關(guān)于用導(dǎo)數(shù)處理的數(shù)列型不等式集錦.doc

1.求證：. 解析:先構(gòu)造函數(shù)有,從而所以 2.求證: 解析: 3. 已知.求證：.4.求證:解析:一方面:(法二) 另一方面: 5.求證:(1) 解析:構(gòu)造函數(shù),得到,再進(jìn)行裂項(xiàng),求和后可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式: ,5.求證:解析:提示:函數(shù)構(gòu)造形式: 當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮如圖,取函數(shù),首先:,從而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,從而有取有,所以有,所以綜上有6.求證:和.解析:構(gòu)造函數(shù)后即可證明7.求證: 解析:,疊加之后就可以得到答案 函數(shù)構(gòu)造形式:(加強(qiáng)命題)8.證明: 解析:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以9.數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且，求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，2.71828）和任意正整數(shù)，總有 2；() 正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最大項(xiàng). （）解：由已知：對(duì)于，總有 成立 （n 2） -得均為正數(shù)， （n 2） 數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 又n=1時(shí)， 解得=1.() （）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)n，總有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 時(shí)，是遞減數(shù)列. 令當(dāng)在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).由.n2 時(shí), 是遞減數(shù)列.即是遞減數(shù)列.又 , 數(shù)列中的最大項(xiàng)為. 10. 已知證明. 解析: ,然后兩邊取自然對(duì)數(shù),可以得到然后運(yùn)用和裂項(xiàng)可以得到答案)放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來(lái)放縮： ，即11已知函數(shù)若 解析:設(shè)函數(shù) 函數(shù)）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.的最小值為，即總有而即令則 12 已知函數(shù)是在上處處可導(dǎo)的函數(shù),若在上恒成立. (I)求證：函數(shù)上是增函數(shù)； (II)當(dāng)； (III)已知不等式時(shí)恒成立，求證：解析:(I),所以函數(shù)上是增函數(shù) (II)因?yàn)樯鲜窃龊瘮?shù),所以 兩式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以令,有 所以(方法二) 所以 又,所以13定義 如果內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)則(1) 若對(duì)則函數(shù)在內(nèi)為凸函數(shù). (2) 若對(duì)則函數(shù)在內(nèi)為凹函數(shù).若函數(shù)內(nèi)是凸(或凹)函數(shù)時(shí),對(duì)及,有Jensen(琴森)不等式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. 證明下列不等式.分析 上式只要能證明,如果此題用前面所述的幾種方法來(lái)證明顯然不合適,因?yàn)閷?duì)它求導(dǎo)后不等式會(huì)更復(fù)雜.而這里的可以看作是同一函數(shù)的多個(gè)不同函數(shù)值,設(shè)那么就可以用Jensen不等式來(lái)證明它.然后只要令,同理可得.證明 令因?yàn)?,所以是凹函數(shù)則對(duì)有即 又因?yàn)?所以 令 , 則同理可得所以14.（浙江省五校2009屆高三第一次聯(lián)考理科第21題）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：（1）求證：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求證不等式：分析：（1）構(gòu)造函數(shù)、利用函數(shù)的單調(diào)性證明；（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系把數(shù)列的遞推關(guān)系找出來(lái)，利用變換的方法將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的關(guān)系解決；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果分析探究解析：（1）， ，當(dāng)時(shí)，即是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即是單調(diào)遞減函數(shù) 所以，即是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn) ，當(dāng)時(shí)取到等號(hào) （2）由得， ，即數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，（3） 又時(shí)，有，令，則 15 (1)證明: (2)數(shù)列中. ,且; 證明: 解析:(1)設(shè),則. 所以在內(nèi)是減函數(shù), . 又在處連續(xù),所以. 即(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證之.a.當(dāng)時(shí), ; b.假設(shè)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,結(jié)論成立.綜上,對(duì)一切,有.由及已知得,所以 .所以,又由(1)得,所以,.相加,得,故不等式成立.點(diǎn)評(píng):本題是一道改編題,屬于理科數(shù)學(xué)的預(yù)測(cè)題.遞推數(shù)列與不等式證明的結(jié)合,是歷年高考命題的常見(jiàn)策略.16.已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對(duì)對(duì)都成立，證明（無(wú)理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析 結(jié)合第問(wèn)結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來(lái)放縮： ，即17已知數(shù)列滿足，且。（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（II）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式恒成立。解：（I）顯然，由可得，即，也即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而有，即。 證明：（II）由得，所以有，為證，只需證。 ，猜想有。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)， 式顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)， 式成立，即。那么當(dāng)時(shí)，上式表明當(dāng)時(shí)， 式也成立。由、可知對(duì)一切， 式都成立。利用 式得，故式成立，從而結(jié)論成立。18. 已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（）（）若則當(dāng)n2時(shí),.解: ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?x1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.4分又由, 得,從而.綜上可知6分()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因?yàn)?所以,即0,從而10分() 因?yàn)?,所以, , 所以 , 12分由()知:, 所以= ,因?yàn)? n2, 所以 = . 14分由 兩式可知: .16分19已知等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明；(3)設(shè)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，均有.【解析】(1).是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.，所以.（2）設(shè)，則.故，所以.所以，所以.所以，.（3）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即.所以.又因?yàn)闀r(shí)，并且，所以.所以對(duì)任意的正整數(shù)，均有的最大值為，所以對(duì)任意的正整數(shù)，均有.20.對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)、，且.（）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）已知各項(xiàng)不為1的數(shù)列滿足，求證：；（）在（2）中，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.解：（1）設(shè) 1分 由 又 3分 于是 由得或； 由得或 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，4分單調(diào)減區(qū)間為和 5分（2）由已知可得， 當(dāng)時(shí)， 兩式相減得或6分當(dāng)時(shí)，若，則這與矛盾 7分于是，待證不等式即為.為此，我們考慮證明不等式令則，再令， 由知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 于是即 9分 令， 由知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增 于是即 由、可知 所以，即 11分（3）由（2）可知 則 在中令，并將各式相加得 即 14分21. 對(duì)于函數(shù)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)如果函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0和2()試求b、c滿足的關(guān)系式；()若c2時(shí)，各項(xiàng)不為零的數(shù)列an滿足4Snf()1，求證：；()設(shè)bn，Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求證：T20091ln2009T2008()設(shè) 2分()c2 b2 ，由已知可得2Snanan2，且an1當(dāng)n2時(shí)，2 Sn -1an1an12 ，得(anan1)( anan11)0，anan1 或 anan1 1，當(dāng)n1時(shí)，2a1a1a12 a11，若anan1，則a21與an1矛盾anan11， ann4分要證待證不等式，只要證 ，即證 ，只要證 ，即證 考慮證不等式(x0) *6分令g(x)xln(1x)， h(x)ln(x1) (x0) g (x)， h (x)，x0， g (x)0， h (x)0，g(x)、h(x)在(0, )上都是增函數(shù)，g(x)g(0)0， h(x)h(0)0，x0時(shí)，令則*式成立，9分()由()知bn，則Tn在中，令n1，2，3，2008，并將各式相加，得，即T20091ln2009T200812分22.已知函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（）求證：.解：（）定義域?yàn)椋?2分 令，令 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為 的極大值為 （）證：要證 即證， 即證 即證 令，由（）可知在上遞減，故 即，令，故 累加得， 故，得證23已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直