數(shù)值分析積分(上).ppt

第七章,數(shù)值積分 與微 分（上）,第七章目錄,1 數(shù)值積分的基本概念 1.1構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想 1.2代數(shù)精度 1.3插值型求積公式 2 牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式 2.1牛頓一柯特斯公式 2.2幾種低價(jià)N-C求積公式的余項(xiàng) 2.3牛頓一柯特斯公式的穩(wěn)定性和收斂性 3 復(fù)化求積公式 3.1復(fù)化梯形公式 3.2復(fù)化Simpson公式與復(fù)化Cotes公式,第七章目錄,4 變步長方法（逐次分半算法） 4.1 梯形公式的逐次分半算法 4.2 Simpson公式的逐次分半算法 5 龍貝格（Romberg）求積公式 5.1外推法 5.2 Romberg求積公式 6 高斯（Gauss）型求積公式 7 數(shù)值微分,序(1),計(jì)算定積分 的值是經(jīng)常遇到的一個(gè)問題， 由微積分理論知道：只要求出f (x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)， 就可以利用牛頓萊布尼慈（Newton-Leibniz）公式 出定積分值：,但是，在工程技術(shù)領(lǐng)域，在實(shí)際使用上述求積分方法 時(shí)，往往會(huì)遇到下面情況：,1. 函數(shù)f (x)沒有具體的解析表達(dá)式，只有一些由實(shí)驗(yàn) 測試數(shù)據(jù)形成的表格或 圖形。,序(2),3. f (x) 的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，即不定積分難求。,2. f (x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，如：,由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算 方法，進(jìn)而建立起上機(jī)計(jì)算定積分的算法，此外，數(shù)值積分也是研究微分方程和積分方程的數(shù)值解法的基礎(chǔ)。,同樣，對函數(shù)f (x)求導(dǎo)，也有類似的問題，需要研究數(shù)值微分方法。,1 數(shù)值積分的基本概念,1.1 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想,定積分I=ab f (x)dx在幾何上為x=a, x=b, y=0和y=f (x)所 圍成的曲邊梯形的面積。定積分計(jì)算之所以困難，就在于 這個(gè)曲邊梯形中有一條邊y=f (x)是曲邊，而不是規(guī)則圖形。 由積分中值定理，對連續(xù)函數(shù)f (x)，在區(qū)間a, b 內(nèi)至少 存在一點(diǎn)，使：,也就是說，曲邊梯形的面積I 恰好 等于底為（b-a），高為f ()的規(guī)則圖 形矩形的面積（圖7-1），f ()為曲 邊梯形的平均高度，然而點(diǎn)的具體位置一般是不知道的， 因此難以準(zhǔn)確地求出f ()的值。但是，由此可以得到這樣 的啟發(fā)，只要能對平均高度f ()提供一種近似算法，便可 以相應(yīng)地得到一種數(shù)值求積公式。,構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想（續(xù)）,如，用兩端點(diǎn)的函數(shù)值f (a)與f (b)取算術(shù)平均值作為平均 高度f ()的近似值，這樣可導(dǎo)出求積公式：,更一般地，可以在區(qū)間a, b 上適當(dāng)選取某些點(diǎn)xk (k=0,1, ,n)，然后用f (xk) 的加權(quán)平均值近似地表示 f ()，這樣得到一般的求積公式：,其中，點(diǎn)xk 稱為求積節(jié)點(diǎn)，系數(shù)Ak 稱為求積系數(shù)，Ak 僅僅與節(jié)點(diǎn)xk 的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)f (x)的具體形式，即xk決定了，Ak也就相應(yīng)的決定了。,構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想（續(xù)1）,回顧定積分的定義，積 分值I 是和式的極限：,其中xk是a, b 的每 一個(gè)分割小區(qū)間的長度，它與f (x)無關(guān)，去掉極限，由此 得到近似計(jì)算公式：,因此，式（7-1）可作為一般的求積公式，其特點(diǎn)是將積分問題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算，從而避開了使用牛頓一萊布尼慈公式需要求原函數(shù)的困難，適合于函數(shù)給出時(shí)計(jì)算積分，也非常便于設(shè)計(jì)算法。便于上機(jī)計(jì)算。 求積公式（7-1）的截?cái)嗾`差為：,Rn也稱為積分余項(xiàng)。,1.2 代數(shù)精度,數(shù)值積分是一種近似方法，但其中有的公式能對較多 的函數(shù)準(zhǔn)確成立，而有的公式只對較少的函數(shù)準(zhǔn)確成立。 為了反映數(shù)值積分公式在這方面的差別，引入代數(shù)精度的概念。,定義1,如果某個(gè)求積公式對所有次數(shù)不大于m的多項(xiàng)式都精確成立，而至少對一個(gè)m +1次多項(xiàng)式不精確成，則稱該公式具有m次代數(shù)精度。,一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。為了便于應(yīng)用，由定義1容易得到下面定理。,定理1,一個(gè)求積公式具有m次代數(shù)精度的充分必要條件是該求積公式對 1,x,x2,xm 精確成立，而對xm+1不精確成立。,代數(shù)精度(續(xù)1）,試驗(yàn)證梯形公式具有一次代數(shù)精度。,例1,同理可證明矩形公式的 代數(shù)精度也是一次的,代數(shù)精度（續(xù)2）,上述過程表明，可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公 式。 例如，對于求積公式（7-1），若事先選定一組求積 節(jié)點(diǎn)xk (k=0,1,n,)， xk可以選為等距點(diǎn)，也可以選為非 等距點(diǎn)，則可令公式對f(x)=1,x,xn 精確成立，即得：,這是關(guān)于A0、A1、An的線性方程組，系數(shù)行列式為范德蒙行列式，其值不等于零，故方程組存在唯一的一組解。求解該方程組即可確定求積系數(shù)Ak，所得到的求積公式（7-1）至少具有n次代數(shù)精度。,代數(shù)精度舉例,例2,確定求 積公式,使其具有盡可能高的代數(shù)精度。,解求積公式中含有三個(gè)待定參數(shù)，可假定近似式（7-3）的代數(shù)精度為m =2， 則當(dāng)f (x)=1，x，x2 時(shí)，式（7-3）應(yīng) 準(zhǔn)確成立，即有：,代回去可得：,公式（7-4）不僅對特殊的次數(shù)不高于3次的多項(xiàng)式f (x) = 1,x,x2, x3準(zhǔn)確成立，而且對任意次數(shù)不高于3次的多項(xiàng)式,a0+a1x+a2x2 + a2x3 （f (x)=1,x,x2, x3的線性組合）也準(zhǔn)確成立，事實(shí)上，令R( f )表式（7-4）的截?cái)嗾`差：,檢查（7-4）對 m = 3 是否成立，為此，令 f(x)=x3 代入（7-4），此時(shí)左邊 。,再檢查（7-4）對m=4是否成立，令f(x)=x4代入（7-4），此時(shí):,因此近似式（7-4）的代數(shù)精度為m=3.,代數(shù)精度舉例（續(xù)1）,由于對任意的常數(shù), 和函數(shù)f (x)，g (x) 成立:,這表明，誤差對f (x)=1, x, x2, x3準(zhǔn)確成立，則對它們的任意線性組合a0 + a1x + a2x2+ a3x3也準(zhǔn)確成立，所以通常檢查一個(gè)求積公式是否具有m次代數(shù)精度，只需檢查對f(x)=1,x,xm 是否準(zhǔn)確成立即可。,上述方法稱為待定系數(shù)法！,代數(shù)精度舉例（續(xù)2）,待定系數(shù)法注釋,注1：由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確 切的誤差估計(jì)式，只能從其所具有的代數(shù)精 度去判定求積公式的準(zhǔn)確程度。,注2：因此，希望由待定系數(shù)法確定的求積 公式的代數(shù)精度越高越好，通常的方法是要 確定n +1個(gè)待定系數(shù)。可設(shè)求積公式具有n次 代數(shù)精度，去建立n +1個(gè)方程求解，否則的 話，只設(shè)其具有0次代數(shù)精度，建立1個(gè)方程 也可以求出n +1個(gè)待定參數(shù).,上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的 代數(shù)精度的要求下，利用它可以得出各種求積公式。,1.3 插值型求積公式,其中l(wèi)k(x) 為插值基函數(shù)。取f (x) Ln(x)，則有：,記：,則有：,設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)a x0 x1 xn-1xn b，且已知f (x) 在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，則可求 得f (x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式：,插值型求積公式（續(xù)）,這種求積系數(shù)由式（7-5）所確定的求積公式稱為 插值型求積公式。,根據(jù)插值余項(xiàng)定理，插值型求積公式的求積余項(xiàng)為：,其中a,b 且與x有關(guān)。在插值中，因f (x) 不知道，所以無法估計(jì)插值誤差。而在這里，f (x)作為被積函數(shù)，式（7-6）卻可以用于估計(jì)積分的誤差。,插值型求積公式代數(shù)精度定理,關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有如下定理。,具有n +1個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式（7-1）是插值型求積 公式的充分必要條件是該公式至少具有n次代數(shù)精度。,定理2,證：(充分性) 設(shè)求積公式（7-1）至少具有n次代數(shù)精度， 那么，由于插值基函數(shù) li(x) (i=0,1,n)均是次數(shù)為n的 多項(xiàng)式，故式（7-1）對li(x)精確成立，即:,定理2（續(xù)）,(必要性) 設(shè)求積公式（7-1）是插值型的，則對所有次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式f (x)，按（7-6）其求積余項(xiàng)Rn = 0，即公式是精確成立的。由定義1知求積公式至少具有n次代數(shù)精度。（證畢）,定理2說明，當(dāng)求積公式（7-1）選定求積節(jié)點(diǎn)xk 后，確定求積系數(shù)Ak有兩條可供選擇的途徑：求解 線性方程 組（7-2）或者計(jì)算積分（7-5）。由此得 到的求積公式都是插值型的，其代數(shù)精度均不小于 n次。,插值型求積公式舉例,例3,考察求積公式：,具有幾次代數(shù)精度。,此例說明三個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式不一定具有二次數(shù)精度， 其原因是此求積公式不是插值型的。,2 牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式,本節(jié)介紹求積節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)的插值型求積公式， 即牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式。,2.1 牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式,設(shè)將積分區(qū)間a, b 劃分為n等分，步長h=(b-a)/n，求積節(jié)點(diǎn)取為xk = a+kh(k=0,1,n)，由此構(gòu)造插值型求積公式，則其求積系數(shù)為:,牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)）,稱之為n階牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式簡記為 N-C公式， 稱為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被 積函數(shù)f (x) 和積分區(qū)間a, b 無關(guān)，且為多項(xiàng)式積分，其值 可以事先求出備用。表7-1中給了了部分柯特斯系數(shù)。,記：,柯特斯系數(shù),表7-1,牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)1）,經(jīng)計(jì)算或查表得到柯特斯系數(shù)后，便可以寫出對應(yīng)的 牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式。,當(dāng)n =1時(shí)，按公式（7-7）有：,得求積公式：,即為 梯形公式,相應(yīng)的求積公式：,稱為辛卜生 （Simpson） 公式。,牛頓一柯特斯(Newton-Cotes)公式（續(xù)2）,所以柯特斯公式是：,當(dāng)n=4時(shí)，所得的公式稱作柯特斯公式，它有五個(gè)節(jié)點(diǎn) ，其系數(shù)：,柯特斯系數(shù)的性質(zhì),1、與積分區(qū)間無關(guān)：當(dāng)n確定后，其系數(shù)和 都等于1，即：,2、對稱性：,此特性由表7-1很容易看出，現(xiàn)就一般情況證明之。,3、柯特斯系數(shù)并不永遠(yuǎn)都是正的。 從表7-1可以看出當(dāng)n = 8時(shí)，出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，在實(shí)際 計(jì)算中將使舍入誤差增大，并且往往難以估計(jì)，從而牛頓 一柯特斯公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此實(shí)際計(jì) 算中不用高階的牛頓一柯特斯公式。,柯特斯系數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）,2n階Newton-Cotes公式至少具有 2n+1次代數(shù)精度。,一般地，由n次插值多項(xiàng)式導(dǎo)出的n次牛頓一柯特斯公 式至少具有n次代數(shù)精度，更進(jìn)一步有以下結(jié)論：,定理3,（證明見下屏）,N為偶時(shí)的?？鹿降拇鷶?shù)精度證明,上式中被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱， 故積分值為0，即：,所以2n階N-C公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。,N-C公式應(yīng)用舉例,例4,驗(yàn)證辛卜生 （Simpson）公式:,具有三次代數(shù)精度。,解：由定理2,辛卜生公式至少具有二次代數(shù)精度,因此只需 檢查對f (x)=x3成立否。當(dāng)f (x)=x3時(shí)：,所以I = S，表明辛卜生公式對于次數(shù)不超過三次的多項(xiàng) 式準(zhǔn)確成立，用同樣的方法可以驗(yàn)證對于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代數(shù)精度可以達(dá)到三次。 在幾種低階N-C公式中，感興趣的是梯形公式（最簡單， 最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式。,N-C公式應(yīng)用舉例（續(xù)）,例5,解：由梯形公式 （7-9）得：,由辛卜生公式 （7-10）得：,由柯特斯公式（7-11）得：,事實(shí)上，積分的精確值：,分別用梯型公式、辛卜生公式 和柯特斯公式計(jì)算積分：,與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)果最差，只有兩位有效數(shù)字。,2.2 幾種低價(jià)N-C求積公式的余項(xiàng),1.考察梯形公式，按余項(xiàng)公式（7-6），梯形公式（7-9） 的余項(xiàng)為：,這里被積函數(shù)中的因子(xa)(xb)在區(qū)間a, b 上不變號(hào)（非正），故由積分中值定理，在a, b 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使：,2. 對于辛卜生公式，為得到其誤差估計(jì)式，在a, b 區(qū)間上構(gòu)造三次多項(xiàng)式H(x)，讓H(x) 滿足插值條 件（帶導(dǎo)數(shù)插值）：,（緊接下屏）,辛卜生公式誤差估計(jì)式的 推導(dǎo),而辛卜生公式至少具有三次代數(shù)精度，因此對上述三次多項(xiàng)式H(x) 應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有：,其插值 余項(xiàng)為：,因此，辛卜生公式的誤差就是對上述誤差公式的積分：,3. 柯特斯公式（6-10）的余項(xiàng)為：,辛卜生公式誤差估計(jì)式的 推導(dǎo)（續(xù)）,2.3 牛頓一柯特斯公式的穩(wěn)定性和收斂性,根據(jù)定理2，牛頓一柯特斯公式（6-7）對f (x)=1精確成立，即：,由此可得：,下面來分析f (xk) 的誤差對數(shù)值求積結(jié)果的影響。 設(shè)f (xk)有誤差k，并設(shè) :,則由此引起的計(jì)算誤差為：,牛頓一柯公式的穩(wěn)定性和收斂性（續(xù)）,關(guān)于收斂性可以證明，并非對一切連續(xù)函數(shù)f (x)，都有： ，,也就是說牛頓柯特斯公式的收斂性沒有保證。因此，在實(shí)際計(jì)算中，一般不采用高階(n 8) 的牛頓柯特斯公式。,在實(shí)驗(yàn)計(jì)算中常用的就是以上三種低階的 N-C公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用這 些求積公式，則精度難以保證；若增加節(jié)點(diǎn)， 就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出， 當(dāng)n 8時(shí)，由于N-C公式的收斂性和穩(wěn)定性得 不到保證，因此不能采用高階的公式，事實(shí)上， 增加節(jié)點(diǎn)，從插值的角度出發(fā)，必然會(huì)提高插 值多項(xiàng)式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，一般不采 用高次插值，亦即不用高階N-C公式，為提高 精度，當(dāng)增加求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，考慮對被積函數(shù)用 分段低次多項(xiàng)式近似，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。,3 復(fù)化求積公式,3.1 復(fù)化梯形公式,用分段線性插值函數(shù)近似被積函數(shù)，等于把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上以梯形面積近似曲邊梯形面積，即用梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值。如圖7-2所示，這樣求得的近似值顯然比用梯形公式計(jì)算高。定積分存在定理表明，只要被積函數(shù)連續(xù)，當(dāng)小區(qū)間長度趨于零時(shí)，小梯形面積之和趨于曲邊梯形面積的準(zhǔn)確值，即定積分的準(zhǔn)確值。,復(fù)化梯形公式,它實(shí)際上就是用定積分 定義計(jì)算積分，經(jīng)等分區(qū) 間，在每個(gè)小區(qū)間上以直 線近似替代曲頂（線）然 后求知，略掉無限細(xì)分區(qū) 間（求極限）這一步而得 到的近似值。,式（7-15）稱為復(fù)化梯形公式。,復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差,因?yàn)閒 (x) 在a, b 連續(xù)，由介值定理，存在 (a, b)，使得：,從而有：,這就是復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差。,復(fù)化梯形公式的數(shù)值穩(wěn)定性討論,下面簡單討論復(fù)化梯形公式的數(shù)值穩(wěn)定性。設(shè) 計(jì)算函數(shù)值f (xk) 時(shí)產(chǎn)生誤差為k (k=0,1,n)，則 用式（7-15）計(jì)算結(jié)果的誤差為：,因此，無論n為多大，復(fù)化梯形公式是數(shù)值穩(wěn) 定的。,3.2 復(fù)化Simpson公式和復(fù)化Cotes公式,如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用Simpson公式計(jì)算積分近似值，就導(dǎo)出復(fù)化Simpson公式。,整理后得到：,式（7-17）稱為復(fù)化Simpson公式。,（緊接下屏）,復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差,如果f (x)C(4)a, b，由式（7-13）可得復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`差為：,因?yàn)閒 (4)(x) 連續(xù)，故存在(a, b)，使得：,式（7-18）表明，步長h越小，截?cái)嗾`差越小。與復(fù)化 梯形公式的分析相類似，可以證明，當(dāng)n 時(shí)，用復(fù)化 Simpson公式所求得的近似值收斂于積分值，而且算法具 有數(shù)值穩(wěn)定性。,復(fù)化Cotes公式,將區(qū)間a, b分成n 等分，分點(diǎn)為：,用Cotes公式得到復(fù)化Cotes公式 ：,復(fù)化Cotes公式的截?cái)嗾`差為：,復(fù)化求積公式舉例,根據(jù)函數(shù)表,例6,解：（1）由復(fù)化梯形公式,n=8,h=1/8：,例6(續(xù)）,（2）由復(fù)化Simpson公式,n=4,h=1/4：,與準(zhǔn)確值I=0.9460831比較，顯然用復(fù)化Simpson公式 計(jì)算精度較高。,事實(shí)上，由誤差公式（7-16）與（7-18）有 RT (f )=O(h2), RS (f )=O(h4)，故當(dāng)h比較小時(shí)，用復(fù)化Simpson公式計(jì)算誤差較小。,由誤差估計(jì)公式不僅可以計(jì)算所求近似值的誤差，反 之，亦可由給定的精度估計(jì)應(yīng)取多大步長。,復(fù)化求積公式舉例（續(xù)）,若用復(fù)化求積 公式計(jì)算積分:,的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有 四位有效數(shù)字，n應(yīng)取多大？,例7,解 因?yàn)楫?dāng)0x1時(shí)有0.3e-1e-x1于是：,要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過10-4 / 2。又因?yàn)?,因此若用復(fù)化梯形公式求積分，n應(yīng)等于41才能達(dá)到精度。,由復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)式：,若用復(fù)化Simpson公式,由式（7-18）,即得n 1.6。故應(yīng)取n = 2。,即得n 3.2。故應(yīng)取n = 4。,a, b分成n 等分，分點(diǎn)為：,所以這里在0, 1上實(shí)際上共有5個(gè)分點(diǎn)。,若用公式,注意這里是將區(qū)間,例6、例7說明,例7的計(jì)算結(jié)果表明，為達(dá)到相同的精度， 用復(fù)化Simpson公式所需的計(jì)算量比復(fù)化梯形公式 少，這也說明了復(fù)化Simpson公式的精度較高，實(shí) 際計(jì)算時(shí)多采用復(fù)化Simpson公式。,復(fù)化求積方法又稱為定步長方法，要應(yīng)用復(fù) 化求積公式，必須根據(jù)預(yù)先給定的精度估計(jì)出合 適的步長或n，進(jìn)而確定對積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)，如 同例7一樣。然而當(dāng)被積函數(shù)稍復(fù)雜一些，要由誤 差估計(jì)式給出合適的步長，就要估計(jì)被積函數(shù)導(dǎo) 數(shù)的上界值，而這一點(diǎn)是相當(dāng)困難的。,（緊接下屏）,例6、例7說明（續(xù)）,要使截?cái)嗾`差不超過10-3 / 2，h應(yīng)取多大？,如對例6，用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分:,4 逐次分半算法(變步長方法),用復(fù)化求積公式（定步長方法）必 須要用誤差估計(jì)式對于預(yù)先給定的精度 給出步長h或n,但由于誤差估計(jì)式中要估 計(jì)高階導(dǎo)數(shù)，而這一點(diǎn)往往很困難，因 此實(shí)際計(jì)算時(shí)，常采用變步長方法：逐 步縮小步長，每次將步長縮小一半，或 者說逐次等分區(qū)間,反復(fù)利用復(fù)化求積公 式，直到相鄰兩次計(jì)算結(jié)果相差不大為 止或者滿足給定精度為止。,4.1 梯形法的遞推公式,因此計(jì)算梯形序列T2m可按：,梯形公式的逐次分半算法（續(xù)1）,梯形公式的逐次分半算法（續(xù)1）,4,設(shè)將區(qū)間a , bn等分，共有n+1個(gè)分點(diǎn)，,如果將積分區(qū)間再等分一次，則分點(diǎn)增為2n+1個(gè)，將 等分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來加以考察：,注意到每個(gè)子區(qū)間,經(jīng)過等分只增加了一個(gè)分點(diǎn)：,用復(fù)化梯形公式可求得,上的積分值為,注意，這里,代表等分前的步長。,梯形公式的逐次分半算法（續(xù)2）,此為復(fù)化梯形公式的遞推公式,將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得：,梯形公式的逐次分半算法（續(xù)3）,復(fù)化梯形公式的停止計(jì)算控制, f (m-1) 與 f (m) 是二階導(dǎo)數(shù) f (x) 在a, b上2m-1個(gè)點(diǎn) 與2m個(gè)點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù)（每個(gè)小區(qū)間上取一個(gè)點(diǎn)）， 若f (x) 在a, b 的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則當(dāng)m較大時(shí)：,以此作為停止計(jì)算 的控制。,復(fù)化simpson的停止計(jì)算控制,4.2 Simpson公式的逐次分半法,（緊接下屏）,Simpson公式的逐次分半法（續(xù)）,梯形公式的逐次分半法舉例,用自動(dòng)選擇步長的梯形 公式計(jì)算I，要求誤差,例8,例8（續(xù)）,上例說明Tn收斂慢，求T128 要計(jì)算64個(gè)新增的函數(shù)值，而將T8與T4重新組合可構(gòu)造S8。,例8說明,由T8與T4重新組合可 構(gòu)造S8，這一結(jié)果并 不是偶然，因?yàn)橛校?例8說明（續(xù)1）,我們將此誤差估計(jì)加到T2m上構(gòu)成新的近似值：,在復(fù)化梯形公式逐次分半算法中：,而在Simpson逐次分半算法中：,(緊接下屏！),即由Simpson序列可構(gòu)造出收斂更快的Cotes序列 。,例8說明（續(xù)2）,例8說明（續(xù)3）,并且我們的具體做法都是利用控制結(jié)束的誤差式，構(gòu)成新的，收斂更快的序列，而由前面的推導(dǎo)可知，下面這些公式具有如下規(guī)律性：,例8說明（續(xù)4）,類似地，也可以推導(dǎo)出：,5 龍貝格（Romberg）求積公式,5.1 外推法,從上面例，我