2014-2015學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修二.ppt

4空間圖形的基本關(guān)系與公理 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識(shí) 4.2 空間圖形的公理(公理1、2、3),1.空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 (1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系 點(diǎn)A在直線l上：_. 點(diǎn)B不在直線l上：_. (2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系 點(diǎn)A在平面內(nèi)：_. 點(diǎn)B不在平面內(nèi)：_.,Al,Bl,A,B,2.空間圖形的公理 (1)公理1 文字語言： 條件：過_的三點(diǎn). 結(jié)論：_一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面). 符號(hào)語言：若A，B，C三點(diǎn)不共線，則_一個(gè)平面，使A，B，C.,不在一條直線上,有且只有,有且只有,推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(圖(1). 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面(圖(2). 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面(圖(3).,(2)公理2 文字語言： 條件：一條直線上的_在一個(gè)平面內(nèi). 結(jié)論：該直線上_都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線_). 符號(hào)語言：若Al，Bl，A，B，則_.,兩點(diǎn),所有的點(diǎn),在平面內(nèi),l,(3)公理3 文字語言： 條件：兩個(gè)不重合的平面_. 結(jié)論：兩個(gè)平面_一條通過該點(diǎn)的公共直線. 符號(hào)語言：若A，A，且與不重合，則=l且Al.,有一個(gè)公共點(diǎn),有且只有,1.判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面.( ) (2)經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面.( ) (3)如果平面與平面相交，那么它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.兩兩相交的三條直線交于一點(diǎn)，可能確定三個(gè)平面，故錯(cuò)誤. (2)錯(cuò)誤.若點(diǎn)在直線上，則無法確定一個(gè)平面. (3)錯(cuò)誤.平面與平面相交有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn). 答案：(1) (2) (3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)點(diǎn)M在直線l上，用符號(hào)可表示為_. (2)直線m在平面內(nèi)，用符號(hào)可表示為_. (3)若平面與平面相交且交線為l，用符號(hào)可表示為_.,【解析】(1)點(diǎn)M在直線l上，則用符號(hào)可表示為Ml. 答案：Ml (2)直線m在平面內(nèi)，用符號(hào)可表示為m . 答案：m (3)平面與平面相交，且交線為l，可記為=l. 答案：=l,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 空間中點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系 1.相交平面的畫法 (1)畫兩條相交的直線，表示兩個(gè)平面的平行四邊形相交的兩條邊，如圖中的EF，MN. (2)畫兩個(gè)相交平面的交線， 如圖中的AB.,(3)通過端點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別畫出與AB平行且相等的線段EC，F(xiàn)D，MP，NQ，連接CD和PQ，可以得到表示平面的平行四邊形EFDC和MNQP，如圖. (4)把被平面遮住的部分畫成虛線(或者不畫)，如圖.,2.點(diǎn)、直線、平面之間關(guān)系的表示 (1)基本原則：通常借助集合中的符號(hào)語言來表示.點(diǎn)為元素，直線與平面都是點(diǎn)構(gòu)成的集合，幾何中的很多符號(hào)規(guī)定都是源于將圖形視為點(diǎn)集. (2)表示方法：點(diǎn)與直線之間的關(guān)系，點(diǎn)與平面之間的關(guān)系用符號(hào)，表示，直線與平面之間的關(guān)系用 ， 表示.,(3)注意事項(xiàng)：注意個(gè)別地方的用法與集合符號(hào)略有不同.例如，直線a與平面相交于點(diǎn)A，記作a=A，而不記作a=A.這里的A既是一個(gè)點(diǎn)，又可以理解為只含一個(gè)元素(點(diǎn))的集合.,【知識(shí)拓展】對點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的符號(hào)語言的理解與應(yīng)用 (1)點(diǎn)、直線、平面的表示：一般來說，用大寫字母(A，B，C，)表示空間中的點(diǎn)，用小寫字母(a，b，c，)表示直線，用希臘字母(，)表示平面.,(2)點(diǎn)、線、面間的關(guān)系通常借助集合中的符號(hào)語言來表示， 點(diǎn)為元素，直線與平面都是點(diǎn)構(gòu)成的集合，幾何中的很多符 號(hào)規(guī)定都是源于將圖形視為點(diǎn)集.點(diǎn)與直線之間的關(guān)系用符號(hào) ，表示，直線與平面之間的關(guān)系用 ， 表示，要注意體 會(huì)，并區(qū)別記憶.,【微思考】 點(diǎn)P既在直線AB上，又在平面內(nèi)，則直線AB一定也在平面內(nèi)嗎？ 提示：不一定，若直線AB與平面相交，交點(diǎn)為P點(diǎn)，則直線AB不在平面內(nèi).,【即時(shí)練】 1.若點(diǎn)M在直線a上，a在平面內(nèi)，則M，a，間的關(guān)系可記為_. 2.根據(jù)圖中的幾何圖形填入相應(yīng)的符號(hào)： A_平面ABC，A_平面BCD， BD_平面ABC，平面ABC平面ACD =_.,【解析】1.點(diǎn)M在直線a上可表示為Ma，a在平面內(nèi)，可表 示為a ， 所以M，a，間的關(guān)系可記為Ma . 答案：Ma 2.點(diǎn)A平面ABC，A平面BCD，BD 平面ABC， 平面ABC平面ACD=AC. 答案： AC,知識(shí)點(diǎn)2 空間圖形的三個(gè)公理(公理1，公理2，公理3) 1.三個(gè)公理的意義和作用 (1)公理1是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)來解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問題的主要的思想方法.,(2)公理2說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)的方法，又是檢驗(yàn)平面的方法.,(3)公理3揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法.可從以下三個(gè)方面解釋： 如果兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線； 如果兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這三點(diǎn)共線； 如果兩個(gè)平面相交，那么兩平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上.,2.對公理1的兩點(diǎn)說明 (1)“不在同一條直線上的三點(diǎn)”的含義 經(jīng)過一點(diǎn)，兩點(diǎn)和在同一條直線上的三點(diǎn)可能有無數(shù)個(gè)平面； 任意給定不在同一條直線上的四個(gè)點(diǎn)，不一定有一個(gè)平面同時(shí)過這四個(gè)點(diǎn). (2)“有且只有一個(gè)”的含義 這里“有”是說圖形存在，“只有一個(gè)”是說圖形唯一，公理1強(qiáng)調(diào)的是存在和唯一兩個(gè)方面.,【微思考】 (1)四邊形一定能確定一個(gè)平面嗎？ 提示：不一定，如空間四邊形不能確定平面. (2)兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)平面重合嗎？ 提示：不一定，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，不能判定兩個(gè)平面重合；當(dāng)三點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，根據(jù)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面可知兩平面重合.,【即時(shí)練】 (2014南昌高一檢測)下列說法： 空間不同的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面； 如果線段AB在平面內(nèi)，那么直線AB一定在平面內(nèi)； 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形. 其中錯(cuò)誤的說法是_(填序號(hào)).,【解析】錯(cuò)誤.若三點(diǎn)在同一直線上，則不能確定一個(gè)平面. 正確.由公理2可知，若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么該直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，即該直線在此平面內(nèi). 空間四邊形的兩組對邊也可相等，故錯(cuò). 答案：,【題型示范】 類型一 點(diǎn)、線共面問題 【典例1】 (1)若A平面，B平面，C直線AB，則( ) A.AB=C B.AB C.C D.C (2)已知如圖，直線ab，直線la=A，直線lb=B，求證：直線a，b，l共面.,【解題探究】1.題(1)中A平面，B平面，說明什么 問題？ 2.題(2)中，由ab可得到什么結(jié)論？怎樣才能說明a，b，l 共面？ 【探究提示】1.A平面，B平面，說明AB 平面. 2.由ab可以確定一個(gè)平面，然后說明l也在a，b確定的平 面中.,【自主解答】(1)選C.因?yàn)锳平面，B平面，所以AB 平面，又C直線AB，所以C. (2)因?yàn)閍b，由平行線的定義知，a，b共面，設(shè)a，b所在的 平面為，因?yàn)閍l=A，所以點(diǎn)A在平面內(nèi)，即A.同理 可得B.由公理2知AB在平面內(nèi)，即l在平面內(nèi)，所以 a，b，l共面.,【延伸探究】若將題(2)改為“若三條直線兩兩相交且不交于一點(diǎn)，則這三條直線共面”試證明. 【解題指南】利用公理1和2證明.,【解析】已知，如圖，設(shè)ab=C，bc=B，ac=A，求證： a，b，c共面. 證明：因?yàn)槿龡l直線兩兩相交且不交于一點(diǎn)， 所以A，B，C三點(diǎn)不共線(否則與已知矛盾)， 所以可設(shè)A，B，C三點(diǎn)確定一個(gè)平面， 因?yàn)锳，B. 所以AB ，即c 同理b ，c ， 所以a，b，c共面.,【方法技巧】 1.確定平面的方法和意義 (1)確定平面的方法 不共線的三點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面(即公理1)； 直線和直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面； 兩條相交直線，可以確定一個(gè)平面； 兩條平行直線，可以確定一個(gè)平面. (2)確定平面的意義 實(shí)現(xiàn)空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化.,2.解決點(diǎn)線共面問題的基本方法,【變式訓(xùn)練】空間中，下列說法：圓心和圓上兩點(diǎn)可以確定 一個(gè)平面；四條平行線不能確定五個(gè)平面；不共線的五 點(diǎn)，可以確定五個(gè)平面，必有三點(diǎn)共線.不正確的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選A.若圓上兩點(diǎn)為圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則圓心和圓 上兩點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，不正確；四條平行線只能確定一 個(gè)，四個(gè)或六個(gè)平面，正確，顯然正確，故選A.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a，b，c，d是兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線，求證：a，b，c，d共面.,【證明】(1)無三線共點(diǎn)情況，如圖. 設(shè)ad=M，bd=N，cd=P，ab=Q， ac=R，bc=S. 因?yàn)閍d=M，所以a，d可確定一個(gè)平面. 因?yàn)镹d，Qa，所以N，Q， 所以NQ ，即b . 同理c ，所以a，b，c，d共面.,(2)有三線共點(diǎn)的情況，如圖. 設(shè)b，c，d三線相交于點(diǎn)K， 與a分別交于N，P，M，且Ka. 因?yàn)镵a，所以K和a確定一個(gè)平面，設(shè)為. 因?yàn)镹a，a ，所以N，所以NK ，即b . 同理c ，d ，所以a，b，c，d共面. 由(1)(2)知a，b，c，d共面.,類型二 線共點(diǎn)、點(diǎn)共線問題 【典例2】 (1)(2014吉安高一檢測)若直線l與平面相交于點(diǎn)O，A， Bl，C，D且ACBD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是 _. (2)已知四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分 別是BC，CD上的點(diǎn)，且 求證：直線EG，F(xiàn)H，AC 相交于同一點(diǎn).,【解題探究】1.題(1)中ACBD的作用是什么？O點(diǎn)是直線l與平面的交點(diǎn)，有何特點(diǎn)？ 2.題(2)中四邊形EFHG有何特點(diǎn)？怎樣說明EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn)？ 【探究提示】1.由ACBD可以確定A，B，C，D共面，O為兩個(gè)平面的交點(diǎn)且在兩平面的交線上. 2.四邊形EFHG為梯形且EFGH，可先說明EG與FH相交于一點(diǎn)，然后說明AC也經(jīng)過該點(diǎn).,【自主解答】(1)由題意得如圖， 因?yàn)锳CBD，所以AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面， 則=直線CD， 因?yàn)閘=O，所以O(shè)， 又因?yàn)镺AB，AB ，所以O(shè). 所以O(shè)直線CD，即O，C，D共線. 答案：共線,(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以EFBD且EF= BD. 又因?yàn)?所以GHBD且GH= BD，所以EFGH且EFGH， 所以四邊形EFHG是梯形，其兩腰所在直線必相交， 設(shè)兩腰EG，F(xiàn)H的延長線相交于一點(diǎn)P， 因?yàn)镋G 平面ABC，F(xiàn)H 平面ACD， 所以P平面ABC，P平面ACD， 又因?yàn)槠矫鍭BC平面ACD=AC，所以PAC， 故直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn).,【方法技巧】 1.證明三點(diǎn)共線的方法 (1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上. (2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上.,2.證明三線共點(diǎn)的步驟 (1)首先說明兩條直線共面且交于一點(diǎn). (2)說明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交. (3)得到交線也過此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn).,【變式訓(xùn)練】已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿足AB=P，BC=Q，AC=R，如圖所示. 求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.,【證明】方法一：因?yàn)锳B=P， 所以PAB，P平面. 又AB 平面ABC，所以P平面ABC. 所以由公理3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面的交線上， 同理可證Q，R也在平面ABC與平面的交線上. 所以P，Q，R三點(diǎn)共線.,方法二：因?yàn)锳PAR=A， 所以直線AP與直線AR確定平面APR. 又因?yàn)锳B=P，AC=R， 所以平面APR平面=PR. 因?yàn)锽平面APR，C平面APR， 所以BC 平面APR. 因?yàn)镼BC，所以Q平面APR，又Q， 所以QPR，所以P，Q，R三點(diǎn)共線.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1C1與B1D1的交點(diǎn)，長方體體對角線A1C交截面AB1D1于點(diǎn)P.求證：O1，P，A三點(diǎn)在同一條直線上.,【解題指南】先確定平面AB1D1與平面AA1C1C的交線AO1，再用公理3證明點(diǎn)P在直線AO1上. 【證明】因?yàn)镺1平面AB1D1，O1平面AA1C1C， A平面AB1D1，A平面AA1C1C， 所以平面AB1D1平面AA1C1C=AO1. 又因?yàn)锳1C平面AB1D1=P， 所以P直線A1C，P平面AB1D1， 所以P平面AA1C1C，所以P直線AO1， 即O1，P，A三點(diǎn)在同一條直線上.,【易錯(cuò)誤區(qū)】對公理理解不透徹而致誤 【典例】(2014佛山高一檢測)下列說法中正確的序號(hào)是_. (1)梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi). (2)空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面. (3)若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面. (4)空間中有三個(gè)角為直角的四邊形一定是平面圖形.,【解析】(1)梯形有一組對邊平行，由“經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面”，知(1)正確. (2)錯(cuò)誤，空間兩兩相交的三條直線交于同一點(diǎn)時(shí)，無法保證確定一個(gè)平面. (3)錯(cuò)誤，從長方體中取出三條棱，有的共面，有的不共面. (4)錯(cuò)誤.空間中四個(gè)點(diǎn)不一定共面，有三個(gè)角為直角的四邊形可能是空間圖形， 如圖，空間四邊形ABCD1. 答案：(1),【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.點(diǎn)、線、面之間的