清北學(xué)堂 內(nèi)部講義 2014年寒假物理競賽集訓(xùn)二導(dǎo)學(xué)3-電磁學(xué) 系統(tǒng)講解

2014 年寒假 物理 競賽 集訓(xùn)二 導(dǎo)學(xué) （第 三 次） 資料 說明 本 導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課 之 前 ，了解授課方向及重難點(diǎn)。 同時(shí) 還 附上部分知識(shí)點(diǎn) 的詳細(xì)解讀。每個(gè)班型導(dǎo)學(xué)共由 4 次書面資料構(gòu)成。此次發(fā)布的為第 三 次導(dǎo)學(xué)，后面的第 四次導(dǎo)學(xué) ， 將于 2013 年 12 月 25 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 還 會(huì)發(fā)布 相應(yīng)班型的詳細(xì)授課大綱，敬請(qǐng)關(guān)注。 自主招生郵箱： 數(shù)學(xué)競賽郵箱： 物理競賽郵箱： 化學(xué)競賽郵箱： 生物競賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學(xué)堂集中 培訓(xùn)課程 導(dǎo)學(xué)資料 （ 2014 年寒假集中培訓(xùn) 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-3-7 2013-12-15 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 1 頁 2014 年寒假物理競賽 集訓(xùn)二 導(dǎo)學(xué) (電磁學(xué) ) 目錄 知識(shí)框架 . 2 重點(diǎn)難點(diǎn) . 3 知識(shí)梳理 . 4 一、 靜電場 . 4 1. 庫侖定律 . 4 2. 電場強(qiáng)度 . 4 3. 電勢(shì)和電勢(shì)能 . 5 4. 靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì) . 6 5. 電容和電容器 . 6 二、 穩(wěn)恒電流 . 7 1. 歐姆定律 . 7 2. 電功和電功率 . 8 3. 復(fù)雜電路計(jì)算 . 8 三、 磁場 . 9 1. 磁感應(yīng)強(qiáng)度 . 9 2. 安培力 . 10 3. 洛倫茲力 . 10 四、 電磁感應(yīng) . 11 1. 楞次定律 . 11 2. 法拉第電磁感應(yīng)定律 . 11 3. 動(dòng)生、感生電動(dòng)勢(shì) . 11 例題選講 . 13 鞏固習(xí)題 . 21 參考答案 . 25 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁 知識(shí)框架 靜電場 庫侖定律 電場強(qiáng)度 電勢(shì)和電勢(shì)能 靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì) 電容和電容器 穩(wěn)恒電流 歐姆定律 電功和電功率 復(fù)雜電路計(jì)算 磁場 磁感應(yīng)強(qiáng)度 安培力 洛倫茲力 電磁感應(yīng) 楞次定律 法拉第電磁感應(yīng)定律 動(dòng)生、感生電動(dòng)勢(shì) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁 重點(diǎn)難點(diǎn) 電磁學(xué)中，除穩(wěn)恒電流和交變電流外，其他部分均可與力學(xué)結(jié)合，題目類型層出不窮，是競賽中的難點(diǎn)。 靜電場部分， 庫侖定律 是靜電場基本定律，此外電場強(qiáng)度還可用 高斯定理 計(jì)算。靜電場中的導(dǎo)體涉及 靜電屏蔽 ，該部分理解容易，但應(yīng)用中變化較多。 穩(wěn)恒電流部分，題目主要涉及的是復(fù)雜電路的計(jì)算。復(fù)雜電路的化簡是競賽中一大難點(diǎn)，需要熟練掌握 基爾霍夫定律 ，靈活運(yùn)用電路 對(duì)稱性 、 疊加原理 和 Y- 變換 化簡電路并求解。 磁場部分，主要題型是通過 安培力 或 洛倫茲力 將題目與運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)結(jié)合，也是電磁學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。此外，對(duì)磁場還要求能使用 比奧 -薩法爾定律 計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度。 電磁感應(yīng)部分，經(jīng)常將感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)通過的安培力與運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)結(jié)合，重點(diǎn)在于掌握法拉第電磁感應(yīng)定律 ，理解 動(dòng)生、感生電動(dòng)勢(shì) 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁 知識(shí)梳理 一、 靜電場 1. 庫侖定律 （ 1） 庫侖定律 庫倫定律是 電磁場理論的 基本定律 之一。 其內(nèi)容是： 真空 中 兩個(gè) 靜止 的 點(diǎn) 電荷 之間的作用力與這兩個(gè)電荷所帶 電量 的乘積成 正比 ， 與 它們 距離 的平方成 反比 ，作用力的方向沿著這兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線，同名電荷相斥，異名電荷相吸。 即221rqqkF。 （ 2） 電荷守恒定律 電荷守恒定律是自然界的基本守恒定律之一，也是電磁場理論的基本定律之一。其內(nèi)容是： 電荷既 不能被創(chuàng)造 ，也 不能被消滅 ，只能從一個(gè)物體 轉(zhuǎn)移 到另一個(gè)物體，或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分；在轉(zhuǎn)移的過程中，電荷的總量保持不變 。 當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)與外界沒有電荷交換時(shí)，系統(tǒng)電荷的代數(shù)和總是保持不變的 。 2. 電場強(qiáng)度 （ 1） 電場 電荷之間的相互作用是通過 場 的形式實(shí)現(xiàn)的，這種場叫做電場。任何電荷都在自己周圍的空間激發(fā)電場。 （ 2） 電場強(qiáng)度 電場的客觀存在可由電場對(duì)處于其中的任意電荷的作用力來體現(xiàn)，為了從力的角度描繪這個(gè)客觀存在的場，引入電場強(qiáng)度這一物理量，其 定義 為qFE 。 其中， q 為試驗(yàn)電荷。為了確定空間每點(diǎn)的電場性質(zhì)，試驗(yàn)電荷必須是點(diǎn)電荷。電場強(qiáng)度在電場確定后就已經(jīng)確定了，與 試驗(yàn)電荷無關(guān) 。 （ 3） 疊加原理 電場強(qiáng)度是 矢量 ，方向與該點(diǎn)正電荷受力方向相同。當(dāng)空間有多個(gè)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)時(shí)，空間某點(diǎn)的場強(qiáng)等于各個(gè)電荷 單獨(dú)存在 時(shí)在該點(diǎn)場強(qiáng)的 矢量和 ，這叫做場強(qiáng)的疊加原理。 （ 4） 電場線 為了形象地描繪電場分布，在電場中作出許多曲線，是這些曲線上每一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)場強(qiáng)方向一致，這樣的曲線叫做電場線。電場線是 有頭（正電荷或無窮遠(yuǎn)）有尾（負(fù)電荷或無窮遠(yuǎn)） 的 封閉 曲線， 不相交 且在 無電荷處不中斷 。 （ 5） 電通量 電通量為穿過電場中某一個(gè)曲面的電場線數(shù)，定義為 SEe ，這里面 S 的方向?yàn)槠?外法線方向 ，即電場線 進(jìn)入曲面 的地方電通量為 負(fù) ，電場線 穿出曲面 的地方電通量為 正 。 （ 6） 高斯定理 通過一個(gè)任意 閉合曲面 的電通量 e 等于該面 包圍 的所有電荷電量的 代數(shù)和 的 K4 倍清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁 （或 01 倍）。 高斯定理說明靜電場是 有源場 。利用高斯定理可以求出某些具有 對(duì)稱性電場 的電場強(qiáng)度。 （ 7） 幾種特殊帶電體的場強(qiáng) i. 點(diǎn)電荷：2rQKE ii. 均勻帶電球殼：RrrQKRrE,02， r 為空間點(diǎn)到球心距離， R 為球殼半徑。 iii. 均勻帶電球體：RrrQKRrr rqKE,)(22 ， r 為空間點(diǎn)到球心距離， R 為球殼半徑 ，q(r)為半徑 r 的球體內(nèi)帶電荷量。 iv. 無限大帶電薄板：02E ， 為電荷密度。 v. 無限大帶電厚板：0E ， 為電荷密度。 3. 電勢(shì)和電勢(shì)能 （ 1） 靜電場力的功 靜電場力的功 類似重力 的功，與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)與終點(diǎn)的位置有關(guān)，即)11( 210 rrKqqA 。這說明靜電場力是 保守力 。 （ 2） 電勢(shì)能和電勢(shì) 類比重力場中重力做功，靜電場中 靜電力做功等于電勢(shì)能的減少 ，有 BAAB WWA 。要確定電勢(shì)能的大小，還需要選擇一個(gè)零勢(shì)能參考點(diǎn)。通常，如果帶電體系局限在有限大小的空間里，選擇 無窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)能為零 。那么10rqqKWQ 。 電勢(shì)能除了與電場有關(guān)，還與 q0 有關(guān)。因此，用 Wp 與 q0 的比值描繪電場，稱之為電勢(shì)。 電勢(shì)為標(biāo)量0qWU 。 對(duì)點(diǎn)電荷電場，電勢(shì) rqKU 。點(diǎn)電荷組 qi(i=1,2, ,n)，空間任一點(diǎn)的電勢(shì) U 等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)該點(diǎn)的電勢(shì) Ui的代數(shù)和，即 ni iini i rqKUU11。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁 （ 3） 等勢(shì)面 電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的曲面叫做等勢(shì)面。等勢(shì)面上移動(dòng)電荷電場力做功為零，因此 電場線與等勢(shì)面處處正交 ，電場線指向電勢(shì)降低的方向。 4. 靜電場中的導(dǎo)體 和電介質(zhì) （ 1） 靜電平衡 以金屬導(dǎo)體為例，當(dāng)其置于靜電場時(shí)，自由電子發(fā)生定向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體的兩端面出現(xiàn) 等量異性電荷 ，這個(gè)現(xiàn)象稱為靜電感應(yīng)。當(dāng)靜電感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場與外電場疊加使得 導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)為零 時(shí)，電荷分布不再變化，場強(qiáng)分布不再變化，這種狀態(tài)稱為靜電平衡。 靜電平衡的條件是：導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零。 靜電平衡的導(dǎo)體具有以下特點(diǎn)： i. 導(dǎo)體是 等勢(shì)體 ，導(dǎo)體表面是 等勢(shì)面 。 ii. 凈電荷 只分布在導(dǎo)體 表面 ，表面 曲率大 處表面 電荷密度也大 。 iii. 導(dǎo)體表面附近場強(qiáng)與導(dǎo)體表面垂直，其大小與導(dǎo)體表面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的電荷面密度 的關(guān)系為 )(40 EKE 。 （ 2） 靜電屏蔽 導(dǎo)體的 外殼 對(duì)它的 內(nèi)部 起到 “ 保護(hù) ” 作用，使它的內(nèi)部不受 外部電場 的影響，這種現(xiàn)象稱為靜電屏蔽。 根據(jù)靜電平衡導(dǎo)體的特性我們可以很容易得到靜電屏蔽這一結(jié)論。 （ 3） 電偶極子 兩個(gè)帶 電量相等 ，但 符號(hào)相反 且 相隔很近 的點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)稱為電偶極子，電偶極子用 電偶極矩 矢量來描繪，其大小等于一個(gè)點(diǎn)電荷的電量與相隔距離的乘積，方向由 負(fù)電荷指向正電荷 。 （ 4） 靜電場中的電介質(zhì) 電介質(zhì)就是絕緣體。電介質(zhì)根據(jù)分子結(jié)構(gòu)分為兩類，一類介質(zhì)分子的 正負(fù)電荷中心重合 ，稱為 無極分子 ，另一類介質(zhì)分子的 正負(fù)電荷中心不重合 ，形成電偶極子。無外電場時(shí)無極分子介質(zhì)對(duì)外不顯電性，有極分子電偶極子由于熱運(yùn)動(dòng)排列雜亂無章，對(duì)外也不顯電性。當(dāng)外加靜電場時(shí)，無極分子正負(fù)電荷中心沿電場線方向錯(cuò)開，形成電偶極子；有極分子電偶極子收到電場力力矩，轉(zhuǎn)向電場方向。兩種介質(zhì)都會(huì)順著電場方向形成電偶極子，從而在介質(zhì) 表面 甚至 內(nèi)部 產(chǎn)生 凈電荷 ，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的 極化 。極化產(chǎn)生的電荷稱為極化電荷或束縛電荷。 極化電荷也會(huì)產(chǎn)生電場，且與外電場方向相反，從而 削弱原電場 ，引入電介質(zhì)的 相對(duì) 介電常數(shù) r 這一物理量描繪電介質(zhì)削弱原電場的性質(zhì)。設(shè)真空中場強(qiáng) E0，均勻電介質(zhì)充滿這一空間時(shí)場強(qiáng)rEE 0 ，從而得到 EEr 0 。 5. 電容和電容器 （ 1） 孤立導(dǎo)體電容 孤立導(dǎo)體電容定義為 UqC 。注意，電容是導(dǎo)體的固有屬性，與是否帶電無關(guān)。對(duì)球清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁 形導(dǎo)體， RqKU ，所以球形導(dǎo)體電容為 KRC 。 （ 2） 常見電容器及其電容 當(dāng)一導(dǎo)體被另一導(dǎo)體 完全屏蔽 ，則這兩個(gè)導(dǎo)體組成電容器。電容器電容的定義為UqC ， U 為兩導(dǎo)體間電勢(shì)差。常見的電容器有 平行板電容器 、 球形電容器 和圓 柱形電容器 。它們的電容為： 平行板電容器： KdSC 4 ， S 為平板面積， d 為兩平板間距。 球形電容器：)( 12 21 RRK RRC ， R1 為內(nèi)球半徑， R2 為外球殼內(nèi)半徑。 圓柱形電容器： )ln(2 12RRKLC ， R1 為內(nèi)柱半徑， R2 為外筒內(nèi)半徑。 （ 3） 靜電場的能量 對(duì) n 個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷組，電場的能量 ni iinn UqUqUqW 111 21)(21 ，其中 Ui為 除 qi外 其他點(diǎn)電荷在 i 點(diǎn)處的電勢(shì)之和。 對(duì)電容器，其儲(chǔ)存的能量為 CQW 22 ，單位體積的能量（ 能量密度 ） 2021 Ee 。 二、 穩(wěn)恒電流 1. 歐姆定律 （ 1） 電流強(qiáng)度 電流強(qiáng)度定義為 單位時(shí)間 內(nèi)流過導(dǎo)體 橫截面 的電量，即 tQI 。 （ 2） 電阻定律 導(dǎo)體的電阻跟它的 長度 l 成正比 ，跟它的 橫截面積 S 成反比 ，即 SlR ，式中， 是導(dǎo)體的電阻率，它與導(dǎo)體的溫度 T 有如下關(guān)系： )1(0 T ，其中 0 為導(dǎo)體在 0 時(shí)的電阻率， 為導(dǎo)體的電阻溫度系數(shù)。 某些金屬、合金及化合物，當(dāng)溫度降到某一特定溫度時(shí)，電阻率趨于零，這種現(xiàn)象叫做超導(dǎo)現(xiàn)象。 （ 3） 歐姆定律 電路中任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差等于連接這兩點(diǎn)的支路上各電路元件上 電勢(shì)降 的代數(shù)和。這里需要注意電勢(shì)降的 正負(fù) 號(hào)。在電路的任意一個(gè) 閉合回路 上，電勢(shì)降的代數(shù)和為 零 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁 閉合電路 的歐姆定律 ： rRI ， 為電源電動(dòng)勢(shì)， R 為外電阻， r 為電源內(nèi)阻。注意，歐姆定律只對(duì) 純電阻電路 適用。 2. 電功和電功率 （ 1） 焦耳定律 電流通過導(dǎo)體時(shí)放出的熱量 Q 與電流 I 的平方、導(dǎo)體的電阻 R 及通電的時(shí)間 t 成正比，即 RtIQ 2 。對(duì)于純電阻電路，在 焦耳 定律 可表示為 R tUU ItRtIQ 22 。 （ 2） 電功和電功率 電流通過電路時(shí)，電場力對(duì)電荷作的功叫做電 功 W。單位時(shí)間內(nèi)電場力所作的功叫做電功率 P。 UItUQW ， UIP 。 對(duì)純電阻 電路 ，有 RURIUIP 22 。 3. 復(fù)雜電路計(jì)算 不能通過電阻串并聯(lián)公式求解的電路為復(fù)雜電路，如電橋電路等，求解復(fù)雜電路的基本原理是 基爾霍夫定律 。 對(duì)復(fù)雜電路還可通過基爾霍夫定律推得一些變換規(guī)律從而 化簡 電路。 （ 1） 基爾霍夫定律 第一定律：穩(wěn)恒電流電路中電荷分布不隨時(shí)間改變，對(duì)電路中任一節(jié)點(diǎn)（三條或三條以上支路匯合點(diǎn)）， 流進(jìn)的電流等于流出的電流 。若規(guī)定流進(jìn)電流為負(fù)，流出電流為正，則各支路電流代數(shù)和為零，即 0iI 。 第二定律：穩(wěn)恒電流電路中任一閉合回路， 電勢(shì)增量的代數(shù)和為零 ，即0 iii RI 。式中規(guī)定 i 和 Ii的符號(hào)按如下規(guī)則選取：選定閉合回路的繞行方向后，與 繞行方向一致的 Ii為正，相反為負(fù) ；沿繞行方向 從負(fù)極到正極 i 為負(fù)，從正極到負(fù)極 i 為正。 （ 2） 疊加原理 若電路中有多個(gè)電源，則通過電路中任一支路的電流等于 各個(gè)電源單獨(dú)存 在且 其他電源短路 時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流之和。 利用疊加原理，計(jì)算一個(gè)多電源電路時(shí)，可以分別考慮各電源的單獨(dú)作用，然后再疊加起來，常用來解決電路中含多個(gè)電源導(dǎo)致電阻連接不易判斷的問題。 （ 3） 無源二端網(wǎng)絡(luò)等效電阻 任何電阻網(wǎng)絡(luò)不管是簡單或是復(fù)雜的，只要有 兩個(gè)引出端 ， 內(nèi)部無電源 ，則稱為無源二端網(wǎng)絡(luò)。若網(wǎng)絡(luò)兩端之間電壓為 U，從一端流進(jìn)另一端流出的電流為 I，則 IUR 稱為二端網(wǎng)絡(luò)的電阻。 i. 對(duì)稱性化簡法 一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，若能找到一些完全對(duì)稱的點(diǎn)，在網(wǎng)絡(luò)兩端加上電壓后，其電勢(shì)相等，因而把這些點(diǎn)“短路”或“斷路”均不影響網(wǎng)絡(luò)中的電流分布，從而不影響網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。 ii. 電流分布法 設(shè)電流 I 從二端網(wǎng)絡(luò)的 A 端流入， B 端流出，根據(jù)基爾霍夫第一定律解出網(wǎng)絡(luò)各支路電清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁 流（與電流 I 的比例關(guān)系），任選 A 到 B 的一條支路計(jì)算電勢(shì)差，由 IUR ABAB確定 RAB。 iii. Y- 變換法 將三個(gè)支路連接成具有三個(gè)節(jié)點(diǎn)的回路，稱為三角形（ ）連接；若將三個(gè)電阻的一端連接，則只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱為星形（ Y）連接。為簡化電路結(jié)構(gòu)，兩種連接可相互轉(zhuǎn)換。 用 Y 連接替代 連接：312312312333123122312231231231121RRRRRRRRRRRRRRRRRR 用 連接替代 Y 連接：132133132132232132112RRRRRRRRRRRRRRRRRR （ 4） 無限多 電阻元件構(gòu)成的二端網(wǎng)絡(luò) 對(duì)無限多電阻元件構(gòu)成的二端網(wǎng)絡(luò)求解，一種方法是用 歸納法 并令歸納結(jié)果中 k ；另一種方法是根據(jù)無限網(wǎng)絡(luò)的 對(duì)稱性 求解；還有一種方法是利用“ 11 ”的極限思想 列寫方程求解。 三、 磁場 1. 磁感應(yīng)強(qiáng)度 （ 1） 磁場 磁鐵和磁鐵，電流和磁鐵以及電流和電流間的相互作用是通過場的形式產(chǎn)生的，這種場叫做磁場。磁場是 無源場 ，磁感線無頭無尾，對(duì)任意封閉曲面有多少磁感線穿入必有多少穿出，即 封閉曲面磁通量為零 （磁場高斯定理） 。自然界中沒有單獨(dú)存在的 N 極或 S 極。 （ 2） 磁感應(yīng)強(qiáng)度 將一稱為 電流元 的、長度為 L的載流導(dǎo)線放在磁場中某一點(diǎn)，電流元所受到的力與 L、載流 I 及其 方位 有關(guān)。當(dāng)電流元在某一方位時(shí)所受力最大，這個(gè)最大力為 Fm與 IL 之比為一定值，這一比值即為該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即 LIFB m 。磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 的方向由受力為零且穩(wěn)定平衡時(shí)的電流方向 I 給出。 （ 3） 畢 -薩定律 一個(gè)電流元 IL 在相對(duì)電流元的位置矢量 r 的 P 點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 的大小為2sinrLIK ， 為電流元 IL 的方向與 r 的夾角。 B 的方向由右手螺旋法則確定。若令清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁 40K ， 170 AmT104 為真空磁導(dǎo)率，則畢薩定律可寫為 20 sin4 rLIB 載流回路是由許多個(gè)電流元組成，求出每個(gè)電流元在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度， 求和疊加 后得到整個(gè)回路在 P 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 （ 4） 幾種特殊載流體的磁感應(yīng)強(qiáng)度 i. 圓電流軸線：2/32220)(2 Rx IRB ， x 為軸線上點(diǎn)到圓心距離， R 為圓電流半徑。 ii. 無限長直導(dǎo)線： rIB 20 ， r 為所求點(diǎn)到直導(dǎo)線距離。 iii. 無限長均勻載流圓柱體：RrrIRrrjB,2,200， j 為電流密度， R 為圓柱半徑。 iv. 無限長直螺線管內(nèi)： nIB 0 ， n 為單位長度繞線匝數(shù)。 2. 安培力 （ 1） 安培力 長為 L，電流強(qiáng)度為 I 的載流導(dǎo)線處磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B ，電流元與磁感應(yīng)強(qiáng)度夾角為 ，則電流元受的安培力 sinLIBF ，方向由 左手定則 確定。 任意長度、任意形狀的載流導(dǎo)線可 分解 為若干小段直導(dǎo)線，各段受的安培力的 矢量和 即為整個(gè)導(dǎo)線所受的安培力。 （ 2） 磁偶極子 稱面積很小的載流線圈為 磁偶極子 ，用 磁偶極矩 Pm來描繪它。磁偶極矩的大小為平面線圈的面積與所載電流強(qiáng)度的乘積，即 ISPm ，方向滿足右手螺旋法則。線圈所受力矩為sinBPM m ， 為線圈法線與磁感應(yīng)強(qiáng)度的夾角。 3. 洛倫茲力 （ 1） 洛倫茲力 帶電粒子在磁場中受到的洛倫茲力為 sinqvBF ， 為帶電粒子速度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的夾角。洛倫茲力方向與粒子 速度方向垂直 ，洛倫茲力不做功，不能改變電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。 （ 2） 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng) 若 Bv / ，勻速直線運(yùn)動(dòng)。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁 若 Bv ，勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圓周半徑qBmvR，運(yùn)動(dòng)周期qBmT 2。 若 v 和 B 成夾角 ，把速度 分解 為 平行 與磁感應(yīng)強(qiáng)度的分量 cosv 和 垂直 于磁感應(yīng)強(qiáng)度的分量 sinv ，粒子運(yùn)動(dòng)為兩種運(yùn)動(dòng)的疊加，即 螺旋運(yùn)動(dòng) 。螺旋半徑qBmvR sin，每個(gè)螺旋的周期qBmT 2，螺距qBmvvTh 2c o sc o s 。 （ 3） 磁聚焦 設(shè)從磁場 A 點(diǎn)射出一束很窄的帶電粒子流，其速率 v 相差無幾，與 B 的夾角 都很小，則 vvv cos/ ， vvv sin 。由于速度的垂直分量不相等，粒子將在磁場作用下沿不同半徑做螺旋運(yùn)動(dòng)。由于水平分量近似相等，運(yùn)動(dòng)周期與速度無關(guān)亦相等，故經(jīng)歷時(shí)間 T 后，它們又都在前進(jìn)qBmvh 2后相遇于 A 點(diǎn)，這與光經(jīng)過透鏡后聚焦的現(xiàn)象相似，所以叫磁聚焦。 四、 電磁感應(yīng) 1. 楞次定律 閉合回路中感應(yīng)電流的方向，總是使得它所激發(fā)的磁場 阻止 引起感應(yīng)電流的磁通量的變化，這個(gè)結(jié)論就是楞次定律。 在使用楞次定律判斷感應(yīng)電流方向時(shí)，首先判斷穿過閉合回路 磁感線沿什么方向 ， 磁通量 如何變化（ 增加 /減少 ），然后根據(jù) 楞次定律 確定 感應(yīng)電流激發(fā)的磁場 應(yīng)沿什么方向（與原磁場 反向 /同向 ）。最后根據(jù) 右手定則 從感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場方向確定感應(yīng)電流方向。 2. 法拉第電磁感應(yīng)定律 閉合回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 與穿過回路的 磁通量的變化率 t 成正比，即tK 。式中 K 為比例系數(shù)，取決于 、 和 t 的單位，如果 的單位用 Wb， t 的單位用 s， 的單位用 V，則 K=1。式中負(fù)號(hào)代表感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向。最終有 t 。 3. 動(dòng)生、感生電動(dòng)勢(shì) （ 1） 磁通量變化方式 磁通量 iii SB c os變化有下列 三種情況 ： i. B 不變， 不變，但電路中的一部分切割磁感線運(yùn)動(dòng)使回路面積改變，從而使 改變。 ii. B 不變， S 不變，但回路在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)使得回路所包圍的面與 B 的夾角 改變，清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 12 頁 從而使 改變。 iii. S 不變 ， 不變，但磁感應(yīng)強(qiáng)度改變，從而使得 改變。 （ 2） 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) 前兩種磁通量變化方式是由于回路的一部分或整體在 磁場中運(yùn)動(dòng) 使得通過回路的磁通量改變而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)所對(duì)應(yīng)的 非靜電力是洛倫茲力 ， 切割磁感線運(yùn)動(dòng) 產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) sinBlv ， 是速度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的夾角。動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)方向根據(jù)洛倫茲力方向判斷，也可根據(jù)楞次定律判斷。 （ 3） 感生電動(dòng)勢(shì) 第三種磁通量變化方式是由于磁場變化使得通過回路的磁通量改變而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，稱為感生電動(dòng)勢(shì)。 感生電動(dòng)勢(shì)對(duì)應(yīng)的非靜電力是感生電場對(duì)電荷的作用力。感生電場為無源場，感生電場對(duì)電荷的力是非保守力。 對(duì)無限長螺線管內(nèi)的感生電場，有RrtBrRRrtBrE,2,22感 。 R 為螺線管半徑。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 13 頁 例題選講 例 1 如圖所示， A、 B 為兩塊平行金屬板， A 板帶正電、 B 板帶負(fù)電。兩板之間存在著勻強(qiáng)電場， 兩板間距為 d、電勢(shì)差為 U，在 B 板上開有兩個(gè)間距為 L 的小孔。C、 D 為兩塊同心半圓形金屬板，圓心都在貼近 B 板的 O處， C 帶正電、 D 帶負(fù)電。兩半圓形金屬板間的距離很近，兩板間的電場強(qiáng)度可認(rèn)為大小處處相等，方向都指向 O。且兩板末端的中心線正對(duì)著 B 板上的小孔。半圓形金屬板兩端與 B 板的間隙可忽略不計(jì)。現(xiàn)從正對(duì) B 板小孔緊靠 A 板的 O 處由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為 m、電量為 q 的帶正電微粒（微粒的重力不計(jì)），問： （ 1）微粒穿過 B 板小孔時(shí)的速度多大？ （ 2）為了使微粒能在 CD 板間運(yùn)動(dòng)而不碰板， CD 板間的電場強(qiáng)度大小應(yīng)滿足什么條件？ （ 3）從靜止釋放開始，微粒第一次到達(dá)半圓形金屬板間的最低點(diǎn) P 的時(shí)間？ 解： （ 1）設(shè)微粒穿過 B 板小孔時(shí)的速度為 v，根據(jù)動(dòng)能定理，有 221mvqU 解得mqUv 2 （ 2）微粒進(jìn)入半圓形金屬板后，電場力提供向心力，有 LvmRvmqE 22 2 聯(lián)立 、 ，得 LUE 4 （ 3）微粒從釋放開始經(jīng) t1 射出 B 板的小孔，則 qUmdvdvdt22221 設(shè)微粒在半圓形金屬板間運(yùn)動(dòng)經(jīng)過 t2 第一次到達(dá)最低點(diǎn) P 點(diǎn)， qUmLvLt 2442 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 14 頁 所以從釋放微粒開始，經(jīng)過qUmLdtt 242)( 21 微粒第一次到達(dá) P 點(diǎn)。 簡析： 本題將靜電場與力學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，實(shí)質(zhì)是力學(xué)問題，只要把握運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合動(dòng)能定理即可求解。在計(jì)算力時(shí)需要用到電場力的計(jì)算。 例 2. 如圖所示，框架是用同種金屬絲制成的，單位長度的電阻為 ，一連串內(nèi)接等邊三角形的數(shù)目可認(rèn)為趨向無窮，取 AB 邊長為 a，以下每個(gè)三角形的邊長依次減小一半，則框架上 A、 B 兩點(diǎn)間的電阻為多大？ 解： 從對(duì)稱性考慮原電路可以用如下圖所示的等效電路來代替，同時(shí)我們用電阻為 2xR 的電阻器來代替由無數(shù)層 “ 格子 ” 所構(gòu)成的 “ 內(nèi) ” 三角 。由于電阻與長度成正比，內(nèi)三角每一層均為大三角形邊長的一般，故應(yīng)有xxAB RRR 22， aR 因此 )22()22( xxxxx RR RRRRRR RRRRR 解得 aRRR xAB )17(313 17 簡析： 本題是求解無窮多電阻元件網(wǎng)絡(luò)的問題，根據(jù)無窮網(wǎng)絡(luò)的對(duì)稱性找到等勢(shì)點(diǎn)，再運(yùn)用等效方法將網(wǎng)絡(luò)化簡即可求解。 例 3. 如圖所示的電路中，各電源的內(nèi)阻均為零，其中 B、 C 兩點(diǎn)與其右方由1.0 的電阻和 2.0 的電阻構(gòu)成的無窮組合電路相接 。 求圖中 10F 的電容器與 E點(diǎn)相接的極板上的電荷量 。 解： 設(shè) B、 C 右方無窮組合電路的等效電阻為BCR ，則題圖中通有電流的電路可以簡化為圖 2中的電路 。 B、 C 右方的電路又可簡化為圖 3 的電路，其中 BCR 是虛線右方電路的等效電阻 。 由于 B 、 C 右方的電路與 B、 C 右方的電路結(jié)構(gòu)相同，而且都是無窮組合電路，故有 CBBC RR (1) 由電阻串 并聯(lián)公式可得 CBCBBC RRR 221 (2) 由式 (1)、 (2)得 022 BCBC RR 20F 10F B 20F D 10 1.0 1.0 1.0 1.0 2.0 2.0 2.0 18 30 20V 10V A C E 24V 圖 2 圖 3 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 15 頁 解得 0.2BCR (3) 圖 4 所示回路中的電流為 A10.02183010 241020 AI (4) 電流沿順時(shí)針方向。設(shè)電路中三個(gè)電容器的電容分別為 C1、 C2 和 C3，各電容器極板上的電荷分別為 Q1、 Q2 和 Q3，極性如圖 4 所示 。 由于電荷守恒，在虛線框內(nèi)，三個(gè)極板上電荷的代數(shù)和應(yīng)為零，即 0231 QQQ (5) 因此 A、 E 兩點(diǎn)間的電勢(shì)差 V0.7V)10.03010(3311 CQCQUU EA (6) B、 E 兩點(diǎn)間的電勢(shì)差 V26V)10.02024(3322 CQCQUU EB （ 7） 由 (5)、 (6)、 (7)式并代入 C1、 C2 和 C3 之值后可得 CQ 43 103.1 。 即電容器 C3 與 E點(diǎn)相接的極板帶負(fù)電，電荷量為 C103.1 4 。 簡析： 本題也是無窮網(wǎng)絡(luò)問題，在化簡無窮網(wǎng)路時(shí)使用了極限思想，即無窮多增加或減少有限數(shù)值（如增加或減少 1）仍為無窮多，系統(tǒng)不變。將電路化簡后由基爾霍夫定律及電荷守恒即可求解。 例 4. 一個(gè)長為 L1，寬為 L2，質(zhì)量為 m 的矩形導(dǎo)電線框，由質(zhì)量均勻分布的剛性桿構(gòu)成，靜止放置在不導(dǎo)電的水平桌面上，可繞與線框的一條邊重合的光滑固定軸 ab 轉(zhuǎn)動(dòng)，在此邊中串接一能輸出可變電流的電流源（圖中未畫出）。線框處在勻強(qiáng)磁場中，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 沿水平方向且與轉(zhuǎn)軸垂直，俯視圖如圖所示?，F(xiàn)讓電流從零逐漸增大，當(dāng)電流大于某一最小值 Imin 時(shí)，線框?qū)⒏淖冹o止?fàn)顟B(tài)。 （ 1）求電流值 Imin。 （ 2）當(dāng)線框改變靜止?fàn)顟B(tài)后，設(shè)該電流源具有始終保持恒定電流值 I0 不變（ I0Imin）的功能。已知在線框運(yùn)動(dòng)過程中存在空氣阻力。試分析線框的運(yùn)動(dòng)狀況。 解： 導(dǎo)體線框放在水平桌面上，俯視圖如 右圖 。由圖可見，在線框沒動(dòng)之前，線框的 PQ 邊與 PQ邊平行于磁場 B，因而不受磁場力。 PP邊受的安培力的大小為 IBL1， 方向垂直于桌面向下，但此力對(duì)軸的力矩為零。 QQ邊受的安培力的大小為 IBL1，方向垂直桌面向上。此力對(duì)固定軸的力矩為 圖 4 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 16 頁 210 LIBLM （ 1） 除此力矩外，線框還受到重力矩作用。重力力矩等于重力乘線框重心（ O 點(diǎn)）到軸 ab的距離，即 )2( 20 Lmg （ 2） 當(dāng) M0=0 時(shí)，桌面對(duì)線框的支持力的力矩為零， M00 時(shí)，線框?qū)⒏淖冹o止?fàn)顟B(tài)，開 始繞軸 ab 向上翹起。根據(jù)題意及 （ 1） 、 （ 2） 式，由力矩平衡原理可知 221mi n 21 mgLLBLI （ 3） 解得1min 2BLmgI （ 2）線框處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，若電流 I0 比 Imin 稍大，線框所受的電磁力矩 M將大于重力矩 ，使線框繞 ab軸向上翹起。PQ 邊和 PQ邊所受電磁力不等于零，但二者相互抵消。當(dāng)保持電流值 I0 恒定不變時(shí)，線框?qū)撵o止?fàn)顟B(tài)開始繞固定軸作加速轉(zhuǎn)動(dòng)。在加速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，由于通過線框的磁通量發(fā)生變化，線框內(nèi)將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，它有使線框中的電流變小的趨勢(shì)，題中已設(shè)電流源有保持電流恒定不變的功能，所以當(dāng)線框平面轉(zhuǎn)至與桌面成 角時(shí)，如 右圖 所示，線框受到的合力矩為 c o s)21( 210 LmgBLIM （ 4） 隨著 角逐漸增大，合力矩隨之減小，但 M- 始終大于零，因而線框仍作逆時(shí)針加速轉(zhuǎn) 動(dòng)，角速度不斷增大。當(dāng)線框平面轉(zhuǎn)到豎直面 NN時(shí)，合力矩為零，角速度達(dá)到最大。由于 慣性，線框?qū)⒃竭^ NN面作逆時(shí)針轉(zhuǎn)到。此時(shí)，合力矩與線框轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，角速度將逐漸減小，合力矩的大小隨著 角的增大而增大，如 右圖 所示。如果沒有空氣阻力， 將增至 180。當(dāng) 角等于 180 時(shí)，線框轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為零，合力矩將使線框作順時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)果線框?qū)⒃?角等于0與 180之間往復(fù)擺動(dòng)不止。 實(shí)際上，由于空氣阻力作用，線框平面在 NN平面兩側(cè)擺動(dòng)的幅度將逐漸變小，最終靜止在 NN面處，此時(shí)，電磁力矩與重力矩均為零。如果線框稍偏離平衡位置 NN，電磁力矩與重力矩的合力矩將使線框回到 NN平面處。故線框處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 簡析： 本題通過磁場中安培力與力學(xué)相結(jié)合，由電磁學(xué)理論計(jì)算安培力后，通過受力情況判斷線框運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其核心也是力學(xué)。 例 5. 如圖所示， ACD 是由均勻細(xì)導(dǎo)線制成的邊長為 d 的等邊三角形線框，它以 AD為轉(zhuǎn)軸，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的恒定的勻強(qiáng)磁場中以恒定的角速度田轉(zhuǎn)動(dòng)（俯視為逆時(shí)針旋清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 17 頁 轉(zhuǎn) ）， 磁場方向與 AD 垂直 。 已知三角形每條邊的電阻都等于 R， 取圖示線框平面轉(zhuǎn)至與磁場平行的時(shí)刻為 t=0。 （ 1）求任意時(shí)刻 t 線框中的電流 。 （ 2）規(guī)定 A 點(diǎn)的電勢(shì)為 0，求 t=0 時(shí)，三角形線框的 AC 邊上任一點(diǎn) P（到 A 點(diǎn)的距離用 x 表示）的電勢(shì) UP，并畫出 UP與x 之間關(guān)系的圖線 。 解： （ 1）在線框轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，三角形的 AC、 CD 兩邊因切割磁感應(yīng)而產(chǎn)生磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因長度為 d 的 AC 邊和 CD 邊都不與磁場方向垂直，每條邊切割磁感線的有效長度，即垂直于磁場方向的長度為 ddl 2130sin 。 因 AC 邊上不同部分到轉(zhuǎn)軸的距離不同，它們的速度隨離開轉(zhuǎn)軸的距離的增大而線性增大，故可認(rèn)為 AC 邊上各部分產(chǎn)生的總電動(dòng)勢(shì)，數(shù)值上等同于整條 AC邊均以 AC邊中點(diǎn)處的速度 v 運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，而 dv 4330c o s21 。 設(shè)在 t=0 至?xí)r刻 t，三角形從平行于磁場方向的位置繞軸轉(zhuǎn)過角度為 ，則 t ， 因邊上各點(diǎn)速度的方向不再與磁場方向垂直， v 沿垂直磁場方向的分量 為 cosvv ， 由此得到 t 時(shí)刻 AC 邊中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) vBlAC ， 其方向由 A 指向 C，由 帶入 v 的表達(dá)式 得 tdBAC c o s83 2 同理可得 tdBCD c o s83 2， 其方向由 C 指向 D，三角形線框中的總電動(dòng)勢(shì) 為 tdBCDAC c o s43 2 其方向沿 ACDA 回路方向。因線框中的總電阻為 3R，故 t 時(shí)刻線框中的電流 為 c o s12 33 2dBRRi （ 2）對(duì)于 AP 來說，長度為 x，在 t=0 時(shí)刻， 1cos t ，而以 x 代替 d，即可得 AP 段中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小 為 283 BxAP ， 方向由 A 點(diǎn)指向 P 點(diǎn)，此時(shí)線框的電流 為2123 dBRI 。 根據(jù)含源電路歐姆定律， P 點(diǎn)的電勢(shì) dIxRU APP 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 18 頁 整理后得 )32(83 2 xdxBU P 為了畫出 UP(x)圖線，先求出若干特征點(diǎn)的電勢(shì)值 。上 式右側(cè)是一個(gè)關(guān)于 x 的二次方程，故 UP(x)圖線為一拋物線， 上 式可改寫為 22 )31(8372 3 dxBdBU P 由 上 式可知，此拋物線 （ i） 0x 和 23xd ， 0pU （ ii）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 3dx ，2372pU B d (iii) xd , 2324pU B d 圖線如圖所示。 簡析： 本題主要考察了動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的理解和計(jì)算，把握好動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的原因，由公式即可計(jì)算動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。得到了動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)其他問題均屬于簡單的電路分析問題。 例 6. 在真空中建立一坐標(biāo)系，以水平向右為 x 軸正方向，豎直向下為 y 軸正方向， z 軸垂直紙面向里（如圖所示） 。 在 0yL 的區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場， L=0.80m，磁場的磁感強(qiáng)度的方向沿 z 軸的正方向，其大小 B=0.10T今把一荷質(zhì)比 q/m=50C kg-1 的帶正電質(zhì)點(diǎn)在 x=0， y=-0.20m， z=0處靜止釋放，將帶電質(zhì)點(diǎn)過原點(diǎn)的時(shí)刻定為 t=0 時(shí)刻，求帶電質(zhì)點(diǎn)在磁場中任一時(shí)刻 t 的位置坐標(biāo) 。 并求它剛離開磁場時(shí)的位置和速度 。 取重力加速度 g=10m s-2。 解： 帶電質(zhì)點(diǎn)靜止釋放時(shí)，受重力作用做自由落體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，速度為 11 2 2 .0 m sv g y （ 1） 方向豎直向下 。 帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場后，除受重力作用外，還受到洛倫茲力作用 ，質(zhì)點(diǎn)速度的大小和方向都將變化，洛倫茲力的大小和方向亦隨之變化 。 我們可以設(shè)想，在帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)時(shí)，給質(zhì)點(diǎn)附加上沿 x 軸正方向和負(fù)方向兩個(gè)大小都是 v0 的初速度，由于這兩個(gè)方 向相反的速度的合速度為零，因而不影響帶電質(zhì)點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng) 。 在 t=0 時(shí)刻，帶電質(zhì)點(diǎn)因具有沿 x 軸正方向的初速度 v0 而受洛倫茲力 f1 的作用。 10f qvB （ 2） 其方向與重力的方向相反 。 適當(dāng)選擇 v0 的大小，使 f1 等于重力，即 0qvB mg （ 3） 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 19 頁 解得： 10 2 .0 m s( / )gv q m B (4) 只要帶電質(zhì)點(diǎn)保持（ 4）式?jīng)Q定的 v0 沿 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)， f1 與重力的合力 始終 等于零 。但此時(shí)，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的帶電質(zhì)點(diǎn)還具有豎直向下的速度 v1 和沿 x 軸負(fù)方向的速度 v0，二者的合成速度大小為 2 2 101 2 .8 m svv v （ 5） 方向指向左下方，設(shè)它與 x 軸的負(fù)方向的夾角為，如圖所示，則 10tan 1 2vv 解得 4 （ 6） 因而帶電質(zhì)點(diǎn)從 t=0 時(shí)刻起的運(yùn)動(dòng)可以看做是速率為 v0，沿 x 軸的正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和在 xOy 平面內(nèi)速率為 v 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成 。 圓周半徑 0.56 mmvR qB （ 7） 帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場瞬間所對(duì)應(yīng)的圓周運(yùn)動(dòng)的圓心 O位于垂直于質(zhì)點(diǎn)此時(shí)速度 v 的直線上，由圖可知，其坐標(biāo)為 s in 0 .4 0 mc o s 0 .4 0 mOOxRyR （ 8） 圓周運(yùn)動(dòng)的角速度 15.0 rad svR （ 9） 由圖可知，在帶電質(zhì)點(diǎn)離開磁場區(qū)域前的任何時(shí)刻 t，質(zhì)點(diǎn)位置的坐標(biāo)為 0OO si n( ) c os( )x v t R t xy y R t （ 10） 式中 v0、 R、 、 、 Ox 、 Oy 已分別由（ 4）、（ 7）、（ 9）、（ 6）、（ 8）各式給出。 帶電質(zhì)點(diǎn)到達(dá)磁場區(qū)域下邊界時(shí)， y=L=0.80m，代入（ 10） 式，再代入有關(guān)數(shù)值，解得 0.31st （ 11） 將（ 11）式代入（ 10）式，再代入有關(guān)數(shù)值得 0.63mx （ 12） 所以帶電質(zhì)點(diǎn)離開磁場下邊界時(shí)的位置的坐標(biāo)為 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 20 頁 0.63m0.80m0xyz （ 13） 帶電質(zhì)點(diǎn)在磁場內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可分解成一個(gè)速率為 v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)速率為 v0的沿 x軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，任何時(shí)刻 t，帶電質(zhì)點(diǎn)的速度 V 便是勻速圓周運(yùn)動(dòng)速度 v 與勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度 v0 的合速度 。 若圓周運(yùn)動(dòng)的速度在 x 方向和 y 方向的分量為 vx、 vy，則質(zhì)點(diǎn)合速度在 x 方向和 y 方向的分速度分別為 0xxV v v （ 14） yyVv （ 15） 22xyvvv ， v 由（ 5）式?jīng)Q定，其大小是恒定不變的， v0 由（ 4）式?jīng)Q定，也是恒定不變的，但在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中因 v 的方向不斷變化，它在 x 方向和 y 方向的分量 vx和 vy都隨時(shí)間變化，因此 Vx和 Vy也隨時(shí)間變化，取決于所考察時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)速度的方向，由于圓周運(yùn)動(dòng)的圓心的 y 坐標(biāo)恰為磁場區(qū)域?qū)挾鹊囊话耄蓪?duì)稱性可知，帶電質(zhì)點(diǎn)離開磁場下邊緣時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向應(yīng)指向右下方，與 x 軸正方向夾角 4 ，故代入數(shù)值得 1c o s 2 .0 m sxvv 1s in 2 .0 m syvv 將以上兩式及（ 5）式代入（ 14）、（ 15）式，便得帶電質(zhì)點(diǎn)剛離開磁場區(qū)域時(shí)的速度分量，它們分別為 14.0 m sxV （ 16） 12.0 m syV （ 17） 速度大小為 2 2 14 .5 m sxyV V V （ 18） 設(shè) V 的方向與 x 軸的夾角為 ，如圖所示，則 1tan 2yxVV 解 得 27。 簡析： 本題關(guān)鍵在于添加水平速度 v0 產(chǎn)生抵消重力的洛倫茲力，這樣運(yùn)動(dòng)的分解變得簡單，位移相對(duì)易求。這在磁場問題中是一種較為有效的處理方法。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 21 頁 鞏固習(xí)題 1.如圖所示，電容量分別為 C 和 2C 的兩個(gè)電容器 a 和 b 串聯(lián)接在電動(dòng)勢(shì)為 E 的電池兩端充電，達(dá)到穩(wěn)定后，如果用多用電表的直流電壓檔 V 接到電容器 a 的兩端（如圖），則電壓表的指針穩(wěn)定后的讀數(shù)是（ ） A E/3 B. 2E/3 C.E D. 0 2.由電容皆為 1 F 的電容器組成的網(wǎng)絡(luò)如圖所示。則 a、 b 間的等效電容 Cab= 。 3. 如圖所示， PR 是一塊長 L 的絕緣平板，整個(gè)空間有一平行于 PR 的勻強(qiáng)電場 E，在板的右半部分有一個(gè)垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場 B。一個(gè)質(zhì)量為 m、帶電量為 q 的物體，從板的P 端由靜止開始在電場力和摩擦力的作用下向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場后恰能做勻速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)物體碰到板 R 端擋板后被彈回，若在碰撞瞬間撤去電場，物體返回時(shí)在磁場中仍做勻速運(yùn)動(dòng)，離開磁場后做勻減速運(yùn)動(dòng)停在 C 點(diǎn)， PC=4L ，物體與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 。求： 物體與擋板碰撞前后的速度 V1 和 V2； 磁感強(qiáng)度 B 的大?。?電場強(qiáng)度 E 的大小和方向。 4.圖示為一固定不動(dòng)的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為 R，圓筒的軸線在 O 處 .圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B.筒壁的 H 處開有小孔，整個(gè)裝置處在真空中 .現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為 q 的帶電粒子 P 以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒 .設(shè)：筒壁是光滑的， P 與筒壁碰撞是彈性的， P 與筒壁碰撞時(shí)其電荷量是不變的 .若要使 P 與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問： （ 1） P 的速率應(yīng)為多少？ （ 2） P 從進(jìn)入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時(shí)間為多少？ 5.圖為示波管的示意圖，豎直偏轉(zhuǎn)電極的極板長 l 4.0 cm，兩板間距 離 d 1.0 cm，極板右端與熒光屏的距離 L 18 cm.由陰極發(fā)出的電子經(jīng)電場加速后，以 v 1.6107 m/s 的速度沿中心線進(jìn)入豎直偏轉(zhuǎn)電場 .若電子由陰極逸出時(shí)的初速度、E B R C P 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 22 頁 電子所受重力及電子之間的相互作用力均可忽略不計(jì)，已 知電子的電荷量 e 1.610 -19 C，質(zhì)量 m 0.9110 -30 kg. （ 1）求加速電壓 U0 的大??；（ 2）要使電子束不打在偏轉(zhuǎn)電極的極板上，求加在豎直偏轉(zhuǎn)電極上的電壓應(yīng)滿足的條件； （ 3）在豎直偏轉(zhuǎn)電極上加 u 40sin100t V 的交變電壓，求電子打在熒光屏上亮線的長度。 6.空間有半徑為 R、長度 L 很短的圓柱形的磁場區(qū)域，圓柱的軸線為 z 軸，磁場中任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向沿以 z 軸為對(duì)稱軸的圓的切線，大小與該點(diǎn)離 z 軸的距離 r 成正比， B=Kr， K為常數(shù)，如圖中 “”與 “”所示。電量為 q（ q0）、質(zhì)量為 m 的一束帶電粒子流如圖中一簇平行箭頭所示，以很高的速度 v 圓柱沿軸線方向，穿過該磁場空間，磁場區(qū)域外的磁場強(qiáng)度的大小可視為零。試討論這束帶電粒子流穿過區(qū)域后的運(yùn)動(dòng)情況。 7 在相互垂直的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場中，有一傾角為 的足夠長的光滑絕緣斜面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B，方向水平向外，電場強(qiáng)度為E，方向豎直向上，有一質(zhì)量為 m 帶電荷量為 q 的小滑塊靜止在斜面頂端時(shí)對(duì)斜面的正壓力恰好為零，如圖所示。 (1)如果迅速把電場方向轉(zhuǎn)為豎直向下，求小滑塊能在斜面上連續(xù)滑行的最遠(yuǎn)距離 L 和所用時(shí)間 t ； (2)如果在距 A 端 L 4 遠(yuǎn)處的 C 點(diǎn)放入一個(gè)相同質(zhì)量但不帶電的小物體，當(dāng)滑塊從 A 點(diǎn)由靜止下滑到 C 點(diǎn)時(shí)兩物體相碰并黏在一起求此黏合體在斜面上還能再滑行多長時(shí)間和距離 8 如圖所示，磁場的方向垂直于 xy 平面向里。磁感強(qiáng)度 B 沿 y 方向沒有變化，沿 x 方向均勻增加 ,每經(jīng)過 1cm 增加量為 1.010 4T，即cmTxB /100.1 4 。有一個(gè)長 L=20cm，寬h=10cm 的不變形的矩形金屬線圈，以 v=20cm/s的速度沿 x 方向運(yùn)動(dòng)。問： （ 1）線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E 是多少？ （ 2）如果線圈電阻 R=0.02，線圈消耗的電功率是多少？ （ 3）為保持線圈的勻速運(yùn)動(dòng)，需要多大外力？機(jī)械功率是多少？ O x y v h L L v r 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 23 頁 9.如圖所示，一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為 m 的金屬桿，導(dǎo)軌間距為 L，導(dǎo)軌的一端連接一阻值為 R 的電阻，其他電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面 . 現(xiàn)給金屬桿一個(gè)水平向右的初速度 v0，然后任其運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌足夠長，試求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離是多少？ 10.如圖所示電路中，輸入電壓 ，直流電源電動(dòng)勢(shì) 。 （ 1）求 的波形； （ 2）將 D 反接后， 又當(dāng)如何？ 11.如圖所示，半徑為 R 的圓柱形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面指向紙外，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 隨時(shí)間均勻變化，變化率 /B t K (K 為一正值常量 ),圓柱形區(qū)外空間沒有磁場，沿圖中 AC 弦的方向畫一直線，并向外延長，弦 AC 與半徑 OA 的夾角 /4 直線上有一任意點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)與 A 點(diǎn)的距離為 x ，求從 A 沿直線到該點(diǎn)的電動(dòng)勢(shì)的大小 12如圖所示，間距為 L，電阻不計(jì)的兩根平行金屬導(dǎo)軌 MN、 PQ（足夠長）被固定在同一水平面內(nèi)，質(zhì)量均為 m，電阻均為 R 的兩根相同導(dǎo)體棒 a、 b 垂直于導(dǎo)軌放在導(dǎo)軌上，一根輕繩繞過定滑輪后沿兩金屬導(dǎo)軌的中線與 a 棒連連，其下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為 M 的物體 C，整個(gè)裝置放在方向豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B 的勻強(qiáng)磁場中，開始時(shí)使 a、 b、 C 都處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)釋放 C，經(jīng)過時(shí)間 t， C 的速度為 v1， b 的速度為 v2。不計(jì)一切摩擦，兩棒始終與導(dǎo)軌接觸良好，重力加速度為 g，求： （ 1） t 時(shí)刻 a 棒兩端的電壓 （ 2） t 時(shí)刻 C 的加速度值 （ 3） t 時(shí)刻 a、 b 與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的熱功率 （ 4） t 時(shí)刻 a、 b 與導(dǎo)軌所組成的閉合回路消耗的總電功率 )(s in5260 VtFu i V3ABuABu BADca0R1U C L M P b a N Q B 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 24 頁 13.如圖所示，在光滑的水平面上，有邊長 l=0.8m 的正方形導(dǎo)線框 abcd，其質(zhì)量 m=100g，自感 L=10-3H，電阻可忽略不計(jì)。該導(dǎo)線框的 bc 邊在 t=0 時(shí)，從 X=0 處以初速度 v0=4m/s 進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域。磁場區(qū)域的寬度 s=0.2m， B 的方向與導(dǎo)線框垂直（圖中指向紙內(nèi)）， B 的大小為 0.5T。忽略空氣阻力。試求： 36ts 時(shí)刻導(dǎo)線框 bc 邊的位置； 若初速度為 043v，求 36ts 時(shí)刻導(dǎo)線框 bc 邊的位置。 14.如圖所示，在半徑為 a 的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面）充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B 的均勻磁場，其方向平行于軸線遠(yuǎn)離讀者在圓柱空間中垂直軸線平面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長為 1.6La 的剛性等邊三角形框架 DEF ，其中心 O 位于圓柱的軸線上 DE 邊上 S 點(diǎn)（ 14DS L ）處有一發(fā)射帶電粒子的源，發(fā)射粒子的方向皆在圖中截面內(nèi)且垂直于 DE邊向下發(fā)射粒子的電量皆為 q （ 0），質(zhì)量皆為 m ，但速度 v 有各種不同的數(shù)值若這些粒子與三角形框架的碰撞均為完全彈性碰撞，并要求每一次碰撞時(shí)速度方向垂直于被碰的邊試問： 1帶電粒子速度 v 的大小取哪些數(shù)值時(shí)可使 S 點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到 S 點(diǎn)？ 2. 這些粒子中，回到 S 點(diǎn)所用的最短時(shí)間是多少？ a b c d l o s v0 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 25 頁 參考答案 1. D 2. 54F 3.解：物體碰擋板后在磁場中做勻速運(yùn)動(dòng)，可判斷物體帶的是正電荷，電場方向向右。 物體進(jìn)入磁場前，在水平方向上受到電場力和摩擦力的作用，由靜止勻加速至 V1。 21212)( mVLmgqE 物體進(jìn)入磁場后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，電場力與摩擦力相等 qEBqVmg )( 1 在碰撞的瞬間，電場撤去，此后物體仍做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為 V2，不再受摩擦力，在豎直方向上磁場力與重力平衡。 mgBqV 2 離開磁場后，物體在摩擦力的作用下做勻減速直線運(yùn)動(dòng) 2221041 mVLmg 由 式可得： 222 gLV 代入 式可得：LgmqB /2 解以上各方程可得： gLV 21 由 式得：Lq gLmqVmgB 22 由 式可得： qmgLq gLmgLqmgBVqmgE 3221 4. 解析： （ 1）如圖所示，設(shè)筒內(nèi)磁場的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子 P 帶正電，其速率為v.P 從小孔射入圓筒中因受到磁場的作用力而偏離入射方向，若與筒壁只發(fā)生一次碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的 .但與筒壁碰撞兩次，它就有可能從小孔射出 .在此情形中， P 在筒內(nèi)的路徑由三段等長、等半徑的圓弧 HM、 MN 和 NH 組成 .現(xiàn)考察其中一段圓弧 MN，如圖8-35 所示 .由于 P 沿筒的半徑方向入射， OM 和 ON 均與軌道相切，兩者的夾角 23 (1) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 26 頁 設(shè)圓弧的圓半徑為 r，則有 2vqvB m r (2) 圓弧對(duì)軌道圓心 O所張的圓心角 3 (3) 由幾何關(guān)系得 cot2rR (4) 解 (2)、 (3)、 (4)式得 3qBRv m (5) （ 2） P 由小孔射入到第一次與筒壁碰撞所通過的路徑為 s=r (6) 經(jīng)歷時(shí)間為1 st v (7) P 從射入小孔到射出小孔經(jīng)歷的時(shí)間為 t=3t1 (8) 由以上有關(guān)各式得 mtqB (9) 5.解：（ 1）對(duì)于電子通過加速電場的過程，根據(jù)動(dòng)能定理 有 20 21mveU 解得 U0 728 V. （ 2）設(shè)偏轉(zhuǎn)電場電壓為 U1 時(shí)，電子剛好飛出偏轉(zhuǎn)電場，則此時(shí)電子沿電場方向的位移恰為d/2， 即 2121212 tmdeUatd 電子通過偏轉(zhuǎn)電場的時(shí)間 vlt 解得 V91221 etmdU 所以，為使電子束不打在偏轉(zhuǎn)電極上，加在偏轉(zhuǎn)電極上的電壓 U 應(yīng)小于 91 V. （ 3）由 u 40 sin100t V 可知 =100， Um=40 V 偏轉(zhuǎn)電場變化的周期 s 02.02 T ，而 s105.2 9 vlt .Tt，可見每個(gè)電子通過偏轉(zhuǎn)電場的過程中，電場可視為穩(wěn)定的勻強(qiáng)電場 . 當(dāng)極板間加最大電壓時(shí)，電子有最大偏轉(zhuǎn)量 cm20.0m21 2m tmdeUy. 電子飛出偏轉(zhuǎn)電場時(shí)平行極板方向分速度 vx v 垂直極板方向的分速度 tmdeUtavyy m 電子離開偏轉(zhuǎn)電場到達(dá)熒光屏的時(shí)間vLvLt x 電子離開偏轉(zhuǎn)電場后在豎直方向的位移為 y2 vy t 2.0 cm 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 27 頁 電子打在熒光屏上的總偏移量 Ym=ym+y2=2.2 cm 電子打在熒光屏產(chǎn)生亮線的長度為 2Ym=4.4 cm 用下面的方法也正確： 設(shè)電子在偏轉(zhuǎn)電場有最大電壓時(shí)射出偏轉(zhuǎn)電場的速度與初速度方向的夾角為 ， 則 01.0tan xyvv 電子打在熒光屏上的總偏移量 cm2.2ta n)2(m LlY 電子打在熒光屏產(chǎn)生亮線的長度為 2Ym=4.4 cm. 6.解：設(shè)想沿距 z 軸為 r 的平行線運(yùn)動(dòng)的帶電粒子進(jìn)入磁場區(qū)，帶電粒子受到指向 z 軸的徑向洛倫茲力 f 向軸偏轉(zhuǎn)， f=qvB 。因粒子速度很快，粒子經(jīng)過磁場區(qū)的時(shí)間 t很短， vLt ；粒子經(jīng)磁場區(qū)所受的沖量 Pr 為： q K Lrq B LtfP r 。 粒子逸出磁場區(qū)后將沿直線方向運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)的直線與 z 軸交于 M 點(diǎn)，令 M 點(diǎn)到磁場區(qū)的距離為 d，因粒子沿軸向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量 P 經(jīng)過磁場區(qū)域發(fā)生的改變可以忽略，則有： rdPPr ；綜合以上關(guān)系有：qKLmvrPPd r 。由這個(gè)式子可見，粒子與 z 軸交點(diǎn) M 的位置與粒子距軸的距離無關(guān)，因所有粒子均以速度 v 平行于 z 軸進(jìn)入磁場區(qū)，受到洛倫茲力后，都折向 M 點(diǎn)，但平行 z 軸的速度分量基本不改變，所以粒子束經(jīng)磁場區(qū)后，均會(huì)同時(shí)會(huì)聚于 M 點(diǎn)。 7.解： (1)由題意知 mgqE 場強(qiáng)轉(zhuǎn)為豎直向下時(shí)，由動(dòng)能定理，有 221s in mLqEmg ）（ 即 2 221sin mmgL 當(dāng)滑塊剛離開斜面時(shí)有 c os）（ qEmgBq 即qBmg cos2 由 解，得 L=sincos22 22Bq gm 根據(jù)動(dòng)量定理，有 c o ts in2 qBmmgmt (2)兩不物體先后運(yùn)動(dòng)，設(shè)在 C 點(diǎn)處碰撞前滑塊的速度為 ,則 221s in42 mLmg 碰撞過程有 mum 2 當(dāng)黏合體將要離開斜面時(shí)有 由動(dòng)能定理，碰后兩物體共同下滑的過程中，有 22 221221s in3 mumsmg 聯(lián)立 解，得12s inc o s3 22 22 LBq gms 將 L 結(jié)果代入 式得sin12 cos35 22 22Bq gms . c o s3c o s2 mgqEmgBq ）（清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 28 頁 碰后兩物體在斜面上還能滑行的時(shí)間可由動(dòng)量定理求得 c o t35s in3 22 qBmmg mumt 8解： (1)設(shè)線圈向右移動(dòng)一距離 S，則通過線圈的磁通量變化為： LxBSh ，而所需時(shí)間為 vSt ， 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)力為 5104 xBh v LtE V. (2)根據(jù)歐姆定律可得感應(yīng)電流 8102 REI A， 電功率 P=IE= 8108 W (3)電流方向是沿逆時(shí)針方向的，導(dǎo)線 dc 受到向左的力，導(dǎo)線 ab 受到向右的力。線圈做 勻速運(yùn)動(dòng)，所受合力應(yīng)為零。根據(jù)能量守恒得機(jī)械功率 P 機(jī) =P= 8108 W. 9.解：設(shè)桿在減速中的某一時(shí)刻速度為 v，取一極短時(shí)間 t，發(fā)生了一段極小的位移 x，在 t 時(shí)間內(nèi)，磁通量的變化為 =BL x tR xBLtRRI 金屬桿受到安培力為 tR xLBILBF 22安 由于時(shí)間極短，可以認(rèn)為 F 安 為恒力，選向右為正方向，在 t 時(shí)間內(nèi)， 安培力 F 安 的沖量為： R xLBtFI 22安 對(duì)所有的位移求和，可得安培力的總沖量為 xRLBR xLBI 2222 )( 其中 x 為桿運(yùn)動(dòng)的最大距離， 對(duì)金屬桿用動(dòng)量定理可得 0I mv 由 、 兩式得：220LB RmVx 10.分析 : 電阻 與電源 串聯(lián)，有分壓作用，二極管與電源 串聯(lián)后，跨接在輸出端，與負(fù)載形成并聯(lián)關(guān)系，這樣的連接特點(diǎn)使電路具有削減波幅的功能。 解 （ 1） 時(shí)，電勢(shì) ， D 處于反向截止，0R iuiu au bu50tVUAB/圖 1 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 29 頁 ab 相當(dāng)于斷路， ， 時(shí)，電勢(shì) ， D 處于正向?qū)顟B(tài)， ab 間相當(dāng)于短路，輸出電壓 的頂部（ ）被削去，如圖 1 所示。 （ 2）當(dāng) D 反接時(shí)，如圖 2 所示，當(dāng) 時(shí)， D 截止， ；當(dāng) 時(shí)， D 被導(dǎo)通， ， ui 低于 的部分全部被削去，輸出波形 成為底部在 處的正脈動(dòng)電壓，如圖 3 所示 11.解：由于圓柱形區(qū)域內(nèi)存在變化磁場，在圓柱形區(qū)域內(nèi)外空間中將產(chǎn)生渦旋電場，電場線為圓，圓心在圓柱軸線上，圓面與軸線垂直，如圖中虛點(diǎn)線所示在這樣的電場中，沿任意半徑方向移動(dòng)電荷時(shí)，由于電場力與移動(dòng)方向垂直，渦旋電場力做功為零，因此沿半徑方向任意一段路徑上的電動(dòng)勢(shì)均為零 （ 1）任意點(diǎn)在磁場區(qū)域內(nèi)：令 P 為任意點(diǎn)（如圖 1所示 ） 2xR ，在圖中連直線 OA與 OP 。取閉合回路 APOA ，可得回路電動(dòng)勢(shì) 1 AP PO OAE E E E ，式中 APE ， POE ， OAE分別為從 A 到 P 、從 P 到 O 、從 O 到 A 的電動(dòng)勢(shì)。由前面的分析可知 0POE ， 0OAE ，故 1APEE （ 1） 令 AOP 的面積為 1S ，此面積上磁通量 11BS ，由電磁感應(yīng)定律，回路的電動(dòng)勢(shì)大小為 111BEStt 根據(jù)題給的條件有 11E Sk （ 2） 由圖 1可知 iAB uu iu au buibcacab uuuu , iu iAB uu iu ABu ABu u50tVUAB/ 圖 3 BADca0R1U b圖 2 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 30 頁 1 1 sin2 22xRS xR （ 3） 由（ 1）、（ 2）、（ 3）式可得沿 AP 線段的電動(dòng)勢(shì)大小為 22AP kREx （ 4） （ 2）任意點(diǎn)在磁場區(qū)域外：令 Q 為任意點(diǎn)（見圖 2）， 2xR 。在圖中連 OA 、 OQ 。取閉合回路 AQOA ，設(shè)回路中電動(dòng)勢(shì)為 2E ，根據(jù)類似上面的討論有 2AQEE （ 5） 對(duì)于回路 AQOA ，回路中磁通量等于回路所包圍的磁場區(qū)的面積的磁通量，此面積為2S ，通過它的磁通量 22BS 。根據(jù)電磁感應(yīng)定律可知回路中電動(dòng)勢(shì)的大小 22E Sk （ 6） 在圖中連 OC ，令 COQ ，則 OQC ，于是 2221( s in ) 2 c o s221 ( s in 2 )2S A O C O C DR R RR 的面積 扇形 的面積 當(dāng) /4 時(shí)， 22 1 (1 )2SR， OCQ 中有 2s in s in ( / 4 ) x R R si n ( 2 ) si n( )41( 2 ) ( c os si n )2R x RxR 22( ) sin c o sx R x RR 圖 1 圖 2 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 31 頁 2tan xRx 于是得 22 12(1 a r c ta n )2 xRSR x （ 7） 由（ 5）、（ 6）、（ 7）式可得沿 AQ 線的電動(dòng)勢(shì)的大小為 2 2(1 a r c t a n )2AQ kR x RE x （ 8） 12解：（ 1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律， t 時(shí)刻回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) )( 21 vvBLtE 回路中感應(yīng)電流： R vvBLREI 2 )(2 21 a 棒產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)： 1BLvEa a 棒兩端電壓： IREU a 聯(lián)立 解得： 2 )( 21 vvBLU （ 2）對(duì) a 有， maBILT 對(duì) C 有， MaTMg 聯(lián)立 以上各式解得：)(2 )(2 2122mMR vvLBMgRa （ 3） R vvlBRIP 2 )(2 221222 （ 4）解法一：單位時(shí)間內(nèi)，通過 a 棒克服安培力做功，把 C 物體的一部分重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化