清北學(xué)堂講義 高中物理競(jìng)賽解題方法 十三降維法

- 1 - 高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法  十三、降維法  方法簡(jiǎn)介  降維法是將一個(gè)三維圖變成幾個(gè)二維圖，即應(yīng)選兩個(gè)合適的平面去觀察，當(dāng)遇到一個(gè)空間受力問(wèn)題時(shí)，將物體受到的力分解到兩個(gè)不同平面上再求解。由于三維問(wèn)題不好想像，選取適當(dāng)?shù)慕嵌?，可用降維法求解。降維的優(yōu)點(diǎn)是把不易觀察的空間物理量的關(guān)系在二維圖中表示出來(lái)，使我們很容易找到各物理量之間的關(guān)系，從而正確解決問(wèn)題。   賽題精講  例 1：如圖 13 1 所示，傾角 =30的粗糙斜面上放  一物體，物體重為 G，靜止在斜面上?，F(xiàn)用與斜面底邊平  行的力 F=G/2 推該物體，物體恰好在 斜面內(nèi)做勻速直線運(yùn)  動(dòng)，則物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù) 等于多少？物體勻速  運(yùn)動(dòng)的方向如何？  解析 ：物體在重力、推力、斜面給的支持力和摩擦力  四個(gè)力的作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以受力平衡。但這四  個(gè)力不在同一平面內(nèi)，不容易看出它們之間的關(guān)系。我們  把這些力分解在兩個(gè)平面內(nèi)，就可以將空間問(wèn)題變?yōu)槠矫? 問(wèn)題，使問(wèn)題得到解決。  將重力沿斜面、垂直于斜面分解。我們從上面、側(cè)面  觀察，圖 13 1 甲、圖 13 1 乙所示。  如圖 13 1 甲所示，推力 F 與重力沿斜面的分力 G1 的合力 F為：  GGFF 22212  F的方向沿斜面向下與推力成 角，  則   451tan 1 FG  這就是物體做勻速運(yùn)動(dòng)的方向  物體受到的滑動(dòng)摩擦力與 F平衡，即   2/2GFf  所以摩擦因數(shù)：3630c o s 2/2 G GFfN    清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 2 - 例 2： 如圖 13 2 所示，一個(gè)直徑為 D 的圓柱體，其側(cè)面刻有螺距為 h 的光滑的螺旋形凹槽，槽內(nèi)有一小球，為使小球能自由下落，必須要以多大的加速度來(lái)拉纏在圓柱體側(cè)面的繩子？        解析： 將圓柱體的側(cè)面等距螺旋形凹槽展開成為平面上的斜 槽，如圖 13 2 甲所示，當(dāng)圓柱體轉(zhuǎn)一周，相當(dāng)于沿斜槽下降一個(gè)螺距 h，當(dāng)圓柱轉(zhuǎn) n 周時(shí)，外側(cè)面上一共移動(dòng)的水平距離為 22122 atnD    圓弧槽內(nèi)小球下降的高度為 221gtnh    解、兩式，可得，為使螺旋形槽內(nèi)小球能自由下落，圓柱體側(cè)面繩子拉動(dòng)的加速度應(yīng)為 hDga  例 3： 如圖 13 3 所示，表面光滑的實(shí)心圓球 B 的半徑  R=20cm，質(zhì)量 M=20kg，懸線長(zhǎng) L=30cm。正方形物塊 A 的  厚度 h=10cm， 質(zhì)量 m=2kg，物體 A 與墻之間的動(dòng)摩擦因  數(shù) =0.2，取 g=10m/s2。求：  （ 1）墻對(duì)物塊 A 的摩擦力為多大？  （ 2）如果要物體 A 上施加一個(gè)與墻平行的外力，使物體 A 在未脫離圓球前貼著墻沿水平方向做加速度 a=5m/s2 勻加速直線運(yùn)動(dòng)，那么這個(gè)外力大小方向如何？  解析 ： 這里物體 A、 B 所受的力也不在一個(gè)平面內(nèi)，混起來(lái)考慮比較復(fù)雜，可以在垂直于墻的豎直平面內(nèi)分析 A、 B 間壓力和 A 對(duì)墻的壓力；在與墻面平行的平面內(nèi)分析 A 物體沿墻水平運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力情況。  （ 1）通過(guò)受力分析可知墻對(duì)物塊 A 的靜摩擦力大小等于物塊 A 的重力 。（ 2）由于物體A 貼著墻沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且與摩擦力方向相反。又因?yàn)槲矬w受豎直向下的重力，所以推力 F 方向應(yīng)斜向上。  設(shè)物體 A 對(duì)墻的壓力為 N，則沿垂直于墻的方向，物體 B 受到物體 A 的支持力大小也為 N，有 ta n, MgNNf 而  又因?yàn)?43t a n53s in 所以RL Rh  在與墻面平行的平面內(nèi)，對(duì)物體 A 沿豎直方向  做受力分析，如圖 13 3 甲所示有  mgF sin     清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 3 - 沿水平方向做受力分析，有  mafF cos  由以上各式，解得   )5/5ar cs i n (,520)()( 22 aNmafmgF  因此，對(duì)物體 A 施加的外力 F 的大小為 20 5 N，方向沿墻面斜向上且與物體 A 水平運(yùn)動(dòng)方向的夾角為 ).5/5arcsin(  例 4： 一質(zhì)量 m=20kg 的鋼件，架在兩根完全相同的平  行長(zhǎng)直圓柱上，如圖 13 4 所示，鋼件的重心與兩柱等距，  兩柱的軸線在同一水平面內(nèi)，圓柱的半徑 r=0.025m，鋼件  與圓柱間的動(dòng)摩擦因數(shù) =0.20。兩圓柱各繞自己的軸 線做  轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度 ./40 srad 若沿平行于柱軸的  方向施力推著鋼件做速度為 sm/050.00 的勻速運(yùn)動(dòng)，  求推力是多大？（設(shè)鋼件不發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng)）  解析： 本題關(guān)鍵是搞清滑動(dòng)摩擦力的方向，滑動(dòng)摩擦力  的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反，由于鋼件和圓柱都相對(duì)地面  在運(yùn)動(dòng)，直接不易觀察到相對(duì)地面在運(yùn)動(dòng)，直接不易觀察到  相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向，而且鋼件的受力不在同一平面內(nèi)，所以考  慮“降維”，即選一個(gè)合適的角度觀察。我們從上往上看，畫  出俯視圖，如圖 13 4 甲 所示。  我們選考慮左邊圓柱與鋼件之間的摩擦力，先分析相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向，鋼件有向前的速度0 ，左邊圓住有向右的速度 r ,則鋼件相對(duì)于圓柱的速度是 0 與 r 的矢量差，如圖中 v，即為鋼件相對(duì)于圓柱的速度，所以滑動(dòng)摩擦力 f 的方向與 v，的方向相反，如圖 13 4 甲所示。  以鋼件為研究對(duì)象，在水平面上受到推力 F 和兩個(gè)摩擦力 f 的作用，設(shè) f 與圓柱軸線的夾角 為 ，當(dāng)推鋼件沿圓柱軸線勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)有  22000 )(22c o s2 rv vfvvffF      再?gòu)恼婵翠摷谪Q直平面內(nèi)的受力可以求出 FN，  如圖 13 4 乙所示，鋼件受重力 G 和兩個(gè)向上的支  持力 FN，且 G=2FN，  所以把NN FfGF ,2 代入式，得  推力 NrvvmgrvvFF N 2)(22)(2 220 0220 0    清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 4 - 例 5： 如圖 13 5 所示，將質(zhì)量為 M 的勻質(zhì)鏈條套在一個(gè)表面光滑的圓錐上，圓錐頂角為 ，設(shè)圓錐底面水平，鏈條靜止時(shí)也水平，求鏈條內(nèi)的張力。  解析： 要求張力，應(yīng)在鏈條上取一段 質(zhì)量元 m 進(jìn)行研究。因?yàn)樵搯?wèn)題是三維問(wèn)題，各力不在同一平面內(nèi)，所以用“降維法”作出不同角度的平面圖進(jìn)行研究。  作出俯視圖 13 5 甲，設(shè)質(zhì)量元 m 兩端所受張力為 T，其合力為 F，因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角 很小，所以2sin2 TF，即 F=T 。         再作出正視圖 13 5 乙，質(zhì)量元受重力 m g、支持力 N 和張力的合力 F 而處于平衡狀態(tài)，由幾何知識(shí)可得： 2c o t22c o t MgmgF  所以鏈條內(nèi)的張力 2c ot22 MgFT  例 6： 雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁。演員騎摩托車從底部開始運(yùn)動(dòng)，隨著速度增加，圈子越兜越大，最后在豎直圓筒壁上勻速率行駛，如圖 13 6 所示。如果演員和摩托車的總質(zhì)量為 M，直壁半徑為 R，勻速率行駛的速率為 v，每繞一周上升的距離為 h，求摩托車勻速走壁時(shí)的向心力。          解析： 摩托車的運(yùn)動(dòng)速度 v，可分解為水平速度 v1 和豎直分速度為 v2，則向心力速度為  Rva 21 。處理這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是將螺旋線展開為一個(gè)斜面，其傾角的余弦為  22)2(2c os hR Ra ，如圖 13 6 甲所示。      清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 5 - 所以有 vhR Rvv 221 )2( 2c o s 向心加速度為： 222221 )2( 2( hR RRvRva 向心力   )4( 4 22222hR RMvMaF 例 7： A、 B、 C 為三個(gè)完全相同的表面光滑的小球， B、 C 兩球各被一長(zhǎng)為 L=2.00m 的不可伸和的輕線懸掛于天花板上，兩球剛好接觸，以接觸點(diǎn) O 為原點(diǎn)作一直角坐標(biāo)系 zOxyz,軸豎直向上， Ox 與兩球的連心線重合，如圖 13 7 所示。今讓 A 球射向 B、 C 兩球，并與兩球同時(shí)發(fā)生碰撞。碰撞前， A 球速度方向沿 y 軸正方向，速率為 smvA /00.40 。相碰后，A 球沿 y 軸負(fù)方向反彈，速率 Av =0.40m/s。  （ 1）求 B、 C 兩球被碰后偏離 O 點(diǎn)的最大位移量；  （ 2）討論長(zhǎng)時(shí)間內(nèi) B、 C 兩球的運(yùn)動(dòng)情況。（忽略空氣阻力，取 g=10m/s2）  解析： （ 1） A、 B、 C 三球在碰撞前、后的運(yùn)動(dòng)發(fā)生  在 Oxy 平面內(nèi)，設(shè)剛碰完后， A 的速度大小為 Av ， B、  C 兩球的速度分別為 Bv 與 Cv ，在 x 方向和 y 方向的分速  度的大小分別為 Bxv ， CyCxBy vvv ,和 ，如圖 13 7 甲所示，  由動(dòng)量守恒定律，有 0 BxCx mvmv    ACyByAx mvmvmvmv    由于球面是 光滑的，在碰撞過(guò)程中， A 球?qū)?B 球的作用力方向沿 A、 B 兩球的連心線，A 球?qū)?C 球的作用力方向沿 A、 C 兩球的連心線，由幾何關(guān)系，得  6tan6tanCyCxByBxvvvv    由對(duì)稱關(guān)系可知    CyBx vv      圖 13 7 甲  清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 6 - 解、式可得  smvv CyBx /27.1  smvv CyBx /20.2  由此解得    smvv CyBx /54.2  設(shè) C 球在 x>0, y>0, z>0 的空間中的最大位移為 ,OQ Q 點(diǎn)的 z 坐標(biāo)為 zQ，則由機(jī)械能守恒定律可寫出   QC mgzmv 221    所以   gvz CQ 22    代入數(shù)值解得   zQ=0.32m 而 Q 點(diǎn)到 Oz 軸的距離為   )2()( 22 QQQ zLzzLLQD  所以 C 球離 O 點(diǎn)的最大位移量   QQ LzODzOQ 222    代入數(shù)值，得   mOQ 13.1    由對(duì)稱性，可得 B 球在 0,0,0 zyx 的空間的最大位移量 OP 為  mOQOP 13.1    （ 2）當(dāng) B、 C 兩球各達(dá)到最大位移后，便做回到原點(diǎn)的擺動(dòng)，并發(fā)生兩球間的碰撞，兩球第一次返回 O 點(diǎn)碰撞前速度的大小和方向分別為  smvBx /27.1   方向沿正 x 軸方向  Byv =2.20m/s     方向沿 y 軸方向  smvCx /27.1   方向沿正 x 軸方向  Cyv =2.20m/s     方向沿 y 軸方向  設(shè)碰撞后的速度分別為11 CB vv 和，對(duì)應(yīng)的分速度的大小分別為 xBv1 、 yBv1 、 xCv1 和 yCv1 ，由于兩球在碰撞過(guò)程中的相互作用力只可能沿 x 軸方向，故碰撞后，沿 y 軸方向的速度大小和方向均保持不變（因?yàn)樾∏蚨际枪饣模?，? yBv1 = Byv    方向沿負(fù) y 軸方向    清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 7 - yCv1 = Cyv    方向沿負(fù) y 軸方向      碰撞過(guò)程中，沿 x 軸方向的動(dòng)量守恒，則   CxBxxBxC mvmvmvmv 11  因?yàn)?CxBx vv      所以 xBxC vv 11  即碰撞后兩球在 x 方向的分速度大小也相等，方向相反，具體數(shù)值取決于碰撞過(guò)程中是否機(jī)械能損失。在 A 球與 B、 C 兩球同時(shí)碰撞 的過(guò)程中，碰撞前，三者的機(jī)械能  mmvE AD 821 21     碰撞后三者的機(jī)械能  122222 59.6212121 EEmmvmvmvE CBA 表明在碰撞過(guò)程中有機(jī)械能損失，小球的材料不是完全彈性體，故 B、 C 兩球在碰撞過(guò)程中也有機(jī)械能損失，即  )(21)(21)(21 222222 1111 YXXXYX BBCCBB vvmvvmvvm   11  由、和 11 三式，和   CxBxCB vvvvxX 11     12  或 CBCB vvvv 11 當(dāng) B、 C 兩球第二次返回 O 點(diǎn)時(shí)，兩球發(fā)生第二次碰撞，設(shè)碰撞后兩球的速度分別為22 CB vv 和，對(duì)應(yīng)的分速度的大小分別為 yCxCBB vvvvyX 22, 22 和，  則有yyyy CBCB vvvv 1122    yxxx CBCB vvvv 1122 或    12 BB vv     12 CC vv  由此可見， B、 C 兩球每經(jīng)過(guò)一次碰撞，沿 x 方向的分速度都要變小，即  xxxxxxX CBCBCBCxB vvvvvvvv 332211    而 y 方向的分速度的大小保持不變，即    ytyyyyy CBCBCBCyB vvvvvvvv 332211    當(dāng)兩球反復(fù)碰撞足夠多次數(shù)后，沿 x 方向的分速度為零，只有 y 方向的分速度。設(shè)足夠多的次數(shù)為 n，則有      0nxnx CB vv   13  smvvv ynyny BCB /20.2     14  即最后， B、 C 兩球一起的 Oyz 平面內(nèi)擺動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn) O 的速度由 14 式給出，設(shè)最高清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 8 - 點(diǎn)的 z 軸坐標(biāo)為 Qnz ，則   QnCny mgzmv 221   得gvz CnyQn 22  代入數(shù)值，得    mzQn 24.0     15  最高點(diǎn)的 y 坐標(biāo)由下式給出： QnQnQnQn zzLzLLy )2()( 22  代入數(shù)值，得： myQn 95.0     16  例 8： 一半徑 R=1.00m 的水平光滑 圓桌面，圓心為 O，  有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是  一條凸的平滑的封閉曲線 C，如圖 13 8 所示。一根不可伸  長(zhǎng)的柔軟的細(xì)輕繩，一端固定在封閉曲線上某一點(diǎn)，另一端  系一質(zhì)量為 m=7.5 10 2kg 的小物塊。將小物塊放在桌面上  并把繩拉直，再給小物塊一個(gè)方向與繩垂直、大小為 smv /0.40 的初速度，物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)繩的張力為 T0=2.0N 時(shí)，繩即斷開，在繩斷開前物塊始終在桌面上運(yùn)動(dòng)。  （ 1）問(wèn)繩剛要斷開時(shí)，繩的伸直部分的長(zhǎng)度為 多少？  （ 2）若繩剛要斷開時(shí)，桌面圓心 O 到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點(diǎn)的連線正好與繩的伸直部分垂直，問(wèn)物塊的落地點(diǎn)到桌面圓心 O 的水平距離為多少？已知桌面高度H=0.80m，物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)未與立柱相碰。取重力加速度大小為 10m/s2。  解析： （ 1）這一問(wèn)題比較簡(jiǎn)單。繩斷開前，繩的張力即為物塊所受的向心力，因?yàn)槌跛俣扰c繩垂直，所以繩的張力只改變物塊的速度方向，而速度大小不變，繩剛要斷開時(shí)，繩的伸直部分的長(zhǎng)度可求出。  設(shè)繩的伸直部分長(zhǎng)為 x，則由牛頓第二定律得： xvmT 200 代入已知數(shù)值得： x=0.60m （ 2）選取桌面為分析平面，將物塊的落地點(diǎn)投影到此分析平面上，然后由平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解。  如圖 13 8 甲所示，設(shè)繩剛要斷開時(shí)物塊位于  桌面上的 P 點(diǎn)，并用 A 點(diǎn)表示物塊離開桌面時(shí)的位置，  先取桌面為分析平面，將物塊的落地點(diǎn)投影到此分析  平面上，其位置用 D 點(diǎn)表示，易知 D 點(diǎn)應(yīng)在直線 PA 的延長(zhǎng)線上， OD 即等于物塊落地點(diǎn)與桌面圓心 O 的  水平距離，而 AD 等于物塊離開桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)的  水平射程。   圖 13 8  清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 9 - 即   gHvAD 20  故 20222 )2( gHvxRxOD 代入已知數(shù)值得物塊落地點(diǎn)到桌面圓心 O 的水平距離  mOD 47.2  例 9： 如圖 13 9 所示是一種記錄地震裝置的水平擺，擺球 m 固定在邊長(zhǎng)為 L，質(zhì)量可忽略不計(jì)的等邊三角形的頂點(diǎn) A 上。它的對(duì)邊 BC 跟豎直線成不大的夾角 ，擺球可以繞固定軸 BC 擺動(dòng)。求擺做微小振動(dòng)的周期。  解析： 若 m 做微小振動(dòng)，則其軌跡一定在過(guò) A 點(diǎn)，垂直于 BC 的平面內(nèi)的以 O 為圓心，OA 為半徑的圓弧上。因此我們可以作一個(gè)過(guò) A 點(diǎn)垂直于 BC 的平面 M，如圖 13 9 甲所示，將重力 mg 沿 M 平面和垂直于 M 平面方向分解，則在平面 M 內(nèi)， m 的振動(dòng)等效于一個(gè)只在重力 sinmggm 作用下簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng) .2360si n LLL  所以周期     si n2 322 g LgLT        例 10： 六個(gè)相同的電阻（阻值均為 R）連成一個(gè)電  阻環(huán)，六個(gè)結(jié)點(diǎn)依次為 1、 2、 3、 4、 5 和 6，如圖 13 10 所示?，F(xiàn)有五個(gè)完全相同的這樣的電阻環(huán)，分 別稱為 D1、  D2、 D5?，F(xiàn)將 D1 的 1、 3、 5 三點(diǎn)分別與 D2 的 2、 4、  6 三點(diǎn)用導(dǎo)線連接，如圖 13 10 甲所示。然后將 D2 的  1、 3、 5 三點(diǎn)分別與 D3 的 2、 4、 6 三點(diǎn)用導(dǎo)線連接  依次類推，最后將 D5 的 1、 3、 5 三點(diǎn)分別連接到 D4 的 2、 4、 6 三點(diǎn)上。  證明：全部接好后，在 D1 上的 1、 3、兩點(diǎn)間的等效是電阻為 R627724 。  解析： 由于連接電阻 R 的導(dǎo)線，連接環(huán) D 之間的導(dǎo)線均不計(jì)電阻，因此，可改變環(huán)的半徑，使五個(gè)環(huán)的大小滿足： D1<D2< <D5. 將圖 13 10 甲所示 的圓柱形網(wǎng)絡(luò)變成圓臺(tái)形網(wǎng)絡(luò)，在沿與底面垂直的方向?qū)⒋藞A臺(tái)形網(wǎng)絡(luò)壓縮成一個(gè)平面，如圖 13 10 乙所示的平面電路圖。         清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 10 -      現(xiàn)將圓形電阻環(huán)變成三角形， 1、 3、 5 三點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)， 2、 4、 6 三點(diǎn)為三角形三邊的中點(diǎn)，圖 13 10 乙又變?yōu)槿鐖D 13 10 丙所示電路圖。不難發(fā)現(xiàn)，圖 13 10 丙所示的電路相對(duì)虛直線 3、 6 具有左右對(duì)稱性。  可以用多種解法求。如將電路等效為圖 13 10 丁。  A1B1 以內(nèi)的電阻  RR BA 5411  A2B2 以內(nèi)的電阻  RRRRRRRRBABABA1914)2()2(111122 A3B3 以內(nèi)的電阻 RRRR RRRR BA BABA 7152)2( )2( 22 2233 A4B4 以內(nèi)的電阻 RRRR RRRR BA BABA 2 6 51 9 4)2( )2( 33 3344 A5B5 以內(nèi)的電阻 RRRR RRRR BA BABA 6 2 77 2 4)2( )2( 44 4455 即為 D1 環(huán)上 1、 3 兩點(diǎn)間的等效電阻。  例 11： 如圖 13 11 所示，用 12 根阻值均為 r 的相同的電阻絲構(gòu)成正立方體框架。試求AG 兩點(diǎn)間的等效電阻。  解析： 該電路是立體電路，我們可以將該立體電路“壓扁”，使其變成平面電路，如圖13 11 甲所示。         考慮到 D、 E、 B 三點(diǎn)等勢(shì)， C、 F、 H 三點(diǎn)等勢(shì)，則電路圖可等效為如圖 13 11 乙所   清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 11 - 示的電路圖，所以 AG 間總電阻為   rrrrR 65363  例 12： 如圖 13 12 所示，傾角為 的斜面上放一木  制圓制，其質(zhì)量 m=0.2kg，半徑為 r，長(zhǎng)度 L=0.1m，圓柱  上順著軸線 OO繞有 N=10 匝的線圈，線圈平面與斜面  平行，斜面處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度  B=0.5T，當(dāng)通入多大電流時(shí)，圓柱才不致往下滾動(dòng)？  解析： 要準(zhǔn)確地表達(dá)各物理量之間的關(guān)系，  最好畫出正視圖，問(wèn)題就比較容易求解了。 如  圖 13 12 甲所 示，磁場(chǎng)力 Fm 對(duì)線圈的力矩  為 MB=NBIL 2r sin ，重力對(duì) D 點(diǎn)的力矩為：  MG=mgsin ，平衡時(shí)有： MB=MG 則可解得： ANBLmgI 96.12  例 13： 空間由電阻絲組成的無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)如圖 13 13 所示，每段電阻絲的電阻均為 r，試求 A、 B 間的等效  電阻 RAB。  解析 ：設(shè)想電流 A 點(diǎn)流入，從 B 點(diǎn)流出，由對(duì)稱  性可知，網(wǎng)絡(luò)中背面那一根無(wú)限長(zhǎng)電阻絲中各點(diǎn)等電  勢(shì)，故可撤去這根電阻絲，而把空間網(wǎng)絡(luò)等效為圖 13 13 甲所示的電路。  （ 1）其中豎直線電阻 r分別為兩個(gè) r 串聯(lián)和一個(gè) r 并聯(lián)后的電阻值，  所以  rrrrr 3232  橫線每根電阻仍為 r，此時(shí)將立體網(wǎng)絡(luò)變成平面網(wǎng)絡(luò)。  （ 2）由于此網(wǎng)絡(luò)具有左右對(duì)稱性，所以以 AB 為軸對(duì)折，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D 13 13乙所示的網(wǎng)絡(luò)。         其中橫線每根電阻為 21 rr       豎線每根電阻為 32 rrr  AB 對(duì)應(yīng)那根的電阻為 rr 32     此時(shí)由左右無(wú)限大變?yōu)橛疫厽o(wú)限大。  （ 3）設(shè)第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)為 CD，此后均有相同的網(wǎng)絡(luò)，去掉 AB 時(shí)電路為圖 13 13 丙所示。再設(shè) RCD=Rn 1（不包含 CD 所對(duì)應(yīng)的豎線電阻）     清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 12 - 則 NBA RR ，網(wǎng)絡(luò)如圖 13 13 丁所示。  此時(shí)   1111111 333222 nnnnnnn RrrRrRrRrrRrRrrR  當(dāng) n 時(shí)， Rn=Rn 1    上式變?yōu)閚nnnn Rr rRrRr rRrR 343 2        由此解得： rrRn 6 213   即 rrRBA 6 213 補(bǔ) 上 AB 豎線對(duì)應(yīng)的電阻 r32 ，網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D 13 13 戊所示的電路。  rrrrrrRrRrRBABAAB 21212)321(21)213(221321)213(26213326213323232 2 例 14： 設(shè)在地面上方的真空室內(nèi)，存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和  勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向是相同的，  電場(chǎng)強(qiáng)度的大小 E=4.0V/m，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 B=0.15T，  今有一個(gè)帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)以 v=20m/s 的速度在此區(qū)域內(nèi)沿  垂直場(chǎng)強(qiáng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此帶電質(zhì)點(diǎn)的電量與  質(zhì)量之比 q/m 以及磁場(chǎng)的所有可能方向（角度可用反三  角函數(shù)表）。  解析： 因?yàn)閹ж?fù) 電的質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明此質(zhì)點(diǎn)所受的合外力為零。又因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向相同，所以該帶電質(zhì)點(diǎn)所受的電場(chǎng)力和洛侖茲力的方向垂直共面，且必受重力作用，否則所受合外力不可能為零，設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度方向垂直紙面向里。由此該帶電質(zhì)點(diǎn)的受力圖如圖 13 14 所示。由平衡條件有  有水平方向： sinc os BqvEq    在豎直方向： mgB q vEq c o ssi n        清北學(xué)堂-高中學(xué)業(yè)規(guī)劃專家 清北學(xué)堂 - 13 - 解得： 34tan &