2014-2015學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修二.ppt

4空間圖形的基本關(guān)系與公理 4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識 4.2 空間圖形的公理(公理1、2、3),1.空間中點、線、面的位置關(guān)系 (1)點與直線的位置關(guān)系 點A在直線l上：_. 點B不在直線l上：_. (2)點與平面的位置關(guān)系 點A在平面內(nèi)：_. 點B不在平面內(nèi)：_.,Al,Bl,A,B,2.空間圖形的公理 (1)公理1 文字語言： 條件：過_的三點. 結(jié)論：_一個平面(即可以確定一個平面). 符號語言：若A，B，C三點不共線，則_一個平面，使A，B，C.,不在一條直線上,有且只有,有且只有,推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面(圖(1). 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面(圖(2). 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面(圖(3).,(2)公理2 文字語言： 條件：一條直線上的_在一個平面內(nèi). 結(jié)論：該直線上_都在這個平面內(nèi)(即直線_). 符號語言：若Al，Bl，A，B，則_.,兩點,所有的點,在平面內(nèi),l,(3)公理3 文字語言： 條件：兩個不重合的平面_. 結(jié)論：兩個平面_一條通過該點的公共直線. 符號語言：若A，A，且與不重合，則=l且Al.,有一個公共點,有且只有,1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)兩兩相交的三條直線確定一個平面.( ) (2)經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面.( ) (3)如果平面與平面相交，那么它們只有有限個公共點.( ),【解析】(1)錯誤.兩兩相交的三條直線交于一點，可能確定三個平面，故錯誤. (2)錯誤.若點在直線上，則無法確定一個平面. (3)錯誤.平面與平面相交有無數(shù)個公共點. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)點M在直線l上，用符號可表示為_. (2)直線m在平面內(nèi)，用符號可表示為_. (3)若平面與平面相交且交線為l，用符號可表示為_.,【解析】(1)點M在直線l上，則用符號可表示為Ml. 答案：Ml (2)直線m在平面內(nèi)，用符號可表示為m . 答案：m (3)平面與平面相交，且交線為l，可記為=l. 答案：=l,【要點探究】 知識點1 空間中點、直線、平面之間的關(guān)系 1.相交平面的畫法 (1)畫兩條相交的直線，表示兩個平面的平行四邊形相交的兩條邊，如圖中的EF，MN. (2)畫兩個相交平面的交線， 如圖中的AB.,(3)通過端點E，F(xiàn)，M，N分別畫出與AB平行且相等的線段EC，F(xiàn)D，MP，NQ，連接CD和PQ，可以得到表示平面的平行四邊形EFDC和MNQP，如圖. (4)把被平面遮住的部分畫成虛線(或者不畫)，如圖.,2.點、直線、平面之間關(guān)系的表示 (1)基本原則：通常借助集合中的符號語言來表示.點為元素，直線與平面都是點構(gòu)成的集合，幾何中的很多符號規(guī)定都是源于將圖形視為點集. (2)表示方法：點與直線之間的關(guān)系，點與平面之間的關(guān)系用符號，表示，直線與平面之間的關(guān)系用 ， 表示.,(3)注意事項：注意個別地方的用法與集合符號略有不同.例如，直線a與平面相交于點A，記作a=A，而不記作a=A.這里的A既是一個點，又可以理解為只含一個元素(點)的集合.,【知識拓展】對點、直線、平面位置關(guān)系的符號語言的理解與應(yīng)用 (1)點、直線、平面的表示：一般來說，用大寫字母(A，B，C，)表示空間中的點，用小寫字母(a，b，c，)表示直線，用希臘字母(，)表示平面.,(2)點、線、面間的關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示， 點為元素，直線與平面都是點構(gòu)成的集合，幾何中的很多符 號規(guī)定都是源于將圖形視為點集.點與直線之間的關(guān)系用符號 ，表示，直線與平面之間的關(guān)系用 ， 表示，要注意體 會，并區(qū)別記憶.,【微思考】 點P既在直線AB上，又在平面內(nèi)，則直線AB一定也在平面內(nèi)嗎？ 提示：不一定，若直線AB與平面相交，交點為P點，則直線AB不在平面內(nèi).,【即時練】 1.若點M在直線a上，a在平面內(nèi)，則M，a，間的關(guān)系可記為_. 2.根據(jù)圖中的幾何圖形填入相應(yīng)的符號： A_平面ABC，A_平面BCD， BD_平面ABC，平面ABC平面ACD =_.,【解析】1.點M在直線a上可表示為Ma，a在平面內(nèi)，可表 示為a ， 所以M，a，間的關(guān)系可記為Ma . 答案：Ma 2.點A平面ABC，A平面BCD，BD 平面ABC， 平面ABC平面ACD=AC. 答案： AC,知識點2 空間圖形的三個公理(公理1，公理2，公理3) 1.三個公理的意義和作用 (1)公理1是空間里確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識來解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問題的主要的思想方法.,(2)公理2說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)的方法，又是檢驗平面的方法.,(3)公理3揭示了兩個平面相交的主要特征，提供了確定兩個平面交線的方法.可從以下三個方面解釋： 如果兩個相交平面有兩個公共點，那么過這兩點的直線就是它們的交線； 如果兩個相交平面有三個公共點，那么這三點共線； 如果兩個平面相交，那么兩平面的交點必在這兩個平面的交線上.,2.對公理1的兩點說明 (1)“不在同一條直線上的三點”的含義 經(jīng)過一點，兩點和在同一條直線上的三點可能有無數(shù)個平面； 任意給定不在同一條直線上的四個點，不一定有一個平面同時過這四個點. (2)“有且只有一個”的含義 這里“有”是說圖形存在，“只有一個”是說圖形唯一，公理1強(qiáng)調(diào)的是存在和唯一兩個方面.,【微思考】 (1)四邊形一定能確定一個平面嗎？ 提示：不一定，如空間四邊形不能確定平面. (2)兩個平面有三個公共點，這兩個平面重合嗎？ 提示：不一定，當(dāng)三點在同一直線上時，不能判定兩個平面重合；當(dāng)三點不在同一條直線上時，根據(jù)不共線的三點確定一個平面可知兩平面重合.,【即時練】 (2014南昌高一檢測)下列說法： 空間不同的三點可以確定一個平面； 如果線段AB在平面內(nèi)，那么直線AB一定在平面內(nèi)； 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形. 其中錯誤的說法是_(填序號).,【解析】錯誤.若三點在同一直線上，則不能確定一個平面. 正確.由公理2可知，若一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么該直線上的所有點都在這個平面內(nèi)，即該直線在此平面內(nèi). 空間四邊形的兩組對邊也可相等，故錯. 答案：,【題型示范】 類型一 點、線共面問題 【典例1】 (1)若A平面，B平面，C直線AB，則( ) A.AB=C B.AB C.C D.C (2)已知如圖，直線ab，直線la=A，直線lb=B，求證：直線a，b，l共面.,【解題探究】1.題(1)中A平面，B平面，說明什么 問題？ 2.題(2)中，由ab可得到什么結(jié)論？怎樣才能說明a，b，l 共面？ 【探究提示】1.A平面，B平面，說明AB 平面. 2.由ab可以確定一個平面，然后說明l也在a，b確定的平 面中.,【自主解答】(1)選C.因為A平面，B平面，所以AB 平面，又C直線AB，所以C. (2)因為ab，由平行線的定義知，a，b共面，設(shè)a，b所在的 平面為，因為al=A，所以點A在平面內(nèi)，即A.同理 可得B.由公理2知AB在平面內(nèi)，即l在平面內(nèi)，所以 a，b，l共面.,【延伸探究】若將題(2)改為“若三條直線兩兩相交且不交于一點，則這三條直線共面”試證明. 【解題指南】利用公理1和2證明.,【解析】已知，如圖，設(shè)ab=C，bc=B，ac=A，求證： a，b，c共面. 證明：因為三條直線兩兩相交且不交于一點， 所以A，B，C三點不共線(否則與已知矛盾)， 所以可設(shè)A，B，C三點確定一個平面， 因為A，B. 所以AB ，即c 同理b ，c ， 所以a，b，c共面.,【方法技巧】 1.確定平面的方法和意義 (1)確定平面的方法 不共線的三點，可以確定一個平面(即公理1)； 直線和直線外一點，可以確定一個平面； 兩條相交直線，可以確定一個平面； 兩條平行直線，可以確定一個平面. (2)確定平面的意義 實現(xiàn)空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化.,2.解決點線共面問題的基本方法,【變式訓(xùn)練】空間中，下列說法：圓心和圓上兩點可以確定 一個平面；四條平行線不能確定五個平面；不共線的五 點，可以確定五個平面，必有三點共線.不正確的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選A.若圓上兩點為圓直徑的兩個端點，則圓心和圓 上兩點不能確定一個平面，不正確；四條平行線只能確定一 個，四個或六個平面，正確，顯然正確，故選A.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a，b，c，d是兩兩相交且不共點的四條直線，求證：a，b，c，d共面.,【證明】(1)無三線共點情況，如圖. 設(shè)ad=M，bd=N，cd=P，ab=Q， ac=R，bc=S. 因為ad=M，所以a，d可確定一個平面. 因為Nd，Qa，所以N，Q， 所以NQ ，即b . 同理c ，所以a，b，c，d共面.,(2)有三線共點的情況，如圖. 設(shè)b，c，d三線相交于點K， 與a分別交于N，P，M，且Ka. 因為Ka，所以K和a確定一個平面，設(shè)為. 因為Na，a ，所以N，所以NK ，即b . 同理c ，d ，所以a，b，c，d共面. 由(1)(2)知a，b，c，d共面.,類型二 線共點、點共線問題 【典例2】 (1)(2014吉安高一檢測)若直線l與平面相交于點O，A， Bl，C，D且ACBD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是 _. (2)已知四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分 別是BC，CD上的點，且 求證：直線EG，F(xiàn)H，AC 相交于同一點.,【解題探究】1.題(1)中ACBD的作用是什么？O點是直線l與平面的交點，有何特點？ 2.題(2)中四邊形EFHG有何特點？怎樣說明EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點？ 【探究提示】1.由ACBD可以確定A，B，C，D共面，O為兩個平面的交點且在兩平面的交線上. 2.四邊形EFHG為梯形且EFGH，可先說明EG與FH相交于一點，然后說明AC也經(jīng)過該點.,【自主解答】(1)由題意得如圖， 因為ACBD，所以AC與BD確定一個平面，記作平面， 則=直線CD， 因為l=O，所以O(shè)， 又因為OAB，AB ，所以O(shè). 所以O(shè)直線CD，即O，C，D共線. 答案：共線,(2)因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以EFBD且EF= BD. 又因為 所以GHBD且GH= BD，所以EFGH且EFGH， 所以四邊形EFHG是梯形，其兩腰所在直線必相交， 設(shè)兩腰EG，F(xiàn)H的延長線相交于一點P， 因為EG 平面ABC，F(xiàn)H 平面ACD， 所以P平面ABC，P平面ACD， 又因為平面ABC平面ACD=AC，所以PAC， 故直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點.,【方法技巧】 1.證明三點共線的方法 (1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知，這些點都在兩個平面的交線上. (2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上.,2.證明三線共點的步驟 (1)首先說明兩條直線共面且交于一點. (2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交. (3)得到交線也過此點，從而得到三線共點.,【變式訓(xùn)練】已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿足AB=P，BC=Q，AC=R，如圖所示. 求證：P，Q，R三點共線.,【證明】方法一：因為AB=P， 所以PAB，P平面. 又AB 平面ABC，所以P平面ABC. 所以由公理3可知：點P在平面ABC與平面的交線上， 同理可證Q，R也在平面ABC與平面的交線上. 所以P，Q，R三點共線.,方法二：因為APAR=A， 所以直線AP與直線AR確定平面APR. 又因為AB=P，AC=R， 所以平面APR平面=PR. 因為B平面APR，C平面APR， 所以BC 平面APR. 因為QBC，所以Q平面APR，又Q， 所以QPR，所以P，Q，R三點共線.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1C1與B1D1的交點，長方體體對角線A1C交截面AB1D1于點P.求證：O1，P，A三點在同一條直線上.,【解題指南】先確定平面AB1D1與平面AA1C1C的交線AO1，再用公理3證明點P在直線AO1上. 【證明】因為O1平面AB1D1，O1平面AA1C1C， A平面AB1D1，A平面AA1C1C， 所以平面AB1D1平面AA1C1C=AO1. 又因為A1C平面AB1D1=P， 所以P直線A1C，P平面AB1D1， 所以P平面AA1C1C，所以P直線AO1， 即O1，P，A三點在同一條直線上.,【易錯誤區(qū)】對公理理解不透徹而致誤 【典例】(2014佛山高一檢測)下列說法中正確的序號是_. (1)梯形的四個頂點在同一平面內(nèi). (2)空間兩兩相交的三條直線確定一個平面. (3)若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面. (4)空間中有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形.,【解析】(1)梯形有一組對邊平行，由“經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面”，知(1)正確. (2)錯誤，空間兩兩相交的三條直線交于同一點時，無法保證確定一個平面. (3)錯誤，從長方體中取出三條棱，有的共面，有的不共面. (4)錯誤.空間中四個點不一定共面，有三個角為直角的四邊形可能是空間圖形， 如圖，空間四邊形ABCD1. 答案：(1),【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.點、線、面之間的