次課隨機變量的函數(shù)分布.ppt

第三章 多維隨機變量及其分布,概率論與數(shù)理統(tǒng)計,3 條件分布,對于多個隨機事件可以討論它們的條件概率，同樣地，對于多個隨機變量也可以討論它們的條件分布。 先從二維離散型隨機變量開始討論。 設(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布率為,考慮二維離散型隨機變量的條件概率,上述條件概率具有如下性質(zhì):,定義 設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若,二維離散型隨機變量的條件概率,例1 在一汽車工廠中，一輛汽車有兩道工序是由機器人完成的。其一是緊固3只螺栓，其二是焊接2處焊點。以X表示由機器人緊固的螺栓緊固得不良的數(shù)目，以Y表示由機器人焊接的不良焊點的數(shù)目。具積累的資料知(X,Y)具有分布律：,求在X=1的條件下，Y的條件分布律；求在Y=0的條件下，X的條件分布律。,解 在X=1的條件下，Y的分布律為 在Y=0的條件下，X的分布律為,考慮二維連續(xù)型隨機變量的條件概率,二維連續(xù)型隨機變量的條件概率,4 相互獨立的隨機變量,設F(x,y)及FX(x),FY(y)分別是二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對所有x,y有 PXx,Yy=PXxPYy 則稱隨機變量X和Y是相互獨立的。 等價命題有 F(x,y)=FX(x)FY(y) f(x,y)=fX(x)fY(y) PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj i,j=1,2, ,隨機變量的獨立性,例設X和Y是兩個互相獨立的隨機變量,其概率密度分別為,其中l(wèi)0, m0是常數(shù). 引入隨機變量,(1)求條件概率密度,(2)求Z的分布律和分布函數(shù).,解: (1)由獨立性知,(2),Z是離散型隨機變量,其分布函數(shù)為:,作業(yè) 設隨機變量(X,Y)的概率密度為 其中G是由0x2,0yx2圍成的區(qū)域。求： 系數(shù)A；fX(x),fY(y)；fX|Y(x|y), fY|X(y|x)。,5 兩個隨機變量的函數(shù)分布,Z=X+Y的分布,考慮離散型隨機變量X與Y的和,顯然,它也是離散隨機變量,記作Z: Z=X+Y. 變量Z的任一可能值zk是變量X的可能取值xi與變量Y的可能取值yj的和: zk=xi+yj. 但是,對于不同的xi及yj,它們的和xi+yj可能是相等的.所以按概率加法定理,有:,這里求和的范圍是一切使 xi+yj = zk 的i及j的值; 或者也可以寫成:,這時的求和的范圍是一切i值; 若對于某個i,數(shù)zk-xi不是Y的可能取值,則規(guī)定p(xi,zk-xi)=0,同理可得,若X與Y獨立,則,例:設隨機變量X與Y獨立,并且都服從二項分布:,求它們的和Z=X+Y的概率分布.,解: X與Y的分布律分別是:,顯然,隨機變量Z=X+Y的所有可能取值為:0,1,2,3,4. 由上述公式得:,所以,Z=X+Y的分布律為:,Z=X+Y的分布,上式兩邊對z微分,得z的概率密度為:,同理可得,Z=X+Y的分布,例1 設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從N(0,1)分布，其概率密度為 求Z=X+Y的概率密度。,例2 在一簡單電路中，兩電阻R1和R2串聯(lián)連接，設R1，R2相互獨立，它們的概率密度均為 求總電阻R=R1+R2的概率密度。,例:設隨機變量X與Y獨立,并且都在區(qū)間-a,a上服從均勻分布,求它們的和Z=X+Y的分布.,解: X與Y的概率密度分別是:,由公式得:,作積分變換: z-x=t ,得:,分四種情況討論: (1)當z-2a時,積分限z-a及z+a都小于-a;被積函數(shù)在積分區(qū)間上等于零,因此積分等于零,也就是fZ(z)=0; (2)當-2az0時,我們有 -3az-a-a, -az+aa 把積分區(qū)間分成子區(qū)間z-a, -a及-a, z+a.被積函數(shù)在第一個區(qū)間上等于零,在第二個區(qū)間上行于1/2a;所以,(3)當0z2a 時,我們有 -az-aa, az+a3a 把積分區(qū)間分成子區(qū)間z-a, a及a, z+a.被積函數(shù)在第一個區(qū)間上等于1/2a,在第二個區(qū)間上行于零;所以,(4)當z2a 時,積