（運籌學與控制論專業(yè)論文）bailey變換與一些新的q級數(shù)恒等式.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e r2 0 1 0 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 r e g i s t e rn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 5 7 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t h eb a i l e yt r a n s f o r ma n ds o m en e w 口一s e r i e s - i d e n t i t l e s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c h e sa n dc y b e r n e t i c s t 、 1 u i r e c t i o n ：u o mb l n a t o r i c s a d v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rg u oj u n w e i n a m e ：c h e nj i n g a p r i l2 0 1 0 s h a n g h a i - r 一 華東師范大學學位論文獨創(chuàng)性聲明 鄭重聲明：本人呈交的學位論文 b a i l e y 變換與一些新的q - 級數(shù)恒等式， 是在華東師范大學攻讀碩士學位期間，在導師的指導下進行的研究工作及取得的 研究成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰 寫過的研究成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明 確說明并表示謝意。 作者簽名：籃盞 日期：州礦年月穆日 學位論文授權(quán)使用聲明 b a i l e y 變換與一些新的q - 級數(shù)恒等式系本人在華東師范大學攻讀學位期 間在導師指導下完成的碩士學位論文，本論文的研究成果歸華東師范大學所有。 本人同意華東師范大學根據(jù)相關(guān)規(guī)定保留和使用此學位論文，并向主管部門和相 關(guān)機構(gòu)如國家圖書館、中信所和“知網(wǎng) 送交學位論文的印刷版和電子版；允許 學位論文進入華東師范大學圖書館及數(shù)據(jù)庫被查閱、借閱；同意學校將學位論文 加入全國博士、碩士學位論文共建單位數(shù)據(jù)庫進行檢索，將學位論文的標題和摘 要匯編出版，采用影印、縮印或者其它方式合理復制學位論文。本學位論文屬于 不保密，適用上述授權(quán)。 導師簽名：本人簽名：醴塹 一 本人簽名：咝縋 一 日期珈歸年朋哆日 _ r 一 陳靜碩士學位論文答辯委員會成員名單 姓名職稱單位備注 張曉東教授上海交通大學數(shù)學系主席 洪淵教授華東師范大學數(shù)學系 杜若霞副教授華東師范大學數(shù)學系 摘要 w n b a i l e y 1 1 】給出了如下b a i l e y 變換：如果 風= q ，一r 押并且= 露脅一n 吩卻， r = 0r = n 這里q n ，風，和厶需要滿足一定的條件，使得相關(guān)的無窮級數(shù)都絕對收斂。 利用b a i l e y 變換，我們證明了下面的5 個恒等式： 薹躲= 爭，n q ( 3 + 1 ) 2 c 1 - q 2 n + l ， 薹贏2 r t = o ( _ 1 ) n ( 1 + 9 4 n + l + q s n + 3 + q 1 2 n + 6 ) ， 薹器= f o o 3 州m c l - - q 2 n + l ， 薹怒= 驢州m c l - q 2 n + l ， 圣o o 麗q n 2 乩 據(jù)我們所知，前面兩個等式是新的。另外，我們利用鏟二項式定理和生成函數(shù)的 方法，證明了下面的新的等式： o o ( _ 1 1 ) q = n ( n + 1 ) z 2 u ( 一q ；q 2 ) ：0 0 ( 一1 ) n g m + 1 ) 2 z n - n = o ( 一z q ；q ) 2 n + l 厶n = 0 、7 1 它是l 毛a m a n u j a n 2 0 ，第1 3 頁】“丟失的筆記本刀中一個等式的推r - ( z = 1 ) 。 數(shù)。 關(guān)鍵詞：釅級數(shù)；恒等式；b a i l e y 變換；b a i l e y 對；q - - 項式定理；生成函 i i 如風 腳 = 腳 么 那 f a b s t r a c t i n 【1 l 】，w n b a i l e yf i r s tp r e s e n t e db a i l e y st r a n s f o r m 【2 7 - i f t h e n ， no o 阮= a 柏一，扣a n d = 露n 蜘棚 r = 0r = ：n q n = 風如，q n 2 乙玩 n = 0 s u b j e c tt oc o n d i t i o n so nt h ef o u rs e q u e n c e so l n ，風，a n d 矗，w h i c hm a k ea l l t h ei n f i n i t es e r i e sa b s o l u t e l yc o n v e r g e n t b yu s i n gb a i l e y t r a n s f o r m ，w ec a np r o v e t h ef o l l o w i n gf i v ei d e n t i t i e s ： o 礦( g ；q 2 ) 竹 r ! ：墮2 憊( - q ；q ) 2 n r o o q n r 急( 一g ；q 2 ) n 0 ( 二1 2 ：笙 魯( - q 2 ；q 2 ) n 。j ! 三，t ( 2 n 2 + n ) r 竺：! 魯( - q ；q ) 2 n + 1 o 。 = ( 一1 ) n q n 鼽+ 1 ) 2 ( 1 一q 2 n + 1 ) ， n = 0 = z ( - 1 ) n q 6 n 2 ( 1 + q 4 n + 1 + 9 8 n + 3 + q 1 2 n + 6 ) ， n = o = q 似槲d 膽( 1 一q 2 n + 1 ) ， n = o ： 里： ：1 ( - q ；q 2 ) n + 1 “ 礦( 鼽+ 1 ) 2 ( 1 一q 2 n + i ) ， a sw ek n o w n ，t h ef i r s tt w oi d e n t i t i e sa r en e w f u r t h e r m o r e ，c o m b i n e dq - b i n o m i a l t h e o r e mw i t hg e n e r a t i n gf u n c t i o n ，w eg a v et h ef o l l o w i n gn e w i d e n t i t y ： = ( 一1 ) q 州m 擴 n = o t h ea b o v ei d e n t i t yi sag e n e r a l i z a t i o ni na a l l l a n u j a n s “l(fā) o s tn o t e b o o k 【2 0 ，p 1 3 1 ( z = 1 ) k e y w o r d s ：q - s e r i e s ；i d e n t i t i e s ；b a i l e y st r a n s f o r m ；b a i l e yp a i r s ；q - b i n o m i a l t h e - o r e m ；g e n e r a t i n gf u n c t i o n s i i i 腳 腳 腳 h 一 艫一 絲h ”一口”面! 卜 型 腳 目錄 第一章引言1 第二章對稱的雙邊b a i l e y 變換5 第三章共軛b a i l e y 對7 第四章等式( 1 8 ) - ( 1 1 3 ) 的證明8 第五章關(guān)于a n d r e w s - w a r n a a r 等式的一個注釋1 7 參考文獻1 9 作者申請碩士學位期間完成的工作2 2 致謝2 3 r b a i l e y 變換與一些新的g 級數(shù)恒等式 第一章引言 b a i l e y 在1 9 4 7 年給出了著名的b a i l e y 變換公式 1 1 1 ，如果 no o 風= 口，一，+ r 并且= 西脅一n 蜘扣， r = or = ：n 那么， 這里a n ，風，和如需要滿足一定的條件，使得相關(guān)的無窮級數(shù)都絕對收斂。 這里先介紹本文所用到的g - 級數(shù)中一些符號記法( 參見【1 3 】) ： ( o ；q ) o = 1 ， ( n ；g ) n = 1 - ( 1 一a q 詹) ， ( 。；g ) 。= i i ( 1 一a q 七) ，i q l 1 ( a l ，a 2 ，a m ；q ) n = ( a l ；g ) n ( 0 2 ；g ) n ( 口m ；口) n ( 兒= 1 ，2 ，) ， ( a l ，a 2 ，a m ；g ) 。= ( a l ；g ) ( 0 2 ；口) 。( a m ；g ) ，i q l 1 州拆( 。囂舭) _ 砉嚳漲 b a i l e y 【1 1 】利用這個變換公式以及b a i l e y 引理，得到了許多基本超幾何級數(shù) 的變換公式，同時也利用這些公式得到了一系列的r o g e r s - r a m a n u j a n 類型的恒 等式。 b a i l e y 同時也在文獻f 1 1 】中指出，利用b a i l e y 變換證明等式的過程比較簡 單，只需交換雙重級數(shù)的和號。值得一提的是，b a i l e y 自己并沒有用過b a i l e y 變 換的一般形式，他僅僅運用了其特殊形式，即 q n = 麗1 ：，風= 面1 而， 以及 氏= 嘩熘祭i p l p 2 9 一“n 一1 ；口) n 1 加 風 腳 = n q 腳 b a i l e y 變換與一些新的口一級數(shù)恒等式 此時，根據(jù)b a i l e y 變換， ，( a q l p l ；q ) ( a q p 2 ；q ) ( 一1 ) 竹( p 1 ；口) n ( 仡；g ) n 國一；g ) n ( o q p 1 p 2 ) n q n n - ( ；) 2 弋面瓦瓦磊畫而而而而麗刁鬲瓦面而啊f 一。 后面將要看到，找出恰當?shù)? a n ，風) 對恒等式的證明是很重要的。 定義1 1 ( b a i l e y 對) 我們將滿足下面條件的序列對( a n ( 口，口) ，風a ，g ) ) 稱 為b a i l e y 對，即對于n 0 ，有 風2 贏冀赫 在【1 1 ，1 4 】中，b a i l e y 給出了下面的“b a i l e y 引理( 也可參見【2 ，第三章】) 的基本結(jié)論，它其實是b a i l e y 變換的一個結(jié)果。 定理1 2 ( b a i l e y 引理) 如果( a na ，口) ，風a ，口) ) 是一組b a i l e y 對，那么我們有 贏要型糍竽墮( 最) 撕，( 署；q ) n ( 薏；g ) n 急 ( 口- 口) 州、舢2 m r 心 =蠕qj帽(p；lgjr；ql)gqr(p2肛；q)邶r口gmr(觸aq丫06aq ( 。，口) 臺l p l ，q m 囂；g j r l g ；q j m l o 口；g j 卅r p 1 砌 p 州 b a i l e y 發(fā)現(xiàn)了b a i l e y 變換和b a i l e y 引理以后，他一共考慮過5 種類型 的b a i l e y 對，并且跟d y s o n 一起推導出了一些恒等式【1 1 ，1 4 。不久，s l a t e r 通 過自己的計算，又發(fā)現(xiàn)了9 4 種類型的b a i l e y 對，并由此推導出了1 3 0 個恒等 式( 參見【2 4 ，【3 0 】) 。2 0 多年之后，有很多數(shù)學家開始研究關(guān)于r o g e r s - r a m a n u j a n 型的恒等式，這其中有a l d e r ，a n d r e w s ，b r e s s o u d ，c a r l i t z ，和g o r d o n 。尤其 是a n d r e w s 【7 ，8 】將w n b a i l e y 所定義的b a i l e y 變換和b a i l e y 引理推廣 到多個參數(shù)的更一般的形式【3 】3 ，從而也得到了一些新的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式。此外，他還證明了由s l a t e r 【2 6 ，2 8 1 給出的1 3 0 個等式可以寫 成多重級數(shù)的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式。隨著計算機在數(shù)學方面的應 用，p a t t i e ，r i e s e ，w i l f ，z e i l b e r g e r 和一些其他的人關(guān)于r o g e r s - r a m a n u j a n 型 b a i l e y 變換與一些新的g 級數(shù)恒等式 恒等式，做出了很大貢獻。同時，其中的一些人也進一步提高并延拓了b a i l e y 引理和b a i l e y 變換，例如，a n d r e w s 【3 給我們展示了b a i l e y 引理是如何自我 復制的，并由此推導出了一系列“b a i l e y 鏈”。并且a n d r e w se ta l 【1 0 】發(fā)現(xiàn) 了a 2 型b a i l e y 引理，a n d r e w s 和b e r k o v i c h 【4 ，5 1 又將b a i l e y 鏈推廣到了b a i l e y 樹，此外，b e r k o v i c h 和w a r n a a r 【1 5 】給出了b a i l e y 鏈的進一步深入和延伸。而 本文也是b a i l e y 變換的一個應用。 在r a m a n u j a n 的“丟失的筆記本【2 0 ，p 1 3 】( 也可參見【6 ，9 3 節(jié)，2 2 7 - 2 3 2 頁】) 里面，給出了下面的5 個假t h e t a 函數(shù)： fi(-1)nqn(+1)(q；q2)n：oo(一1)n口n(州)2，q) n ：o 2 n + 1 名、 。 壹-m怨黑：壹(-1)v”，q) 名( _ g 2 州臺一 a 0 n = o o ( g ；q 2 ) 。q n r ! 竺12 厶( - q ；q ) 2 n + 1 n = o 、 ”十1 0 ( q ；- q ) 2 n q ” 乞( 一g ；q ) 2 n + 1 亟二1 2 竺生亟里：2 竺竺： ( - q ；g ) 2 n + 1 = ( 一1 ) 心q 咖“脾， n = o = z ( - 1 ) ”口2 n 肼， n = o = ( 一1 ) 心q 咖+ 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 這里l q l 1 通過運用b a i l e y 變換，a n d r e w s 和w a r n a a r 【9 】給出了等式( 1 1 ) - ( 1 4 ) 的證 明。他們同樣也得到了很多既是假t h e t a 函數(shù)又是部分t h e t a 函數(shù)的新等式，例 如下面的( 1 2 ) 式的一個一般等式 妻地毪掣：oo等z哪產(chǎn)川q)2 怠 【一g ；n + l 高l z 還有下面的一個比較奇妙的式子 o o 可2 嘿：1 + 妻( 圳知， (16)q；q 魯( 一q ；9 2 ) “( 一2 ) 州魯、叫 p “7 3 b a i l e y 變換與一些新的口級數(shù)恒等式 這里 ，( n ) = 禮+ k如果 2 k 2 2 k + 1 佗2 k 2 + 2 k ( 1 7 ) 在本論文中，我們給出了( 1 1 ) 式的一個更一般的式子 以及，通過b a i l e y 變換，我們給出了下面的口級數(shù)恒等式 ( 1 8 ) 薹躲= 蜘n = 0 ) n q n ( 3 n + 1 ) 2 ( 1 + q 2 n + 1 ) ， ( 1 9 ) q n 磊2 ( _ 1 咿( 1 + q 4 n + 1 _ q s + 3 + q 1 2 + 6 ) ， ( 1 1 0 ) 薹器= 靜州脾c 1 - q 2 n + l ， 薹= 腳妻q n ( 3 n + 1 ) 2 c 1 - - q 2 n + l ， 阻塒 三麗q n - _ 1 ( 1 1 3 ) 據(jù)我們所知，等式( 1 8 ) ，( 1 9 ) 和( 1 1 0 ) 是新的恒等式，而( 1 i i ) 式是脅 m a n u j a n 的“丟失的筆記本 【2 0 ，p 3 6 ：里面的- - 個等式。值得指出的是( 1 1 3 ) 式是r o g e r s - f i n e 恒等式【1 7 ，e q ( 1 4 1 ) 】的一個特例。特別地，等式( 1 8 ) 中， 當z = 1 ，就是g e a n d r e w s 和s o w a r n a a r 所證的等式( 1 1 ) 式。在文章的 結(jié)尾，我們給出了( 1 1 3 ) 式的有限形式。 4 b a i l e y 變換與一些新的口級數(shù)恒等式 第二章對稱的雙邊b a i l e y 變換 在【1 1 】里面，w n b a i l e y 首次將b e i l e y 變換展示給我們( 也可參見【2 7 ， 第2 4 節(jié)，5 8 7 4 頁】) 。 引理2 1 ( b a i l e y 變換) 如果 0 0 并且= 矗脅一n 蜘佃， 這里q n 風7 n 和矗需要滿足一定的條件，使得相關(guān)的無窮級數(shù)都絕對收斂。 這是因為 o o a 。= n = o q n 西脅一玎蜘+ ， n = or = 竹 q n 4 肌n 咋韌 r = on = o 屏4 而我們下面某些等式的證明只需要用到b a i l e y 變換的一種變形，即對稱的雙 邊b a i l e y 變換，可參見文獻【9 】。 引理2 2 ( 對稱的雙邊b a i l e y 變換) 如果 n 風= 一，u n + r 并且= 矗脅一n 詐+ n ， ( 2 1 ) r 2 一n r = l n l 那么， o o q n = 風厶， 竹= 一n = o ( 2 2 ) 這里口n ，風，和以需要滿足一定的條件，使得相關(guān)的無窮級數(shù)都絕對收斂。 5 + 一np a 住腳 = 風 靠風 腳 = 腳 么 那 b a i l e y 變換與一些新的q - 級數(shù)恒等式 類似于b a i l e y 引理的證明方法，我們可以很快地證明引理2 2 ，參見文 獻 9 1 。在下一章，我們將給出一些滿足( 2 1 ) 式的序列對( ，矗) ，稱為共 軛b a i l e y 對。 6 b a i l e y 變換與一些新的q 一級數(shù)恒等式 第三章共軛b a i l e y 對 我們將會用到兩個共軛b a i l e y 對( ，如) ，并且這兩個共軛b a i l e y 對需要滿 足對稱的雙邊b a i l e y 變換( 2 1 ) 。 定理3 1 在對稱的雙邊b a i l e y 變換中，如果我們?nèi)∧_= v n = 1 ( q 2 ；q 2 ) 。，并且 死：f ( q 2 ；q 2 - ) 2 , 一z q n ， ( 3 1 ) 那么 = q 彳f q r ( 件( 3 2 ) a n d r e w s 和w a r n a a r 【9 】主要運用了下列超幾何級數(shù)中的一系列變換證明了 定理3 1 ，其中包括h e i n e 變換【1 8 ，3 5 9 頁，e q ( 3 2 ) 】 2 ，( 乞6 ；口，二) = 量專竺瓣2 妒( 。b ：6 ；g ，c ：) ， 文獻 1 8 ，1 0 0 頁，練習3 2 】中的 砒a , ；q , - z ) = 踺旗一彳) ， z i i 和r o g e r s - f i n e 恒等式【1 7 ，e q ( 1 4 1 ) 】 妻赫礦= 薹器c 1 - a z q z n 礦一“，臺( 6 ；q ) r 。魯( 6 q ) r ( 刑) n + 1 、 八川 。 同樣地，我們有下面的定理： 定理3 2 在對稱的雙邊b a i l e y 變換中，如果我們?nèi)】v= = 1 ( 9 2 ；9 2 ) n 并且 氏= ( g ；q ) 2 n q n ，( 3 3 ) 那么 = q 勘2 口掣 ( 3 4 ) 1 b a i l e y 變換與一些新的g - 級數(shù)恒等式 第四章 等式( 1 8 ) 一( 1 1 3 ) 的證明 有了定理3 1 我們就可以推導出等式( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 。同樣地，有了定 理3 2 ，我們就可以推導出等式( 1 9 ) - ( 1 1 1 ) 。這些證明不定是最簡單的，但是 說明了由a n d r e w s 和w a r n a a r 9 】9 所推導出的b a i l e y 變換，是口- 級數(shù)恒等式證明 中的重要工具?，F(xiàn)在，通過引理2 2 結(jié)合對稱的雙邊b a i l e y 變換和定理3 2 ，我 們可以得到 定理4 1 如果n 是一個非負整數(shù)，并且 風2 三兩若贏麗， 那么 o oo o 【 j ( 伽) 凱q n 風= g ( 吉1 ) 口一2 n 2 n 2 0 j 2 0 - - - - l j 這里q n ，佛需滿足一定的條件，使得相關(guān)的無窮級數(shù)絕對收斂。 定理4 1 的證明參見 9 】。由上面的定理，我們有 定理4 2 等式( 1 9 ) 成立，即 妻磐亟：壹(一1)nqnc：-n+1)2(1+口2n+t)q；q) 臺( 一2 n 魯 卜叫廣 證明：在定理4 1 中取 a n = ( 一1 ) n g n ( 3 t i + 1 ) 2 ，則有風= 石( q 麗；q 2 ) n 這里用到了等式【2 6 ，g 1 ，即 ( q ；a s ) no( 一1 ) r q r ( 打+ 1 ) 2 一= ( q 2 ；q 2 ) 2 n 幺( q 2 ；口2 ) 州( q 2 ；q 2 ) n + ， 8 b a i l e y 變換與一些新的q - 級數(shù)恒等式 因此， 我們可以看出 因此就有 薹躲= 扣k m 【 j = q ( 吉1 ) ( 一1 ) 竹q 郵州) 2 q 勘2 j 2 0 n = 一g j 【吾j = g ( 吉1 ) ( 一1 ) n g 一( j = o n = 一【 j j ( 一1 ) n q 一( ；) = ( 一1 ) 。g 一( ”抄 r 1 - - - - - - 3 薹躲= 泓j = o 妁，i 2 一j ql 2 咿刪2 = ( 一1 ) q 3 州脾( 1 + 9 2 州) 定理4 3 等式( 1 1 0 ) 成立，即 證明：在定理4 1 中取 則有 o o = ( 一1 ) 棚q 艫( 1 + 口4 州+ q 跏+ 3 + 9 1 2 n + 8 ) n - - - - - 0 q 2 m = ( 一1 ) m q 2 m ( 3 m + ，a 2 m + 1 = 0 ， 阮= 麗蒜 9 ( 4 1 ) 口 _ h n 艫孬絲 腳 b a i l e y 變換與一些新的口級數(shù)恒等式 這里用到了等式【2 6 ，c 1 ，即 1 芒 ( 一1 ) 脅q ( 卅1 ) 兩麗2 r 毫l 兩磊麗麗磊 定理 證明 o o 【j g ( 吉1 ) a n q 鋤2 j 2 0 - = - l j j q n q 以護 7 1 - - - - - - 3 = ( q ( 對1 ) + g ( 2 g 川艫 o o 【j j 2 0 - , - - - l j 【j ( 一1 ) m q q m 一1 7 t , - - = 一【量j = ( 一1 ) l j q 2 j 2 鉀。2 l 2 j l 2 j + 1 ) + ( 一1 ) l z 2 。j q 2 j 2 + 州。2 2 j ( 1 2j “ 、l 、 孔，件2p 、 g + n ，弩 口 ， 伽 = l + 暫 + 巧 g + + 巧 g ，一 舢 = b a i l e y 變換與一些新的g 級數(shù)恒等式 這里用到了【2 6 ，4 7 0 頁1 中第三個等式，即 因此， ( - q ；q 2 ) n ：生! 堅塑竺! ： ( q 2 ；q 2 ) 2 n 幺( q 2 ；q 2 ) n r ( 9 2 ；q 2 ) n + r = ( 口g ) 2 n q n 風 n = o o ?！?j = g ( 言1 ) ( 一1 ) ( ”執(zhí)邢州) 2 q 掰 j 。o , , = - t i j o o【丟j = g ( 三1 ) ( 一1 ) ( “一( 三) j 2 0 n = 一【j = 口( 軌一1 ) 咄一g ) 一【弧卅1 ) 2 = ( 一1 ) ( 1 ) 礦( 劫+ 1 ) 2 ( 1 + q 2 j + 1 ) ， j = o 在( 4 2 ) 式中將q 替換成一口，我們就完成了定理的證明。 為- g i 正n 等式( 1 1 3 ) 和( 1 1 2 ) 我們需要下面的定理： 定理4 5 如果佗是一個正整數(shù)，并且 那么 妻垡盟型芋：壹礦，壹qnq_n2(-q；q)2 名 州 每1昌“1 這里q n ，風需滿足一定的條件，使得相關(guān)的無窮級數(shù)絕對收斂。 定理4 5 的證明和定理4 1 類似，參見【9 】。 1 1 ( 4 2 ) 口 ( 4 3 ) ( 4 4 ) 一 一筠一鏟 n = 風 b a i l e y 變換與一些新的口一級數(shù)恒等式 定理4 6 等式( 1 1 3 ) 成立，即 薹而q 麗n 2 乩 證明：在定理4 5 中取 o t 2 m = ( 一1 ) m q 2 m ( m + 1 ) ，q 2 仇+ 1 = 0 ， n t l 2 一，l 則有屏2 兩燾麗 這里用到了等式【2 6 ，c 5 】，即 q n 2 - - n 芒 ( 一1 ) 脅q ( r + 1 ) 兩而2 ，毫j 兩際而 因此， = 一”a n q 哪2 j = on , - - - - - - j o o 【j = 一呻( 一1 ) 一q 2 巾。 j 2 0 t = 一嘲 = y ( - - 1 ) j q j 2 鉀一2 【j ( 嘲+ 1 ) = 1 定理4 7 等式( 1 1 2 ) 成立，即 薹= p o o m 1 ) 2 c 1 - q 2 n + l q ) 2 n + l ， 臺( - g 幺y 、 p 警 礦一弼以f 腳 = 一li 礦孕一g一卜 腳 勺 + 嚴 + 0 暫 gd 一 舢 = b a i l e y 變換與一些新的g - 級數(shù)恒等式 證明：在定理4 5 中取 a 一t = 一互19 6 m 2 2 m ，a 3 m = q 6 m 2 - 2 m , a 3 m + 。= 一丟9 6 m 2 + 2 m ，則有阮= 參見 2 6 ，a s 。因此， 我們很容易地看出 ( q 2 ；q 2 ) 2 。q n 風 ( - q ；q ) 2 n + 1 o o j = 礦葉”口。q 叫2 j = on - - - - - - j o o 3 j = q 吲聃d q n q 彳+ j = on = - - 旬 3 j + 1 q 竹q 哪2 = 3 j + 2 q + 2 坍3 t l = 一( 3 j + 1 )n = 一j 歹 = n = 一j n = - - 3 j n - - - - - ( 巧+ 2 ) q 慚+ j = o 口n 口一礦 q 2 n 2 ( q 2 ；q 2 ) 2 ，l 。 3 j + 1 1 腳+ 2 q n q 哪2 n = - - ( 3 j + 1 1 ( a 3 n q - ( 3 n ) 2 + a 3 n - 1 q 一( 3 n 1 ) 2 + q 3 n + l q 一( 3 n + 1 ) 2 ) ( g 一3 n 2 一盔n 一互1q 一- 3 n 2 + 4 n - 1 一互1q 一3 | n 2 4 n 一1 ) ( q - 3 n 2 - 2 n q 一3 n 2 一缸一1 ) = ( 口川m 以) 一口七+ 1 ) ( 3 卅1 ) n - - - - - 3 = 口一跖2 一笱一g 一巧2 4 j 一1 ， n塾口彳：f，菱剛彳)_；_lq-(3j+1)2_o。3j+lq-(3j+1)2c。-3j-1k q 礦艫= i 剛2l n = 一3 j n = - ( 3 j - t - 1 ) = g 一巧2 ， 1 3 ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 腳熹 腳 = 瞧，玎艫) + n - 靴g 柏+ 2 ) 2 + 倒響+ 2 ) 2 = 一口一巧2 一句一1 ( 4 8 ) 通過結(jié)合等式( 4 5 ) 一( 4 8 ) ，我們有 = q 釤2 卅+ ( g 釅蜘+ 2 一擴塒“) 一 j = oj = o = q 似3 計d 膽( 1 一q 2 n - i - 1 ) 定理4 8 等式( 1 8 ) 成立，即 ( - 1 ) n q n ( n + 1 ) z 2 n (： 名 【一g ) , 2 時1 q ；q 2 ) n z q ； o o ( 一1 ) n q n ( n + 1 ) 2 礦 證明：根據(jù)q - - 項式定理，我們將1 ( - z q ；q ) 2 n + 1 展開，即 ( - z q ；q ) 2 n + l 這里嘲是口二項式系數(shù)，定義為： 所以， o o 一尼卜吁， 黔 母= 洲 ( 一1 ) n q n ( 1 ) 名2 n ( g ；q 2 ) n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一：= ( - z q ；q ) 2 n + 1 等式( 4 9 ) 的右邊可以重新寫為 ( 一1 ) n q n ( 計1 ) z 2 n ( g ；q 2 ) n ( 一1 ) n q n ( n + 1 ) 名2 n ( g ；q 2 ) n 1 4 o o 礦毒1 附 口 一后卜v ， ( 4 9 ) + +叮 g ：i 一“： i k 生一 腳 腳 腳 腳腳腳 腳 b a i l e y 變換與一些新的g - 級數(shù)恒等式 = 爭州薹( 。r 知髏嚴如彪n = 0鳧= o 、171 ， 、1 ，1 ，7 - 2 三一d ( - 1 r 七揣t i * 嘞詹n = 0 七= o 、1 。1 、z71 ， 在上面的等式中，比較z m 的系數(shù)可知，等式( 4 9 ) 等價于 。m 踹q 2 ) q ) k = 籌 七急m ( 9 2 ；n ( 口； ( g q ) m 。 卜d w 由e u l e r 定理( 參見【1 ，推論2 2 】) ，我們有 三o o1 q m ( m 而+ 1 ) - 2 z m = ( 刪；扎 ( z 2 q 2 ；口2 ) ：= = - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 ( z q ；g ) = 薹錈茅名2 n 薹鑫 比較等式( 4 i i ) 兩邊名仇的系數(shù)，我們就得到了( 4 1 0 ) ，這就證明了( 1 8 ) 。 口 顯然，當z = 1 時，( 1 8 ) 式就可以化簡成r a m a n u j a n 類型的假t h e t a 函數(shù)恒 等式( 1 1 ) 。當z = 一1 時，( 1 8 ) 式就可以寫成： 薹藩籌生q 2 n + 1 ) = 爭州怕= 赫 心 臺( 口2 ；9 2 ) n ( 1 一一幺q一弋i 百蠆= 崢j 糾 這是由g a u s s 定理( 參見1 ，推論2 1 0 1 1 得來的。我們注意到： = 0 ， = ( q 2 ；q 2 ) ， 我們將( 4 1 2 ) 式和( 4 1 3 ) 式相結(jié)合，可得 薹高群齋= 糌 1 5 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 產(chǎn)一槐一魏 川一唧一 腳腳 b a i l e y 變換與一些新的g 級數(shù)恒等式 而我們將( 4 1 2 ) 式和( 4 1 4 ) 相結(jié)合，可得 霎嵩茉高= 赫一c q 2 ；q 2 q 2 ) q ) o o k 臺( 9 2 ；n ( 1 2 葉1 ) ( g - 口2 、胂 1 6 b a i l e y 變換與一些新的g 一級數(shù)恒等式 第五章關(guān)于a n d r e w s - w a r n a a r 等式的一個注釋 在【9 ，1 8 2 頁】中，作為a n d r e w s 和w a r n a a r 結(jié)果的一個特例，他們給出tf 面的等式： 麗( _ q ；q 2 ) n q n = e 1 1 q ( 6 1 ) 名( 一口2 ；q 2 ) 州 一 w “7 這里，我們指出( 1 - 1 3 ) 和( 6 1 ) 式可以統(tǒng)一寫成： ， 量糕卜南1 a b ( 6 2 ) 臺( n g g ) 州p 一。 _ “7 例如，我們在( 6 2 ) 式中做這樣的替換：q _ q 2 ，a 一一1 ，和b _ 一q ，馬上就得 到( 6 1 ) 式。為了證明( 6 2 ) ，只要注意到： 糕卜高( 微卜警辮r 1 ) 然后對n 從0 到o 。求和即可。 - - ：y 面，( 6 2 ) 也可以通過下面的r o g e r s - f i n e 恒等式【1 7 ，e q ( 1 4 1 ) 】簡單地推導出來： 薹鏃灶薹器c 1 - a z q 2 n 礦一， 3 ， 或者運用下面的對稱恒等式【1 9 ，e q ( 1 2 ) 】： 薹而( a z ；q ) n 礦= 薹o 。而( b z ；q ) n 以 ( 6 4 ) 此外，如果我們將( 6 2 ) 式的左邊寫成 志2 1 ( 口b , q ；a q 2 ；q , a b ) ， ( 6 5 ) 那么，( 6 2 ) 式就可以通過h e i n e 變換 1 8 ，p 2 4 1 ，i i i 1 】 。(。，6；c；口，z)=氣；糕2t(cb,z；az；q,b) b a i l e y 變換與一些新的口一級數(shù)恒等式 和q _ - - 項式定理得到。 另一方面，如果我們在( 6 2 ) 式中將a 替換成一a ，并且令b 一0 ，那么將得 到 乒掣：1 ( 6 6 ) 魯( _ 0 口) 州一 、7 我們可以從( 6 3 ) 式中，很容易給出( 6 6 ) 式的一般等式： 薹黛( - a q q ) k + l 二薹甓答 7 ， 乞 m ； 乞( 口；g ) m 一七。 、7 此外，當m = 0 和m = 1 時，等式( 6 7 ) 分別有下面的有限項的模擬： n k = o n 吾i 等式( 6 8 ) 和( 6 9 ) o 七q ( ：) 這里1 ( q ；口) 一1 = 0 這里廠( n ) 與( 1 7 ) 來。 ( q g ； 1 一( 口；g ) n ( 1 + a q n ) 1 + a a q + a q n + 1 2 面不礦瓦兩f 麗。 ( 6 8 ) ( 6 9 ) l 喜 而盟加盟 0 一一 一七裂揲 g h 州 i 甚 一 一茹 小 勢一叼 一 水一一 n x 二，r 址 型小 磊 和 面 參考文獻 參考文獻 【1 】1g e a n d r e w s ，t h et h e o r yo fp a r t i t i o n s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ， 1 9 9 8 【2 】g e a n d r e w s ，q - s e r i e s ：t h e i rd e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o ni na n a l y s i s ，n u m b e r t h e o r y , c o m b i n a t o r i c s ，p h y s i c s ，a n dc o m p u t e ra l g e b r a ，c b m sr e g i o n a lc o n f s e r i nm a t h ，v 0 1 6 6 ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 8 6 【3 】g e a n d r e w s ，m u l t i p l es e r i e sr o g e r s - r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e s ，p a c i f i cj m a t h 1 1 4 ( 1 9 8 4 ) ，2 6 7 - 2 8 3 【4 】g e a n d r e w s ，b a i l e y st r a n s f o r m ，l e m m a ，c h a i n sa n dt r e e ，i n ：j b n s t o z ，e ta 1 ( e d s ) ，s p e c i a lf u n c t i o n s2 0 0 0 ：c u r r e n tp e r s p e c t i v ea n df u t l l r ed i r e c t i o n s ，k l u w e r a c a d e m i c ，d o r d r e c h t ，2 0 0 1 ，p p 1 之2 【5 】g e a n d r e w s ，a b e r k o v i c h ，t h ew p b a i l e yt r e e ，j l o n d o nm a t h s o c ( 2 ) 6 6 ( 2 0 0 2 ) ，5 2 9 - 5 4 9 【6 】g e a n d r e w sa n db c b e r n d t ，r a m a n u j a n sl o s tn o t e b o o k ，v 0 1 1 ，s p r i n g e r ，n e w y o r k ，2 0 0 5 f 7 】g e a n d r e w s ，ag e n e r a lt h e o r yo fi d e n t i t i e so ft h er o g e r s - r a m a n u j a nt y p e ，b u l l a m e r m a t h ，s o c 8 0 ( 1 9 7 4 ) ，1 0 3 3 - 1 0 5 2 【8 】g e a n d r e w s ，a na n a l y t i cg e n e r a l i z a t i o no ft h er o g e r s - r a m a n u j a ni d e n t i t i e s f o r o d dm o d u l i ，p r o c n a t l a c a d s c i u s a7 1 ( 1 9 7 4 ) ，4 0 8 2 - 4 0 8 5 【9 1 g e 。a n d r e w sa n ds o w a r n a a r ，t h eb a i l e yt r a n s f o r ma n df a l s et h e t af u n c t i o n s ， r a m a l l l u j a nj 1 4 ( 2 0 0 9 ) ，1 7 3 - 1 8 8 【1 0 】g e a n d r e w s ，a s c h i l l i n ga n ds 0 w a r n a a r ，a na 2b a i l e yl e m m aa n dr o g e r s - r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e s ，j a m e r m a t h s o c 1 2 ( 1 9 9 9 ) ，6 7 7 - 7 0 2 【1 l 】w n b a i l