高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.3二倍角的三角函數(shù)1課件2北師大版必修.ppt

3.3 二倍角的三角函數(shù)(一),【知識提煉】 二倍角公式及其變形,sincos+cossin,2sincos,coscos-sinsin,2cos2-1,1-2sin2,【即時小測】 1.思考下列問題: (1)公式T2成立的條件是什么? 提示:k+ ,k ,kZ. (2)二倍角公式應用過程中,“角”和三角函數(shù)式的“次數(shù)”是如何變化的? 提示:兩種變化形式:一是“角”變二倍,“次數(shù)”降低為一次;二是“角”變?yōu)樵瓉淼囊话?“次數(shù)”升高為二次.,2.計算1-2sin222.5的結果等于 ( ) 【解析】選B.1-2sin222.5=cos45= .,3.sin15sin75的值為 ( ) 【解析】選B.sin15sin75=sin15cos15 = 2sin15cos15 = sin30= .,4.2cos275-1=_. 【解析】2cos275-1=cos150=-cos30=- . 答案:-,5.若tan=2,則tan2=_. 【解析】tan2= 答案:,【知識探究】 知識點 正弦、余弦、正切的二倍角公式 觀察如圖所示內容,回答下列問題: 問題1:二倍角的含義是什么?其有哪些變形? 問題2:二倍角公式及其變形各有什么特點?它們如何使用?,【總結提升】 1.對二倍角中“倍”的說明 (1)“倍”具有廣泛的含義.例如,2是的二倍角,同樣地,4是 2的二倍角,2n是2n-1的二倍角,是 的二倍角,3是 的二 倍角等. (2)在具體應用中可先對角進行觀察,尋求待求的角與已知角之間的 差異,再決定用哪種“倍”的關系.,2.二倍角公式的應用 (1)直接應用公式進行升冪、配方、開方、求值化簡證明等運算. (2)變形應用公式主要體現(xiàn)在化異角為同角、化異次為同次、逆用公 式等方面,其中二倍角的余弦公式最靈活.如:1+cos2=2cos2; cos2= ;1-cos2=2sin2;sin2= , 不僅僅是逆用,更重要的是體現(xiàn)了冪指數(shù)的變化,其中是從一次冪 向二次冪轉換,因此把它們稱為升冪公式,則是從二次冪向一次冪 轉換,因此把它們稱為降冪公式.,【題型探究】,類型一 求二倍角的函數(shù)值 【典例】1.若sin= ,則cos2=_. 2.已知 的值是_.,【解題探究】1.典例1中的條件和所求式中的角有什么聯(lián)系? 提示:兩角為二倍角關系. 2.典例2中 是哪個角的二倍?這個角與 有什么關系? 提示:,【解析】1.由sin= ,得cos2=1-2sin2= 答案: 2.因為 所以 答案:-,【方法技巧】用二倍角公式求解給值求值問題的常用策略 (1)當已知和待求式含有三角函數(shù)的平方式時,需先降冪,再求解. (2)先探尋到已知和待求式中角的倍、單角關系,再正用或逆用二倍角公式求解. (3)當式子中涉及的角較多時,要探尋其間的關系,化異角為同角.,【變式訓練】已知 求sin2,cos2,tan2的 值. 【解題指南】由sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2知應先 求出sin,cos的值.,【解析】因為 所以sin=- cos,代入sin2+cos2=1, 得 cos2+cos2=1. 因為 所以sin2=2sincos= cos2=cos2-sin2= tan2=,類型二 化簡與證明三角函數(shù)式 【典例】1.化簡: =_. 2.證明:,【解題探究】1.典例1中 有什么關系? 提示: 2.典例2中左、右兩邊的差別是什么?如何消除差別? 提示:左邊為弦函數(shù)的高次的分式,右邊為切函數(shù),將左邊正向運用二倍角公式進行約分化簡即可證明.,【解析】1.原式= 答案:1,2.左邊= =tan=右邊.,【延伸探究】(變換條件)若將典例1的式子改為“ ”, 結果如何? 【解析】原式= 答案:,【方法技巧】 1.化簡三角函數(shù)式的策略 一般地,三角函數(shù)式的化簡要從減少角的種類,減少函數(shù)的種類,改變函數(shù)式的運算結構入手,通過切化弦、弦化切、異角化同角、高次降冪、分解因式、逆用公式等手段,使函數(shù)式的結構化為最簡形式.,2.證明三角恒等式的原則與步驟 (1)觀察恒等式的兩端的結構形式,處理原則是從復雜到簡單,高次降低,復角化單角,如果兩端都比較復雜,就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想. (2)證明恒等式的一般步驟是:先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結構等方面的差異,然后本著“復角化單角”“異名化同名”、變換式子結構“變量集中”等原則,設法消除差異,達到證明的目的.,【變式訓練】化簡下列各式:,【解析】(1)原式= (2)方法一:原式= 方法二:原式=,易錯案例 由條件求值 【典例】(2015榆林高一檢測)已知 則sin=_.,或,【失誤案例】,【錯解分析】分析上面的解析過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:錯誤的根本原因是利用二倍角公式及其變形求值過程中忽視了 角的范圍致誤,實際上本題由sin(2-)= 0,可進一步縮小角 2-的范圍.,【自我矯正】因為 所以0,得22- , 所以cos(2-)= .因為- 0,所以cos2=cos(2-)+ =cos(2-)cos-sin(2-)sin 由cos 2=1-2sin2,得sin2= , 又 ,所以sin= . 答案:,【防范措施】 1.審題問題 已知條件角度的認識不到位,不能夠結合三角函數(shù)值的符號,將已知角 的范圍進一步縮小,在本例中求得sin(2-)= 0,可以將2-