數(shù)學(xué)方面的畢業(yè)論文.doc

長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文分院名稱： 學(xué)生學(xué)號(hào)：本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）（理工類）題 目： 平方差型不定方程的解法 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作 者 姓 名： 指導(dǎo)教師姓名： 指導(dǎo)教師職稱： 2011年 5 月ii本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）目 錄承諾保證書(shū)1 不定方程及其解法簡(jiǎn)介 1 1.1 幾類不定方程 1 1.1.1 一次不定方程 1 1.1.2 沛爾方程 2 1.1.3 勾股方程 2 1.1.4 不定方程 3 1.2 在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中不定方程問(wèn)題的類型 3 1.3 解決不定方程的常用方法 3 2 平方差型不定方程的解法 4 2.1 質(zhì)因子分析 4 2.2 奇偶性分析 7 2.3 整數(shù)范圍分析 9 2.4 運(yùn)用二項(xiàng)式定理10參考文獻(xiàn) 14英文摘要 15平方差型不定方程的解法 摘要：本文簡(jiǎn)析了不定方程的含義、幾類不定方程的類型及在中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中不定方程問(wèn)題的類型,并簡(jiǎn)單闡述了六種解不定方程的方法.文中著重介紹了平方差型不定方程，歸納總結(jié)了什么是平方差型不定方程，并通過(guò)實(shí)例討論了平方差型不定方程在質(zhì)因子分析、奇偶性分析、整數(shù)范圍分析和運(yùn)用二項(xiàng)式定理等方面的解法. 關(guān)鍵詞：不定方程 平方差型 解法 不定方程是數(shù)論的一個(gè)分支，它有著悠久的歷史與豐富的內(nèi)容.古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖于三世紀(jì)初就研究過(guò)若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程，是數(shù)論的重要分支學(xué)科，也是歷史上最活躍的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一.不定方程的內(nèi)容十分 豐富，與代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、集合數(shù)論等等都有較為密切的聯(lián)系. 所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些（如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組. 不定方程在經(jīng)過(guò)了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的反復(fù)研究、解答以及證明后，終于總結(jié)出幾類不定方程、不定方程的解法以及解答不定方程的解題技巧.在本文的第一部分將作簡(jiǎn)單的介紹，第二部分將著重分析不定方程中的一種-平方差型不定方程的解題方法.1 不定方程及其解法簡(jiǎn)介1.1 幾類不定方程 通常我們把不定方程分為一次不定方程、沛爾方程、勾股方程、不定方程這四種. 1.1.1 一次不定方程 在不定方程和不定方程組中，最簡(jiǎn)單的不定方程是整系數(shù)方程 通常稱之為二元一次不定方程.一次不定方程解的情況有如下定理:定理一：不定方程為整數(shù).有整數(shù)解的充要條件是.定理二：若為之一解，則方程全部解是，（為整數(shù)）.1.1.2 沛爾方程 形如 的方程稱為沛爾方程.能夠證明它一定有無(wú)窮多組正整數(shù)解；又設(shè)為該方程的正整數(shù)解中使最小的解，則其全部正整數(shù)解由（）給出. 只要有解，就可以由通解公式給出方程的無(wú)窮多組解. 滿足的關(guān)系 , . 1.1.3 勾股方程 這里只討論勾股方程的正整數(shù)解，只需討論滿足的解，此時(shí)易知實(shí)際上兩兩互素.這種兩兩互素的正整數(shù)解稱為方程的本原解，也稱為本原的勾股數(shù).容易看出一奇一偶，無(wú)妨設(shè)為偶數(shù)，下面的結(jié)果勾股方程的全部本原解通解公式.定理三：方程滿足，的全部正整數(shù)解可表為 其中是滿足一奇一偶，且的任意整數(shù).1.1.4 不定方程 這是個(gè)四元二次方程，此方程也有不少用處，其全部正整數(shù)解極易求出：設(shè)，則,其中，故，所以.因此方程的正整數(shù)解可表示為 其中都是正整數(shù)，且.反過(guò)，易知上述給出的都是解. 1.2 在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，不定方程問(wèn)題的類型 不定方程問(wèn)題一般會(huì)分為三類即求不定方程的解、判斷不定方程是否有解及判斷不定方程解的數(shù)量（有限還是無(wú)限）.隨著問(wèn)題的不同解題的方法也就不同.1.3 解決不定方程問(wèn)題的常用方法 解決不定方程的問(wèn)題有很多種方法，下面就簡(jiǎn)單介紹一下因式分解法、估計(jì)法、同余法、構(gòu)造法、無(wú)窮遞降法、換元法這六種方法.1.3.1 因式分解法 將方程的一邊化為常數(shù)，作質(zhì)因數(shù)分析，另一邊含未知數(shù)的代數(shù)式也作因式分解.考慮各因式的取值情況，可將方程分解成若干個(gè)方程組來(lái)求解.這種方法的目的是增加方程的個(gè)數(shù)，這樣就有可能消去某些未知數(shù)，或確定未知數(shù)的質(zhì)因數(shù)，進(jìn)而求出其解.1.3.2 估計(jì)法 先通過(guò)對(duì)所考察的量的放縮得到未知數(shù)取值條件的不等式，再解這些不等式得到未知數(shù)的取值范圍，這是解不定方程的一個(gè)常用技巧.1.3.3 同余法 如果不定方程有整數(shù)解，則對(duì)于任意，其整數(shù)解 滿足，利用這一條件，同余可以作為探究不定方程整數(shù)解的一塊試金石. 利用同余關(guān)系解不定方程關(guān)鍵在于模的選擇.一般而言，可考慮除數(shù)或除數(shù)的因數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)或冪的指數(shù)作為模.1.3.4 構(gòu)造法 在處理不定方程問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn)，構(gòu)造出符合要求的特解，或構(gòu)造一個(gè)求解的遞推式等.構(gòu)造法常用來(lái)證明不定方程有解或者有無(wú)窮多組解.1.3.5 無(wú)窮遞降法 若關(guān)于正整數(shù)的命題對(duì)某些正整數(shù)成立，設(shè)是使成立的最小正整數(shù)，可以推出：存在正整數(shù)，使得成立，適合證明不定方程無(wú)正整數(shù)解.1.3.6 換元法 利用不定方程未知數(shù)之間的關(guān)系（如常見(jiàn)的倍數(shù)關(guān)系），通過(guò)代換消去未知數(shù)或倍數(shù)，使方程簡(jiǎn)化，從而達(dá)到求解目的.2 平方差型不定方程 一般來(lái)說(shuō)，平方差型不定方程是指未知數(shù)在指數(shù)位置，并且可通過(guò)平方差公式將方程化簡(jiǎn)解決的不定方程. 解決平方差型不定方程通常先選擇適當(dāng)?shù)哪?shù)（或結(jié)合二項(xiàng)式定理）對(duì)其指數(shù)進(jìn)行奇偶性分析，再因式分解.最后，通過(guò)對(duì)質(zhì)因子的分析來(lái)求解.下面就介紹在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常見(jiàn)的幾類平方差型不定方程的解法.2.1 質(zhì)因子分析 首先通過(guò)觀察或計(jì)算方程得出方程的未知數(shù)的奇偶性，其次將式子變形分解，再將未知數(shù)替換成兩個(gè)或兩個(gè)以上的其他未知數(shù)，將方程分成兩個(gè)簡(jiǎn)單的方程，最后討論解得情況. 例1 試求方程的全部正整數(shù)解.分析 為了分解方程創(chuàng)造條件，應(yīng)先證明是偶數(shù).是偶數(shù)這一事實(shí)，從原方程本身不易導(dǎo)出來(lái).我們將原方程模，那么方程被化簡(jiǎn)，消去兩個(gè)未知量，進(jìn)而易于產(chǎn)生某些結(jié)果.解 顯然與不同余，故 將方程模，得出 因此是偶數(shù)，設(shè)，將原方程變形為 由及唯一分解定理推出正整數(shù)與都是（素?cái)?shù)）的方冪，但這兩數(shù)的和是（注意與不同余），故 因此必有 ，由以上兩式消去，得 若為奇數(shù)，則是奇數(shù)平方的倍，故得左邊，右邊這不可能，因此式偶數(shù)，設(shè)，將的左邊用平方差公式分解，不難求出其解，但我們寧愿用下面的方法是奇數(shù)，設(shè)為，則成為 若，則與中至少有一個(gè)有奇素?cái)?shù)因子，顯然不能成立，從而，故，這樣易知所求的全部解為.例2 已知為完全平方數(shù)，求所有的有序整數(shù)對(duì).分析 顯然均為非負(fù)整數(shù)，且必為一奇一偶.那么我們就應(yīng)用質(zhì)因子分析，將原方程變形分解，使之更易討論得出結(jié)果.解 設(shè)，首先方程兩邊得 注意到，則必為一奇一偶，下分別討論： 為奇數(shù)，為偶數(shù)設(shè)，則 注意到不為的倍數(shù)，則和不可能均為的倍數(shù)，故必有從而 若，則，從而為一組解.若，則，易知使得的最小正整數(shù)，從而滿足上式的均為的倍數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾. 為偶數(shù)，為奇數(shù)設(shè)，則 注意到不為的倍數(shù)，則和不可能均為的倍數(shù)，故必有 從而 若，則，從而為一組解.若，則，而使得的最小正整數(shù)，從而滿足上式的均為的倍數(shù).設(shè)注意到為大于等于的奇數(shù)，并記則 從而 注意到是奇數(shù)，則 ，其中為正整數(shù)，且，又由知，從而 這與矛盾，綜上知，或.總結(jié) 這種方法在求所有解是應(yīng)用廣泛.一般的在遇到未知數(shù)可以判定其中一個(gè)或兩個(gè)的奇偶性，然后將為偶數(shù)的未知數(shù)質(zhì)因子分析.將方程分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單并且好分析的方程.這種方法的關(guān)鍵是找到偶數(shù)未知數(shù)，并將其質(zhì)因子分析.2.2 奇偶性分析 從討論未知數(shù)的奇偶性入手，一方面可縮小未知數(shù)的取值范圍.另一方面又可用或代入方程，變形為更便于討論的等價(jià)形式.這種方法的適用范圍很廣. 例3 求所有滿足的正整數(shù)三元組.分析 通過(guò)方程取模的出、都是偶數(shù)運(yùn)用質(zhì)因子替換，得出兩個(gè)新的簡(jiǎn)單的不定方程，進(jìn)一步討論新方程中未知數(shù)的奇偶行進(jìn)而解決問(wèn)題. 解 兩邊取得所以是偶數(shù)，再得所以也是偶數(shù).此時(shí)令于是，由可知 由唯一分解定理 兩式相加從而 注意到是奇數(shù)，所以要使成立，一定有.于是 當(dāng)時(shí)，在的兩邊取，得這顯然是不成立的，所以，從而.故方程只有唯一的一組解.例4 試求方程的所有正整數(shù)解. 分析 通過(guò)質(zhì)因子將方程分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單不定方程，通過(guò)討論質(zhì)因子、的奇偶性得出、的值進(jìn)而得出、的值.解 顯然是整數(shù)解.現(xiàn)設(shè)，因故有兩種情況：或者當(dāng)時(shí)，可令，故 此時(shí)必有 ，其中易知，故 于是有，即 從而是偶數(shù)，可令，故 故，此時(shí)由奇偶性知必須 ，從而，進(jìn)而，同樣的方法可證當(dāng) 時(shí)，必有，綜上或或.總結(jié) 這種方法通常用在有范圍或有約束的解上，例如非負(fù)整數(shù)解或含未知數(shù)的式子是完全平方數(shù)等等.通過(guò)分析某一個(gè)未知數(shù)是偶數(shù)，則運(yùn)用偶數(shù)的性質(zhì)討論其他未知數(shù)的奇偶性，從而用質(zhì)因子分析進(jìn)一步解析方程得出結(jié)果. 2.3 整數(shù)范圍分析通過(guò)不等式的討論，限制未知數(shù)的取值范圍是解不定方程的一個(gè)常用技巧.一般地說(shuō)，當(dāng)方程的一個(gè)含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)比其他項(xiàng)都高時(shí)，或者當(dāng)某一個(gè)未知數(shù)的各項(xiàng)關(guān)于該未知數(shù)次數(shù)相同時(shí)，可考慮通過(guò)除以一式，將方程變形為帶分式的形式，并通過(guò)不等式估計(jì)來(lái)求解. 例5 求方程的一切整數(shù)解. 分析 原方程即 因此右端必須為整數(shù)，從而整數(shù)都不可能是負(fù)數(shù)；再?gòu)谋怀糜鄶?shù)為，進(jìn)而討論可能取的值. 解 由可見(jiàn)，整數(shù)中不可能僅有一個(gè)是負(fù)的，否則右端為分?jǐn)?shù)，左端是整數(shù)矛盾，僅、，、或、是負(fù)整數(shù)時(shí)，例如僅、為負(fù)整數(shù)時(shí)，則 這時(shí)式右端仍是分?jǐn)?shù)，也不可能都是負(fù)整數(shù)，否則 仍然產(chǎn)生矛盾，所以。若，即為正整數(shù)，則 被除所得的余數(shù)為，但，因此被除所得的余數(shù)也是，于是從式推出另一方面時(shí)，時(shí)，故不論哪種情形，都有與不同余這一矛盾推出，這時(shí)原方程為由于所以，即原方程只有唯一一組整數(shù)解.總結(jié) 此類方法用在討論不出未知數(shù)的奇偶性的不定方程.通過(guò)在整數(shù)范圍內(nèi)分析未知數(shù)的幾個(gè)范圍確定所有未知數(shù)的值.這種方法通常對(duì)未知數(shù)的要求是整數(shù).2.4 運(yùn)用二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理在不定方程中也很實(shí)用，我們通過(guò)對(duì)不定方程的變形，進(jìn)而由二項(xiàng)式定理得出比較容易得出某些結(jié)論的式子，使問(wèn)題簡(jiǎn)化.例6 證明不定方程，僅有一組正整數(shù)，.分析 方程是著名的卡特朗猜想的特殊情形.卡特朗猜想：是僅有的一對(duì)差為的正整數(shù)方冪，即不定方程 只有一組正整數(shù)解.證明 首先證明沒(méi)有奇素?cái)?shù)因子，采取反證法，設(shè)有一個(gè)奇素?cái)?shù)，使，設(shè) ，其中與不同余由二項(xiàng)式定理，可將變形為 由此可見(jiàn)，即，從而，設(shè) ，與不同余，則我們將通過(guò)比較式兩邊所含的冪次來(lái)導(dǎo)出矛盾.對(duì)，設(shè)，則在 中，的冪次至少是若，則，；若，則由得 又，故，因此，從而 故我們總有，于是 進(jìn)而有 又，因此式左邊含的冪次為，另一方面，由于，故即式右邊含的冪次為，但由原方程可見(jiàn)，又，故從而 因此式左右兩邊含的冪次不等，這不可能.所以不含奇素?cái)?shù)因子，即為的冪，設(shè)，由前面證明過(guò)的，可知是偶數(shù)，設(shè)，方程可分解為 因上式左邊兩個(gè)因數(shù)的最大公約數(shù)為，而右邊是的冪，故必須 ，因此，即，故.總結(jié) 在不能確定未知數(shù)的奇偶性和范圍的情況下就應(yīng)運(yùn)用二項(xiàng)式定理，確定未知數(shù)的范圍或某種結(jié)果，從而進(jìn)行因式分解或其他運(yùn)算解決問(wèn)題.不定方程（組）是數(shù)論中的一個(gè)古老分支，其內(nèi)容極其豐富.我國(guó)對(duì)不定方程的研究已經(jīng)延續(xù)了數(shù)千年，“百雞問(wèn)題”等一直流傳至今，“物不知其數(shù)”的解法被稱為中國(guó)剩余定理.近年來(lái)，不定方程的研究又有新的進(jìn)展.學(xué)習(xí)不定方程可以拓展數(shù)學(xué)知識(shí)面，而且可以培養(yǎng)思維能力，提高數(shù)學(xué)解題的技能.而對(duì)于高于二次的不定方程，相當(dāng)復(fù)雜.當(dāng)時(shí)，沒(méi)有不等于零的整數(shù)解，即著名的費(fèi)爾馬大定理，經(jīng)歷個(gè)世紀(jì)，已由英國(guó)數(shù)學(xué)家證明完全可以成立.以上就是幾種解不定方程的方法，鑒于不定方程的多變性，解法也具有多變性.總的來(lái)說(shuō)，解平方差型不定方程，首先通過(guò)將方程兩邊取模，得出方程 的未知數(shù)的奇偶性，再通過(guò)質(zhì)因子分析將方程分解為兩個(gè)較簡(jiǎn)單的不定方程，然后通過(guò)其他方法解出方程的解得問(wèn)題.近年來(lái)，這個(gè)領(lǐng)域更有重要進(jìn)展.但從整體上來(lái)說(shuō)，對(duì)于像平方差型不定方程這類的高于二次的多元不定方程，人們知道的不多.另一方面，不定方程與數(shù)學(xué)的其他分支如代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、組合數(shù)學(xué)等有著緊密的聯(lián)系，在有限群論和最優(yōu)設(shè)計(jì)中也常常提出不定方程的問(wèn)題，這就使得不定方程這一古老的分支繼續(xù)吸引著許多數(shù)學(xué)家的注意，成為數(shù)論中重要的研究課題之一.本文雖然介紹了四種不定方程的類型，但隨著題的類型不同那么它們的分類也就不盡相同，所以在不定方程的分類上可能還不到位.而平方差型不定方程問(wèn)題是本文的重點(diǎn)，在這類不定方程的解法上可能也有不同的，其他方法沒(méi)有講到，但在以后會(huì)盡量將其補(bǔ)足.參考文獻(xiàn)： 1 左宗明.金牌奧賽教程（數(shù)學(xué)高中綜合分冊(cè)）m.浙江大學(xué)出版社,2009.2 馬兵.高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材m.浙江大學(xué)出版社,2007. 3 黃宣國(guó).數(shù)學(xué)奧林匹克大集1994m.上海教育出版社，1997.4 劉鴻坤等.國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題匯編m.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1993.5 李勝宏 李明德.高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)教程m.浙江大學(xué)出版社，2009.6 單墫等.數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題解精編m.南京大學(xué)出版社，1991. 7 丁萍 馮惠愚.高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽全解題庫(kù)m.南京大學(xué)出版社,2010.8 楊培誼 于鴻.高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧m.北京學(xué)院出版社，1993.9 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