2014世紀(jì)金榜第三章第一節(jié).ppt

第三章三角函數(shù)與解三角形第一節(jié)三角函數(shù)的概念,1.角的有關(guān)概念,射線,旋,轉(zhuǎn),象限角,正角,負(fù)角,零角,k360+，kZ,2.弧度的定義和公式(1)定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做_的角.記作_.,1弧度,1rad,(2)公式：,2,|r,3.任意角的三角函數(shù)(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y)，它與原點(diǎn)的距離是r(r=0)，規(guī)定：比值_叫做的正弦，記作sin，即sin=_；比值_叫做的余弦，記作cos,即cos=_；比值_(x0)叫做的正切，記作tan,即tan=_.,(2)有向線段：規(guī)定了方向(即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的_.(3)有向線段的數(shù)量：若有向線段AB在有向直線l上或與有向直線l平行，根據(jù)有向線段AB與有向直線l的方向相同或相反，分別把它的長度添上正號(hào)或負(fù)號(hào)，這樣所得的_，叫做有向線段的數(shù)量，記為_.,線段,數(shù),AB,(4)三角函數(shù)線：,如圖所示，則正弦線為_(用字母表示)余弦線為_，正切線為_.有向線段MP，OM，AT都稱為_.,MP,OM,AT,三角函數(shù)線,判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“”或“”).(1)小于90的角是銳角.()(2)銳角是第一象限角，反之亦然.()(3)與45角終邊相同的角可表示為k360+45，kZ或2k+45，kZ.()(4)將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是60.()(5)點(diǎn)P(tan，cos)在第三象限，則終邊在第二象限.(),【解析】(1)錯(cuò)誤.負(fù)角小于90，但它不是銳角.(2)錯(cuò)誤，第一象限角不一定是銳角，如-350是第一象限角，但它不是銳角.(3)錯(cuò)誤，不能表示成2k+45，即角度和弧度不能混用.(4)錯(cuò)誤,撥快時(shí)分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，應(yīng)為-60.(5)正確，由已知得tan0，cos0，所以為第二象限角.答案：(1)(2)(3)(4)(5),1.終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為_.【解析】由題意可知，角的終邊分4種情況，分別是在x軸的正、負(fù)半軸和y軸的正、負(fù)半軸.故角的集合是以上4種情況的并集，即|=k90，kZ.答案：|=k90,kZ,2.終邊落在第二象限的角可表示為_.【解析】由題意可知角的終邊與鈍角的終邊相同，故可表示為|+2k+2k，kZ.答案：|+2k+2k，kZ,3.已知sin0，tan0，那么是第_象限角.【解析】由sin0，則的終邊在第三、四象限，或y軸負(fù)半軸.由tan0，則的終邊在第一、三象限，故是第三象限角.答案：三,4.已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，則這個(gè)圓心角所對的弧長是_.【解析】由，l=|r=2r，可得答案：5.已知角終邊上一點(diǎn)A(2,2)，則tan=_.【解析】答案：1,6.扇形的半徑為2，圓心角為120，扇形面積為_.【解析】120=120(rad)，答案：,考向1終邊相同的角與象限角【典例1】(1)若角與的終邊落在過原點(diǎn)的同一條直線上，則與的關(guān)系是_.(2)若sincos0，則為第_象限角.(3)已知角是第一象限角，確定2，的終邊所在的象限.,【思路點(diǎn)撥】(1)分，終邊重合與互為反向延長線兩種情況求解.(2)分同為正和同為負(fù)兩種情況分析.(3)寫出的范圍，再求2，的范圍.利用k的取值判斷.,【規(guī)范解答】(1)當(dāng)，的終邊重合時(shí)，=+k2,kZ.當(dāng)，的終邊互為反向延長線時(shí)，=+k2=+(2k+1),kZ.綜上可得=+k,kZ.答案：=+k,kZ,(2)由sincos0，可知sin0，cos0或sin0，cos0，當(dāng)sin0,cos0時(shí)為第一象限角，當(dāng)sin0，cos0時(shí)為第三象限角.答案：一或三(3)是第一象限角，k2k2+(kZ).k42k4+(kZ),即2k222k2+(kZ),2的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上.,kk+(kZ),當(dāng)k=2n(nZ)時(shí),2n2n+(nZ),的終邊在第一象限.當(dāng)k=2n+1(nZ)時(shí),(2n+1)(2n+1)+(nZ),即2n+2n+(nZ),的終邊在第三象限.綜上，的終邊在第一象限或第三象限.,【拓展提升】與所在象限的關(guān)系,【提醒】在確定象限角時(shí)，若出現(xiàn)180k(kZ)，則需首先對k的值進(jìn)行討論，然后確定象限.,【變式訓(xùn)練】(1)若是第三象限的角，則-是第_象限角.【思路點(diǎn)撥】由為第三象限角可得-的范圍，對k取不同的值可解.,【解析】由+2k+2k，kZ,得故當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)在第一象限，當(dāng)k取奇數(shù)時(shí)在第三象限.故是第一或第三象限角.答案：一或三,(2)已知角是第二象限角，試確定所在的象限.【解析】角為第二象限角，當(dāng)k=3n(nZ)時(shí)，的終邊在第一象限.當(dāng)k=3n+1(nZ)時(shí)，的終邊在第二象限.,當(dāng)k=3n+2(nZ)時(shí)，的終邊在第四象限.綜上，的終邊在第一象限、第二象限或第四象限.,考向2弧度制的應(yīng)用【典例2】(1)已知扇形OAB的圓心角為120，半徑r=6，求弧的長及扇形的面積.(2)已知扇形周長為20，當(dāng)扇形的圓心角為多大時(shí)，它有最大面積，最大面積是多少？【思路點(diǎn)撥】(1)將圓心角化為弧度，再利用弧長、面積公式求解.(2)利用扇形周長得半徑與弧長的關(guān)系，再利用面積公式化為關(guān)于半徑r的二次函數(shù)求最值.,【規(guī)范解答】(1)故弧的長為4，扇形的面積為12.(2)由已知得l+2r=20，S=lr=(20-2r)r=10r-r2=-(r-5)2+25，所以r=5時(shí)，Smax=25,此時(shí)，l=10，=2(rad).故當(dāng)扇形的圓心角為2時(shí)，它有最大面積25.,【互動(dòng)探究】本例(1)中若求扇形的弧所在的弓形面積，又將如何求解？【解析】由S弓=S扇形-S=12-62sin=12-9,故弓形的面積為,【拓展提升】弧度制與角度制下弧長與扇形面積公式弧度制下l=r，S=lr，此時(shí)為弧度.在角度制下，弧長扇形面積此時(shí)n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系.,【提醒】在解決弧長、扇形面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形.,【變式備選】已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對的圓心角的大小.(2)求所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.,【解析】(1)由O的半徑r=10=AB，知AOB是等邊三角形，=AOB=60=.(2)由(1)可知=，r=10，弧長l=r=而S=S扇形-SAOB=,考向3三角函數(shù)的定義【典例3】(1)若點(diǎn)P(m，n)是1110角的終邊上任意一點(diǎn)，則的值等于_.(2)已知角的終邊上一點(diǎn)m0,且sin=求cos,tan的值.【思路點(diǎn)撥】(1)由P點(diǎn)在1110角的終邊上可得m，n的關(guān)系式，代入所求式子可解.(2)先由sin=結(jié)合三角函數(shù)的定義建立關(guān)于參數(shù)m的方程，求出m的值，再根據(jù)定義求cos，tan的值.,【規(guī)范解答】(1)由1110=3360+30,tan1110=tan30=答案：,(2)由題設(shè)知r2=|OP|2=(-)2+m2,O為原點(diǎn)，得從而于是3+m2=8，解得m=當(dāng)m=時(shí)，當(dāng)m=-時(shí)，,【互動(dòng)探究】將本例(2)中“sin=”改為“tan=”，如何求sin，cos？【解析】由已知得，又得m=-1，P(-，-1)，r=2，,【拓展提升】用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值.,【變式備選】已知角的終邊在直線3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.【解析】角的終邊在直線3x+4y=0上，在角的終邊上任取一點(diǎn)P(4t,-3t)(t0),則x=4t,y=-3t,當(dāng)t0時(shí)，r=5t,當(dāng)t0時(shí)，r=-綜上可知，或,【易錯(cuò)誤區(qū)】三角函數(shù)定義中忽略分類討論而致誤【典例】(2013天津模擬)已知角的終邊上一點(diǎn)P(3a，4a)(a0),則sin=_.【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是：由終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)時(shí)，由于沒有考慮參數(shù)的取值情況，沒有分類討論，從而求出r=5a，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.,【規(guī)范解答】x=3a,y=4a,(1)當(dāng)a0時(shí)，r=5a，(2)當(dāng)a0時(shí)，r=-5a，答案：,【思考點(diǎn)評】1.任意角三角函數(shù)的定義對于三角函數(shù)的定義，若設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，y)，|OP|=則2.分類討論思想的應(yīng)用對于三角函數(shù)定義，如果含有參數(shù)，一定要考慮運(yùn)用分類討論.在分類討論時(shí)要注意統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)，明確分類的對象，逐類討論，最后歸納總結(jié).,1.(2013連云港模擬)若角與角終邊相同，則在0，2內(nèi)終邊與角終邊相同的角是_.【解析】由角與角終邊相同，得=2k+，kZ，故又0，2，故k=0時(shí)，k=1時(shí)，k=2時(shí)，k=3時(shí)，答案：,2.(2013徐州模擬)已知點(diǎn)P(sin，cos)在第四象限，則角的終邊在第_象限.【解析】P(sin，cos)在第四象限，的終邊在第二象限.答案：二,3.(2013鹽城模擬)若cos=-，且角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，2)，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x是_.【解析】由cos=-0，又點(diǎn)(x，2)在的終邊上，故為第二象限角，故x0.4x2=3x2+12,x2=12,x=-或x=(舍).答案：-,4.(2013宿遷模擬)設(shè)扇形的周長為8cm，面積為4cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是_.【解析】設(shè)扇形半徑為rcm，弧長為lcm，則，解得圓心角