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7.5 復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法,7.5.1 多元復合函數(shù)的求導法則,在一元函數(shù)微分學中，復合函數(shù)的求導法則 起著重要的作用.,現(xiàn)在我們把他推廣到多元復合函數(shù)的情形.,下面按照多元復合函數(shù)不同的復合情形， 分三種情況進行討論.,1.復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形,證明,則,上述定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.,如,以上公式中的導數(shù) 稱為全導數(shù).,解,2.復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形,鏈式法則如圖示,解,解,令,記,同理有,于是,3.復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有 多元函數(shù)的情形,鏈式法則如圖示,特殊地,即,令,其中,兩者的區(qū)別,區(qū)別類似,全微分形式不變形的實質： 無論 是自變量 的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.,全微分形式不變性,隱函數(shù)的求導公式,7.5.2 隱函數(shù)的微分法,若F( x , y ) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù),二階導數(shù) :,則還可求隱函數(shù)的,解,令,則,解,令,則,例1. 驗證方程,在點(0,0)某鄰域,可確定一個單值可導隱函數(shù),解: 令,連續(xù) ;,由 定理1 可知,導的隱函數(shù),則,在 x = 0 的某鄰域內方程存在單值可,且,并求,兩邊對 x 求導,兩邊再對 x 求導,令 x = 0 , 注意此時,導數(shù)的另一求法, 利用隱函數(shù)求導,解,令,則,解,思路：,解,令,則,整理得,整理得,整理得,思考題,思考題解答,思考題,思考題解答,例1.,解:,例2. 設,求全導數(shù),解:,備用題,1. 已知,求,解: 由,兩邊對 x 求導, 得,2.,求,解: 由題設,(2001考研),分別由下列兩式確定 :,又函數(shù),有連續(xù)的一階偏導數(shù) ,3. 設,解: 兩個隱函數(shù)方程兩邊對 x 求導, 得,(2001考研),解得,因此,4. 設,是由方程,和,所確定的函數(shù) , 求,解法1 分別在各方程兩端對 x 求導, 得,

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