高考數(shù)學(xué)第2章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第9節(jié)實際問題的函數(shù)建模教學(xué)案文（含解析）北師大版.docx

第九節(jié)實際問題的函數(shù)建模考綱傳真1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用1常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0)(2)反比例函數(shù)模型：yb(k，b為常數(shù)且k0)(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)(4)指數(shù)函數(shù)模型：yabxc(a，b，c為常數(shù)，b0，b1，a0)(5)對數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(m，n，a為常數(shù)，a0，a1，m0)(6)冪函數(shù)模型：yaxnb(a0)2三種函數(shù)模型之間增長速度的比較函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性遞增遞增遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)xx0時，有l(wèi)ogaxxnax3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題以上過程用框圖表示如下：基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時，恒有h(x)f(x)g(x)()答案(1)(2)(3)(4)2已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為yalog3(x1)，設(shè)這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到()A100只 B200只C300只 D400只B由題意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，當(dāng)x8時，y100log3 9200.3(教材改編)某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是()A收入最高值與收入最低值的比是31B結(jié)余最高的月份是7月C1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D前6個月的平均收入為40萬元D由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是31，故A正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為802060(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個月的平均收入為(406030305060)45(萬元)，故D錯誤4生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元)一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為_萬件18利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18時，L(x)有最大值5某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為_1設(shè)年平均增長率為x，則(1x)2(1p)(1q)，x1.用函數(shù)圖像刻畫變化過程1某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖像正確的是()A B C DA前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A、C圖像符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，產(chǎn)品的總產(chǎn)量應(yīng)呈直線上升，故選A2物價上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預(yù)測的運輸任務(wù)Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是()B由運輸效率逐步提高，可得曲線上的點的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，故選B3汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是 ()A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油D根據(jù)圖像知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項D對規(guī)律方法判斷函數(shù)圖像與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法：(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖像(2)驗證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結(jié)合圖像的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題【例1】某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖.(注：利潤和投資單位：萬元)(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？解(1)f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，所以總利潤y8.25萬元設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元，A產(chǎn)品投入(18x)萬元，該企業(yè)可獲總利潤為y萬元則y(18x)2，0x18.令t，t0,3，則y(t28t18)(t4)2.所以當(dāng)t4時，ymax8.5，此時x16,18x2.所以當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤為8.5萬元規(guī)律方法求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點：(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實際問題易錯警示：解決實際問題時要注意自變量的取值范圍 某實驗員在培養(yǎng)皿中滴入了含有10個某種真菌的實驗液，約1小時后培養(yǎng)真菌數(shù)目繁殖為原來的2倍經(jīng)測量知該真菌的繁殖規(guī)律為y10et，其中為常數(shù)，t表示時間(單位：小時)，y表示真菌個數(shù)經(jīng)過8小時培養(yǎng)，真菌能達到的個數(shù)為()A640B1 280C2 560D5 120C原來的細菌數(shù)為10，由題意可得，在函數(shù)y10et中，當(dāng)t1時，y20，2010e，即e2，y10et102t.若t8，則可得此時的細菌數(shù)為y10282 560，故選C構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題考法1構(gòu)建二次函數(shù)模型【例2】某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是()A4,8B6,10C4%,8%D6%,10%A根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，需160R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4,8考法2構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型【例3】(2019長春模擬)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2018年B2019年C2020年D2021年B根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個等比數(shù)列an，其中，首項a1130，公比q112%1.12，所以an1301.12n1.由1301.12n1200，兩邊同時取對數(shù)，得n1，又3.8，則n4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B考法3構(gòu)建分段函數(shù)模型【例4】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時研究表明：當(dāng)20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)xv(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/時)解(1)由題意，當(dāng)0x20時，v(x)60；當(dāng)20x200時，設(shè)v(x)axb，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時，其最大值為60201 200；當(dāng)20x200時，f(x)x(200x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時，等號成立所以當(dāng)x100時，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/時規(guī)律方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制 (1)(2017北京高考)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則下列各數(shù)中與最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg 30.48)A1033B1053C1073D1093(2)某市出租車收費標(biāo)準如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價收費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另外每次乘坐需付燃