩部分面積之和.y=x2y=2xy解：作出，及的圖如右B(2,4)解方程組 得 A(1,1)y=x21xo解方程組 得 所求面積 答：此平面圖形的面積為綜合拔高訓(xùn)練6. 設(shè)y=f（x）是二次函數(shù),方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表達(dá)式；（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.（2）若直線x=t（0t1把y=f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.解：（1）設(shè)f（x）=ax2+bx+c，則f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有兩個(gè)相等實(shí)根，判別式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依題意，有所求面積=.（3）依題意，有，t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1，于是t=1.7. 拋物線y=ax2bx在第一象限內(nèi)與直線xy=4相切此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S求使S達(dá)到最大值的a、b值，并求Smax解 依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=0，x2=b/a，所以(1)又直線xy=4與拋物線y=ax2bx相切，即它們有唯一的公共點(diǎn)，由方程組得ax2(b1)x4=0，其判別式必須為0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S(b)=0；在b0時(shí)得唯一駐點(diǎn)b=3，且當(dāng)0b3時(shí)，S(b)0；當(dāng)b3時(shí)，S(b)0故在b=3時(shí)，S(b)