信號(hào)與系統(tǒng)教案第5章21.ppt

第六章 離散系統(tǒng)z域分析,在連續(xù)系統(tǒng)中，為了避開解微分方程的困難，可以通過拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。出于同樣的動(dòng)機(jī)，也可以通過一種稱為z變換的數(shù)學(xué)工具，把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。,z變換,一、從拉氏變換到z變換,對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后，就得到離散信號(hào):,取樣信號(hào),兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得,令z = esT，上式將成為復(fù)變量z的函數(shù)，用F(z)表示；f(kT) f(k) ，得,稱為序列f(k)的雙邊z變換,稱為序列f(k)的單邊z變換,若f(k)為因果序列，則單邊、雙邊z 變換相等，否則不等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換。,F(z) = Zf(k) ,f(k)= Z-1F(z) ；f(k)F(z),z變換,二、收斂域,z變換定義為一無窮冪級(jí)數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂，即,時(shí)，其z變換才存在。上式稱為絕對(duì)可和條件，它是序列f(k)的z變換存在的充分必要條件。,收斂域的定義：,對(duì)于序列f(k)，滿足,所有z值組成的集合稱為z變換F(z)的收斂域。,z變換,例1求以下有限序列的z變換(1) f1(k)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1,解(1),可見，其單邊、雙邊z變換相等。與z 無關(guān)，所以其收斂域?yàn)檎麄€(gè)z 平面。,(2),f2(k)的雙邊z 變換為,F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2,收斂域?yàn)?z ,f2 (k)的單邊z 變換為,收斂域?yàn)閦 0,對(duì)有限序列的z變換的收斂域一般為0z，有時(shí)它在0或/和也收斂。,z變換,例2 求因果序列,的z變換（式中a為常數(shù)）。,解：代入定義,可見，僅當(dāng)az-1a =時(shí)，其z變換存在。,收斂域?yàn)閨z|a|,z變換,例3 求反因果序列,的z變換。,解,可見，b-1z1,即zb時(shí)，其z變換存在，,收斂域?yàn)閨z| |b|,z變換,例4 雙邊序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解,的z變換。,可見，其收斂域?yàn)閍zb （顯然要求ab，否則無共同收斂域),序列的收斂域大致有一下幾種情況： （1）對(duì)于有限長(zhǎng)的序列，其雙邊z變換在整個(gè)平面； （2）對(duì)因果序列，其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓外區(qū)域； （3）對(duì)反因果序列，其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓內(nèi)區(qū)域； （4）對(duì)雙邊序列，其z變換的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域；,z變換,注意：對(duì)雙邊z變換必須表明收斂域，否則其對(duì)應(yīng)的原序列將不唯一。,例,f1(k)=2k(k)F1(z)=, z2,f2(k)= 2k( k 1)F2(z)=, z2,對(duì)單邊z變換，其收斂域比較簡(jiǎn)單，一定是某個(gè)圓以外的區(qū)域?？梢允÷浴?常用序列的z變換：,(k) 1 ，z0,(k),，z1,，z1,( k 1),注意：,上述Z變換的定義是雙邊Z變換：,k 的取值為,今后，主要討論單邊Z變換：,k 的取值為,即，認(rèn)為 k0 時(shí)，f(k)=0 ; 或者說 ：,為了更清楚地表達(dá)這個(gè)映射關(guān)系，將s寫成直角坐標(biāo)的形式：s=+j，而將z寫成極坐標(biāo)的形式z=rej。這樣將s平面變換到z平面后就可以寫成,圖5.6 s平面與z平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系,1). 單位函數(shù),2). 單位階躍序列,對(duì)比：,(單位函數(shù)的抽樣性),3). 單邊指數(shù)序列,特別地，當(dāng),z變換的性質(zhì),一、線性,z變換的性質(zhì),本節(jié)討論z變換的性質(zhì)，若無特殊說明，它既適用于單邊也適用于雙邊z變換。,若 f1(k)F1(z) 1z1, f2(k) F2(k) 2z2 對(duì)任意常數(shù)a1、a2，則 a1f1(k)+a2f2(k) a1F1(z)+a2F2(z) 其收斂域至少是F1(z) )與F2(z)收斂域的相交部分。,例： 2(k)+ 3(k) 2 +,，z1,z變換的性質(zhì),二、移位（移序）特性,單邊、雙邊差別大！,雙邊z變換的移位：,若 f(k) F(z) , 0，則,f(km) zmF(z), z,證明：Zf(k+m)=,單邊z變換的移位：,若 f(k) F(z), |z| ，且有整數(shù)m0, 則,f(k-1) z-1F(z) + f(-1) f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1,z變換的性質(zhì),f(k+1) zF(z) f(0)z f(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z,證明： Zf(k m)=,上式第二項(xiàng)令k m=n,特例：若f(k)為因果序列，則f(k m) z-mF(z),z變換的性質(zhì),例1：求周期為N的有始周期性單位序列,的z變換。,解,z1,例2：求f(k)= k(k)的單邊z變換F(z).,解,f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k),zF(z) zf(0) = F(z) +,F(z)=,z變換的性質(zhì),三、序列乘ak(z域尺度變換),若 f(k) F(z) , z ， 且有常數(shù)a0,則 akf(k) F(z/a) , aza,證明： Zakf(k)=,例1：ak(k) ,例2：cos(k)(k) ?,cos(k)(k)=0.5(ej k+ e-j k)(k) ,z變換的性質(zhì),四、卷積定理,若 f1(k) F1(z) 1z1, f2(k) F2(z) 2z2 則 f1(k)*f2(k) F1(z)F2(z),對(duì)單邊z變換，要求f1(k)、 f2(k)為因果序列,其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。,例：求f(k)= k(k)的z變換F(z).,解： f(k)= k(k)= (k)* (k-1),z變換的性質(zhì),五、序列乘k（z域微分）,若 f(k) F(z) , z 則, z,例：求f(k)= k(k)的z變換F(z).,解：,z變換的性質(zhì),六、k域反轉(zhuǎn)(僅適用雙邊z變換）,若 f(k) F(z) , z 則 f( k) F(z-1) , 1/z1/,例：已知,，|z| a,求a k( k 1)的z變換。,解,，|z| a,，|z| 1/a,乘a得,，|z| 1/a,z變換的性質(zhì),七、部分和（累加）,若 f(k) F(z) , z，則, max(,1)z,證明,例：求序列(a為實(shí)數(shù)) (k0)的z變換。,解,，|z|max(|a|,1),z變換的性質(zhì),八、初值定理和終值定理,初值定理適用于右邊序列，即適用于kM(M為整數(shù))時(shí)f(k)=0的序列。它用于由象函數(shù)直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。,初值定理：,如果序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k)F(z) ，z 則序列的初值,對(duì)因果序列f(k)，,z變換的性質(zhì),證明：,兩邊乘zM得,zMF(z) = f(M) + f(M+1)z-1 + f(M+2)z-2+,z變換的性質(zhì),終值定理：,終值定理適用于右邊序列，用于由象函數(shù)直接求得序列的終值，而不必求得原序列。,如果序列在kM時(shí)，f(k)=0，它與象函數(shù)的關(guān)系為 f(k) F(z) ，z 且01 則序列的終值,含單位圓,逆z變換,逆z變換,求逆z變換的方法有：冪級(jí)數(shù)展開法、部分分式展開法和反演積分（留數(shù)法）等。,一般而言，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(k 1) + f(k) (k) 相應(yīng)地，其z變換也分為兩部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| ,其中 F1(z)= Zf(k)(k)=,，|z| ,F2(z)=Zf(k)(k 1)=,，|z| ,逆z變換,當(dāng)已知象函數(shù)F(z)時(shí)，根據(jù)給定的收斂域不難由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分別求得它們所對(duì)應(yīng)的原序列f1(k)和f2(k)，將兩者相加得原序列f(k)。,一、冪級(jí)數(shù)展開法,根據(jù)z變換的定義，因果序列和反因果序列的象函數(shù)分別是z-1和z的冪級(jí)數(shù)。其系數(shù)就是相應(yīng)的序列值。,例：已知象函數(shù),其收斂域如下，分別求其相對(duì)應(yīng)的原序列f(k)。 （1） |z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2,逆z變換,解,（1） 由于F(z)的收斂域在半徑為2的圓外，故f(k)為因果序列。用長(zhǎng)除法將F(z)展開為z-1的冪級(jí)數(shù)： z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + ,f(k)=1，1，3，5， k=0,（2） 由于F(z)的收斂域?yàn)閦1，故f(k)為反因果序列。用長(zhǎng)除法將F(z)（按升冪排列）展開為z的冪級(jí)數(shù):,z2/( 2 z z2)=,逆z變換,(3) F(z)的收斂域?yàn)?z2，其原序列f(k)為雙邊序列。將F(z)展開為部分分式，有,第一項(xiàng)屬于因果序列的項(xiàng)函數(shù)F1(z)，第二項(xiàng)屬于反因果序列的象函數(shù)F2(z)，,，z 1,，z 2,即將它們分別展開為z-1及z的冪級(jí)數(shù)，有,難以寫成閉合形式。,逆z變換,二、部分分式展開法,式中mn,（1）F(z)均為單極點(diǎn)，且不為0,可展開為：,根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為F1(z)(z)和F2(z)(z)兩部分，根據(jù)已知的變換對(duì)，如,(k)1,逆z變換,例1：已知象函數(shù),其收斂域?yàn)閦2,解 部分分式展開為,當(dāng)z2，f(k)為因果序列,逆z變換,(2) F(z)有重極點(diǎn),F(z)展開式中含 項(xiàng)(r1)，則逆變換為,若z ,對(duì)應(yīng)原序列為,以z為例： 當(dāng)r=2時(shí)，為 kak-1(k) 當(dāng)r=3時(shí)，為,逆z變換,可這樣推導(dǎo)記憶： Zak(k)=,兩邊對(duì)a求導(dǎo)得 Zkak-1(k)=,再對(duì)a求導(dǎo)得Zk(k-1)ak-2(k)=,故Z0.5k(k-1)ak-2(k)=,逆z變換,例：已知象函數(shù),，z1,的原函數(shù)。,解,f(k)=k(k-1)+3k+1(k),z域分析,z域分析,單邊z變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中，可求得零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。,一、差分方程的變換解,設(shè)f(k)在k=0時(shí)接入，系統(tǒng)初始狀態(tài)為y(-1),y(-2),y(-n)。,取單邊z變換得,z域分析,令,稱為系統(tǒng)函數(shù),h(k)H(z),例1：若某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2) 已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系統(tǒng)的yx(k)、yf(k)、y(k)。,解,方程取單邊z變換,z域分析,Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z),z域分析,例2： 某系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入f(k)=( 1/2)k(k)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng),求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和描述系統(tǒng)的差分方程。,解,h(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k(k),z域分析,二、系統(tǒng)的z域框圖,另外兩個(gè)基本單元：數(shù)乘器和加法器，k域和z域框圖相同。,z域分析,例3： 某系統(tǒng)的k域框圖如圖，已知輸入f(k)= (k)。(1) 求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)。,解:(1)畫z域框圖,z-1,z-1,F(z),Yf(z),設(shè)中間變量X(z),X(z),z-1X(z),z-2X(z),X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z),Yf(z)=X(z) 3z-1X(z)= ( 1 3z-1)X(z),z域分析,h(k) = 2 (2)k(k),當(dāng)f(k)= (k)時(shí)，F(xiàn)(z)= z/(z-1),yf(k) = 2k + 3 2 (2)k(k),z域分析,四、s域與z域的關(guān)系,z=esT,式中T為取樣周期,如果將s表示為直角坐標(biāo)形式 s = +j ，將z表示為極坐標(biāo)形式 z = ej,= eT ， = T,由上式可看出： s平面的左半平面（z平面的單位圓內(nèi)部（z=0)-z平面的單位圓外部（z=1) s平面的j軸（=0)-z平面中的單位圓上（z=1) s平面上實(shí)軸（=0)-z平面的正實(shí)軸（=0) s平面上的原點(diǎn)（=0，=0）-z平面上z=1的點(diǎn)（=1，=0）,z域分析,五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng),由于z = esT ， s=+j，若離散系統(tǒng)H(z)收斂域含單位園，則,若連續(xù)系統(tǒng)的H(s)收斂域含虛軸，則連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng),離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)定義為,存在。,令T = ，稱為數(shù)字角頻率。,式中H(ej)稱為幅頻響應(yīng),偶函數(shù)；()稱為相頻響應(yīng)。,只有H(z)收斂域含單位圓才存在頻率響應(yīng),z域分析,設(shè)LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k),系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，其收斂域含單位園，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),yf(k)=h(k)*f(k),當(dāng)f(k)=ejk時(shí),若輸入f(k)=Acos(k+),則其正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,ys(k)= 0.5A ej ej k H(ej) + 0.5A e-j e-j k H(e - j),= 0.5A ej ej k |H(ej)|ej() + 0.5A e-j e-j k |H(e-j)| e-j(),=A |H(ej)| cos k + + () ,= 0.5Aej k ej + 0.5Ae-j k e-j ,z域分析,例 圖示為一橫向數(shù)字濾波器。 （1）求濾波器的頻率響應(yīng)； （2）若輸入信號(hào)為連續(xù)信號(hào)f(t)=1+2cos(0t)+3cos(20t)經(jīng)取樣得到的離散序列f(k)，已知信號(hào)頻率f0=100Hz，取樣fs=600Hz，求濾波器的穩(wěn)態(tài)輸出yss(k),解 （1）求系統(tǒng)函數(shù),Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z),H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3,，|z|0,令=TS，z取e j ,H(ej) =1+ 2e-j+2e-j2+ e-j3,=e-j1.52cos(1.5)+