高中數(shù)學第三章不等式3.4基本不等式第1課時學案新人教A版必修.docx

3.4基本不等式:(第1課時)學習目標1.了解代數(shù)與幾何兩方面背景,用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式.2.掌握從不同角度探索基本不等式的方法.3.從基本不等式的證明過程中進一步體會不等式證明的常用思路.合作學習一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境第24屆國際數(shù)學家大會于2002年在北京召開,右面是大會的會標,其中的圖案大家見過嗎?在此圖中有哪些幾何圖形?你能發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的不等關(guān)系嗎?若我們設(shè)圖中直角三角形的直角邊分別為x,y,你能用x,y表示四個直角三角形的面積和嗎?你能用x,y表示大正方形的面積嗎?根據(jù)圖形,比較四個直角三角形的面積和與大正方形的面積的不等關(guān)系,寫出不等式.二、信息交流,揭示規(guī)律問題1:當四個直角三角形邊長可以變化時,四個直角三角形的面積和與大正方形的面積有沒有可能相等?相等時,圖形產(chǎn)生了怎樣的變化? x,y有什么關(guān)系?問題2:以上結(jié)論我們是在幾何圖形中的面積關(guān)系獲得的.同學們能否運用代數(shù)的方法對這個結(jié)論進行證明?問題3:同學們對結(jié)論中的“當且僅當”如何理解?如果我們使用兩個正數(shù)a,b分別代替x2,y2,那么,以上結(jié)論我們可以寫成什么形式?問題4:對這個結(jié)論,我們能否進行證明?問題5:結(jié)論(1)我們是在趙爽弦圖中發(fā)現(xiàn)的,那么,我們能不能找到結(jié)論(2)的幾何解釋呢?同學們來看這個問題:如圖AB是圓O的直徑,點C是線段AB(除A、B外)上任意一點,過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.試以a,b表示CD,OD的長度并比較兩者的大小.問題6:什么時候等號成立?做出怎樣的解釋呢?問題7:對于一個公式,我們首先要觀察結(jié)構(gòu)、進行記憶。同學們觀察基本不等式兩邊,你想到了原來學過的哪些知識?三、運用規(guī)律,解決問題【例1】下列各式錯誤的是()A.(a0,b0)B.x+2(x0)C.+sinx4(0x)D.(0x0,試比較的大小關(guān)系,并給出證明.五、反思小結(jié),觀點提煉1.本節(jié)課你學到了哪些數(shù)學知識和數(shù)學方法?2.本節(jié)課你能感受到哪些數(shù)學思想?參考答案一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境見過.這是趙爽弦圖.在初中曾用它證明過勾股定理.直角三角形和正方形.三邊的不等關(guān)系. x2+y22xy或x2+y22xy.問題1:有可能相等;四個直角三角形的直角頂點會重合;此時x=y.結(jié)論(1):重要不等式:對任意實數(shù)x,y,我們有x2+y22xy,當且僅當x=y時,等號成立.問題2:證明:(作差法)因為x2+y2-2xy=(x-y)20,所以x2+y22xy.當且僅當x=y時,等號成立.問題3:當x=y時,并且只有x=y時,等號成立.結(jié)論(2):基本不等式:若a0,b0,可得a+b2,通常記為,當且僅當a=b時,等號成立.問題4:能.問題5:CD=,OD=,由圖可得:CD=OD=.問題6: a=b時,等號成立;圓內(nèi)半弦不超過半徑.問題7:有的同學會回答平均數(shù);有的同學可能會回答等比中項、等差中項.是我們平時求平均數(shù)的方法,我們稱之為算數(shù)平均數(shù);我們稱為幾何平均數(shù).基本不等式我們可以解釋為幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù),這是它的代數(shù)解釋.三、運用規(guī)律,解決問題【例1】C【例2】證明:因為x,y都是正數(shù),所以2=2.當且僅當,即x=y時,等號成立.四、變式訓(xùn)練,深化提高變式訓(xùn)練:解:顯然成立.因為a2+b22ab,所以ab,故.因為