現(xiàn)代控制理論.ppt

第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,1-1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式 1-2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖 1-3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（一） 1-4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立（二） 1-5 狀態(tài)矢量的線性變換（坐標(biāo)變換） 1-6 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,系統(tǒng)描述中常用的基本概念和數(shù)學(xué)方法,概述,系統(tǒng)的內(nèi)部描述,古典控制理論,描述單變量線性定常系統(tǒng) 傳遞函數(shù)或頻率特性,根據(jù)系統(tǒng)的輸入-輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的行為,系統(tǒng)的外部描述,現(xiàn)代控制理論,狀態(tài)空間描述,不僅描述了輸入-輸出之間的行為,而且在任何初始條件下都能揭示系統(tǒng)的內(nèi)部行為,1-1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式,一、狀態(tài)變量,能完整地、準(zhǔn)確地表征系統(tǒng)時(shí)域行為(運(yùn)動(dòng)狀態(tài))的最小個(gè)數(shù)的一組變量為狀態(tài)變量。,例：圖示的兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)，u(t)和i(t)分別是系統(tǒng)的輸入變量， y(t)是輸出變量。,圖一,圖二,圖一系統(tǒng)中,圖二電路,令x(t)=y(t)，y(t0)為狀態(tài)變量的初值，即,則,二、狀態(tài)矢量,以狀態(tài)變量為分量組成的矢量稱為狀態(tài)矢量，記為,或,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、獨(dú)立貯能元件、微分方程、狀態(tài)變量等有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。,三、狀態(tài)空間,以狀態(tài)變量為坐標(biāo)構(gòu)成的歐幾里德空間稱為狀態(tài)空間。,四、狀態(tài)空間表達(dá)式,狀態(tài)變量,控制變量,輸出變量,通常并不要求必須是可測(cè)量的,可以直接測(cè)量的，又稱為量測(cè)變量,輸出方程,狀態(tài)方程,引入向量、向量函數(shù)及矩陣,狀態(tài)向量,控制（輸入）向量,輸出（量測(cè)）向量,系統(tǒng)的狀態(tài)方程一般可用一組一階微分方程來描述,系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)為,狀態(tài)方程,輸出方程,若所描述的被控過程是線性的，則,狀態(tài)方程,輸出方程,A(t)為nn的系數(shù)矩陣，B(t)為nr的控制矩陣 C(t)為mn的輸出矩陣，D(t)為mr的直聯(lián)矩陣,系統(tǒng)的狀態(tài)表達(dá)式可簡記為,若所描述的被控過程是線性時(shí)不變的，則,簡記為,單輸入單輸出定常系統(tǒng)： 輸出方程形式如下：,單輸入單輸出定常系統(tǒng)： 其中：,多輸入多輸出定常系統(tǒng)：r個(gè)輸入、m個(gè)輸出,輸出方程形式如下：,多輸入多輸出定常系統(tǒng)： 其中：,多輸入多輸出定常系統(tǒng)： 其中：,五、狀態(tài)空間表達(dá)式的系統(tǒng)框圖,結(jié)構(gòu)圖,注:用單箭頭表示標(biāo)量信號(hào),雙箭頭表示矢量信號(hào),見教材P14,和古典控制理論不同，狀態(tài)空間表達(dá)式考慮了“輸入狀態(tài)輸出”這一過程，它注意到了被輸入輸出描述所忽略了的狀態(tài)。輸入引起了狀態(tài)的變化，而狀態(tài)才決定了輸出的變化。因此狀態(tài)空間表達(dá)式是對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性的反映，而輸入輸出描述只是對(duì)系統(tǒng)的端部特性的反映。然而具有相同端部特性的系統(tǒng)，都可以具有不同的結(jié)構(gòu)特性經(jīng)。這表明狀態(tài)空間表達(dá)式是對(duì)系統(tǒng)的一種完全的描述。 輸入引起狀態(tài)的變化是一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，在數(shù)學(xué)上表征為向量微分方程，即狀態(tài)微分方程。而狀態(tài)決定輸出的變化則僅是一個(gè)變換過程，數(shù)學(xué)上輸出方程表征為一個(gè)變換過程。 從數(shù)學(xué)上看，狀態(tài)變量組是反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的變量的最大線性無關(guān)組。所以，就系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)而言，其狀態(tài)變量個(gè)數(shù)當(dāng)且等于系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立的貯能元件的個(gè)數(shù)，則一個(gè)n階系統(tǒng)，有且僅有n個(gè)狀態(tài)變量可以選擇。,狀態(tài)空間表達(dá)式問題的討論,對(duì)于給定的系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不是唯一的。 對(duì)于結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的系統(tǒng)，建立狀態(tài)空間表達(dá)式的問題，歸結(jié)為把直接根據(jù)物理學(xué)定律組成的微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)變量的一階微分方程組。,由基爾霍夫定律，列寫網(wǎng)絡(luò)方程,電容兩端電壓,流經(jīng)電感的電流,從而有,進(jìn)而導(dǎo)出,狀態(tài)方程,輸出方程,矩陣形式,1-2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖,模擬器件,繪制步驟：（1） 繪制積分器 （2） 畫出加法器和放大器 （3） 用線連接各元件，并用箭頭 示出信號(hào)傳遞的方向。,例2.1.2 設(shè)三階系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為,則其模擬圖為,u,y,+,+,+,-,3,-,6,-,2,x,3,x,2,x,1,一、從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式,方法： 將系統(tǒng)方塊圖中的各個(gè)環(huán)節(jié)變換成模擬結(jié)構(gòu)圖，并把每個(gè)積分器的輸出作為一個(gè)狀態(tài)變量 ,其輸入便是相應(yīng)的 ，然后，由模擬圖直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。,1-3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(一),寫成矩陣形式，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：,二、從系統(tǒng)機(jī)理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式：,例 系統(tǒng)如圖所示,選擇狀態(tài)變量：,整理得：,狀態(tài)方程為：,輸出方程為：,寫成矩陣形式,例求圖示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 外力 位移,牛頓力學(xué)定律,令,-彈性系數(shù),阻尼系數(shù),動(dòng)態(tài)方程如下,狀態(tài)空間表達(dá)式為：,解：以 作為中間變量，列寫該回路的微分方程 選,例2求圖示RLC回路的狀態(tài)空間表達(dá)式,為系統(tǒng)兩狀態(tài)變量，則原方程可化成 寫成矩陣向量的形式為：,令 為狀態(tài)向量 則：,由描述系統(tǒng) 輸入-輸出動(dòng)態(tài)關(guān)系的微分方程或傳遞函數(shù)，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 這樣的問題叫實(shí)現(xiàn)問題。,1-4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間 表達(dá)式的建立（二）,狀態(tài)空間表達(dá)式既保持了原傳遞函數(shù)所確定的輸入輸出關(guān)系，又將系統(tǒng)的內(nèi)部關(guān)系揭示出來。 根據(jù)輸入輸出關(guān)系求得的狀態(tài)空間表達(dá)式并不是唯一的。,單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng),n階線性常系數(shù)微分方程,對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù),一、傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn) -（系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）,對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)：,選?。?狀態(tài)空間表達(dá)式：,狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)圖,例 設(shè) 求（A，B，C，D） 解：選 則,狀態(tài)空間表達(dá)式為,二、傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的實(shí)現(xiàn) 系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 如果單輸入單輸出系統(tǒng)的微分方程為： 一般輸入量中導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的次數(shù)n。,考慮一般情況：,嚴(yán)格真分式傳函 前饋系數(shù) 上式中的系數(shù)用長除法得到：,* 串聯(lián)分解的形式,選取狀態(tài)變量,則狀態(tài)方程為：,輸出方程為： 寫成向量-矩陣形式為：,這樣的A陣又稱友矩陣，若狀態(tài)方程中的A， b具有這種形式，則稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。 當(dāng) 時(shí)，A，b不變。 系統(tǒng)A，b，C，D稱為G（s）的可控標(biāo)準(zhǔn) 形實(shí)現(xiàn)。,則,對(duì),其系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1.14所示（）,一、 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性 前面已指出一個(gè)給定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、狀態(tài)變量的選取有許多方法。因此一個(gè)系統(tǒng)有許不同的狀態(tài)空間表達(dá)式來描述。狀態(tài)變量的不同選取，其實(shí)是狀態(tài)向量的一種線性變換。 一個(gè)給定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取有許多不同的方法（如前面的 電路），因此狀態(tài)空間表達(dá)式也不同，即一個(gè)系統(tǒng)有許多不同的狀態(tài)空間表達(dá)式來描述。,1-5 狀態(tài)矢量的線性變換(坐標(biāo)變換),補(bǔ)充內(nèi)容： 稱為n階單位矩陣。,設(shè)線性常定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)為 令 則,例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 取變換矩陣 則,取變換矩陣 則,二、系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量,1、系統(tǒng)特征值 系統(tǒng) 系統(tǒng)的特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，即特征方程： 的根。,2、系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性 同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得 其特征方程為： 可以證明變換前后系統(tǒng)的特征值是不變的。 即證明：,稱特征多項(xiàng)式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。,3、特征矢量,例：試求 的特征矢量。 解：,得： 互異 必存在非奇異變換陣 ，把A化成對(duì)角陣,得： 取：,同理可?。?則：,則,三、狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型,無重根時(shí)：,有重根時(shí)：,（1）A陣的特征值無重根時(shí),1、A陣為任意形式,例：試求 的特征矢量。 解：,得： 互異 必存在非奇異變換陣 ，把A化成對(duì)角陣,得： ?。?同理可?。?則：,則,（2）A陣的特征值有重根時(shí),例：,化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。 解：,只能確定一個(gè) 廣義特征向量,即：,化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為,2 、A陣為友矩陣 且有n個(gè)互異的實(shí)數(shù)特征值 則下列的范得蒙特矩陣可使A對(duì)角化,例：設(shè) 化為對(duì)角陣,為友矩陣。,（互異） 則：,則 (2) 設(shè)A為友矩陣， 具有m重實(shí)特征根 且只有一個(gè)獨(dú)立的實(shí)特征向量 ，則使 A約當(dāng)化得 為,式中 例：A為友矩陣，且有特征值,則A陣約當(dāng)化后為： 使A約當(dāng)化后的 為：,3、系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn),(1)、互異實(shí)根,模擬結(jié)構(gòu)圖（并聯(lián)結(jié)構(gòu)） 對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形 (a),3、系統(tǒng)的并聯(lián)型實(shí)現(xiàn),特點(diǎn)： 傳函極點(diǎn) 全1 對(duì)應(yīng)極點(diǎn)的分子系數(shù),對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形 (b),b. 選取狀態(tài)變量:,b. W(s)含重實(shí)極點(diǎn) 為了簡單起見，設(shè)W(s)只有r重極點(diǎn)，則 傳遞函數(shù)的部分式展開式為：,.,狀態(tài)變量圖,其中,選取狀態(tài)變量的拉氏變換為：,化為狀態(tài)變量的一階微分方程，則有,輸出方程,.,狀態(tài)空間表達(dá)式,例：設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 試求其狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：分母 三重極點(diǎn) 用部分分式為：,狀態(tài)空間表達(dá)式,1.6 從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣 (1)定義：初始條件為零時(shí)，輸出向量的拉氏 變換式與輸入向量的拉氏變換之間的傳遞關(guān) 系 傳遞函數(shù)矩陣（簡稱傳遞矩陣） (2)表達(dá)式：設(shè)