2014年國慶高中物理競賽力、熱專題班知識點梳理3

2014年國慶高中物理競賽力、熱專題班 知識點梳理 （第三次） 資料說明 本導學用于學員在實際授課之前，了解授課方向及重難點。同時還附上部分知識點的詳細解讀。本班型導學共由4份書面資料構成。 （2014 年國慶集中培訓課程使用） QBXT/JY/ZSD2014/9-19-3 2014-9-15 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 2014年國慶高中物理競賽力、熱專題班知識點梳理 (力學部分3) 知識框架 . 3 重點難點 . 4 知識梳理 . 5 一、 振動和波 . 5 1. 簡諧運動 . 5 2. 機械波 . 7 例題選講 . 9 北京清北學堂教育科技有限公司 第2頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 知識框架 振動和波 簡諧運動 機械波 北京清北學堂教育科技有限公司 第3頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 重點難點 振動和波部分重點掌握簡諧運動的形成條件、位移與速度方程以及周期表達式，還應了解機械波的干涉特性。 北京清北學堂教育科技有限公司 第4頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 知識梳理 一、 振動和波 1. 簡諧運動 （1） 簡諧運動的定義 定義：F kx= 諧振子的加速度：kxam= （2） 簡諧運動的方程 回避高等數(shù)學工具，我們可以將簡諧運動看成勻速圓周運動在某一條直線上的投影運動（以下均看在x方向的投影），圓周運動的半徑即為簡諧運動的振幅A。 依據(jù)：22cosxF mA mx= 對于一個給定的勻速圓周運動，m、是恒定不變的，可以令：2mk = 這樣，以上兩式就符合了簡諧運動的定義式。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運動的相關規(guī)律。從下圖不難得出： 位移方程：cos( )xA t= + 速度方程：sin( )vAt =+ 加速度方程：2cos( )a At =+ 相關名詞：t+稱相位，稱初相。 運動學參量的相互關系：2ax= 2200()vAx= + 00tanvx= （3） 簡諧運動的合成 1) 同方向、同頻率振動合成 北京清北學堂教育科技有限公司 第5頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 兩個振動11 1cos( )xA t= +和22 2cos( )xA t= + 合成，可令合振動 cos( )x A wt = +，由于12xx x= +，解得 221 2 12 2 12 cos( )A A A AA = + ，1 12 21 12 2sin sincos cosAAarctgAA+=+ 顯然，當212k =時（0, 1, 2,k = ），合振幅A最大，當21(2 1)k = +時（0, 1, 2,k = ），合振幅最小。 2) 方向垂直、同頻率振動合成 當質(zhì)點同時參與兩個垂直的振動11cos( )xA t= +和22cos( )yA t= +時，這兩個振動方程事實上已經(jīng)構成了質(zhì)點在二維空間運動的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形式的軌跡方程為 22221 21221 2 122 cos( ) sin ( )x y xyA A AA + = 顯然，當212k =時（0, 1, 2,k = ），有21AyxA=，軌跡為直線，合運動仍為簡諧運動；當21(2 1)k = +時（0, 1, 2,k = ），有2222121xyAA+=，軌跡為橢圓，合運動不再是簡諧運動；當21取其它值，軌跡將更為復雜，稱“李薩如圖形”，不是簡諧運動。 3) 同方向、同振幅、頻率相近的振動合成 令11cos( )xA t= +和22cos( )xA t= +，由于合運動12xx x= +， 得：21 21(2 cos ) cos( )22xA t t = +。合運動是振動，但不是簡諧運動，稱為角頻率為122+的“拍”現(xiàn)象。 （4） 簡諧運動的周期 由式得：km = ，而圓周運動的角速度和簡諧運動的角頻率是一致的，所以 2mTk= （5） 簡諧運動的能量 一個做簡諧運動的振子的能量由動能和勢能構成，即22 2111222E mv kx kA=+= 注意：振子的勢能是由（回復力系數(shù)）k和（相對平衡位置位移）x決定的一個抽象的 北京清北學堂教育科技有限公司 第6頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 概念，而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當我們計量了振子的抽象勢能后，其它的具體勢能不能再做重復計量。 2. 機械波 （1） 波的產(chǎn)生和傳播 產(chǎn)生的過程和條件；傳播的性質(zhì)，相關參量（決定參量的物理因素） （2） 機械波的描述 1) 波動圖象和振動圖象的聯(lián)系 2) 波動方程 如果一列簡諧波沿x方向傳播，振源的振動方程為cos( )yA t= +，波的傳播速度為v，那么在離振源x處一個振動質(zhì)點的振動方程便是 cos( 2 ) cos ( ) xxyA t A tv = + = + 這個方程展示的是一個復變函數(shù)。對任意一個時刻t ，都有一個()yx的正弦函數(shù)，在xy坐標下可以描繪出一個瞬時波形。所以，稱cos ( ) xyA tv= +為波動方程。 （3） 波的干涉 1) 波的疊加 幾列波在同一介質(zhì)中傳播時，能獨立的維持它們的各自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。 2) 波的干涉 兩列波頻率相同、相位差恒定時，在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài)：振動加強的區(qū)域和振動削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開。 我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規(guī)律。如下圖所示，我們用1S和2S表示兩個波源，p表示空間任意一點。 當振源的振動方向相同時，令振源1S的振動方程為11cosyA t= ，振源2S的振動方程為22cosyA t=，則在空間p點（距1S為1r ，距2S為2r），兩振源引起的分振動分別是： 111cos ( )ryA tv= 222cos ( )ryA tv= P點便出現(xiàn)兩個頻率相同、初相不同的振動疊加問題（11rv = ，22rv =），且初 北京清北學堂教育科技有限公司 第7頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 相差21()rrv= 。根據(jù)前面已經(jīng)做過的討論，有21rrk=時（0, 1, 2,k = ），P點振動加強，振幅為12AA+ ；21(2 1)2rr k= 時（0, 1, 2,k = ），P點振動削弱，振幅為12AA。 北京清北學堂教育科技有限公司 第8頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 例題選講 例1一簡諧運動的系統(tǒng)如圖所示，不計一切摩擦，繩不可伸長，m1、m2及彈簧的勁度系數(shù)k已知。求m2上下振動的周期。 解： 設某一時刻彈簧伸長x，繩上張力是FT。 分析m1：11Tkx m g F m a+ = 分析m2：2222TaF mg m= 消去FT：212 12 2 (2 )2mkx m g m g a m+ = +， 假設振子平衡時彈簧伸長0x，此時m1、m2的加速度為零，則有02 122k x mg mg= 設m1偏離平衡位置的位移為x，則0xxx= + 20 12 12 ( ) 2 (2 )2mk x x mg mg a m + + = + 將21022mg mgxk=代入式，可得212 (2 )2mkx a m= + 21()4mF k x am= + 所以這個振子系統(tǒng)的等效質(zhì)量是214mm +，周期為12424mmTk+= 簡析：本題是一個彈簧振子的變式模型，解題時要根據(jù)受力分析由牛頓運動定律得出振動的動力學特征，然后由周期公式就可求出其振動周期。 例2. 如圖所示，在一個勁度系數(shù)為 k的輕質(zhì)彈簧兩端分別拴著一個質(zhì)量為 m 的小球A和質(zhì)量為 2m的小球BA用細線拴住懸掛起來，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，此時彈簧長度為l現(xiàn)將細線燒斷，并以此時為計時零點，取一相對地面靜止的、豎直向下為正方向的坐標軸Ox，原點O與此時A球的位置重合如圖試求任意時刻兩球的坐標 北京清北學堂教育科技有限公司 第9頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 解： 對于由小球A、B和彈簧構成的系統(tǒng)，當A、B之間的距離為l時，已知mA = m，mB = 2m，由質(zhì)心的定義，可知系統(tǒng)的質(zhì)心C離A的距離 llC32= （1） 故A、B到質(zhì)心C的距離分別為 llllBA3132=（2） 若以質(zhì)心C為參考系（質(zhì)心系），則質(zhì)心C是固定不動的，連接A、B的彈簧可以分成兩個彈簧CA和CB設彈簧CA的自然長度為lA0，勁度系數(shù)為kA，一端與小球A相連，另一端固定在C點；彈簧CB的的自然長度為lB0，勁度系數(shù)為kB，一端與小球B相連，另一端亦固定在C點若連接A、B的自然長度為l0，根據(jù)題意有 ( ) mgllk 20= （3） 由（2）式可知彈簧CA和CB的自然長度分別為 00003132llllBA= （4） 當A被懸掛，系統(tǒng)處于靜止時，已知連接A、B的彈簧長度為l，由（2）式可知，此時彈簧CA和CB的長度分別為 llllBA3132= （5） 彈簧CA、CB作用于A、B的彈簧力分別為 ( ) ( )0032llkllkfAAAAA= ( ) ( )0031llkllkfBBBBB= 但fA 、fB就是連接A、B的彈簧因拉伸而產(chǎn)生的彈力f，即有 ( )0llkfffBA= （5） 由此得 kkkkBA323= （6） 相對地面，質(zhì)心C是運動的，在t = 0 時刻，即細線剛燒斷時刻，A位于Ox軸的原點O處，即( ) 00 =Ax；B的坐標( ) lxB=0由（1）式，可知此時質(zhì)心C的坐標為 ( ) lxC320 =（7） 在細線燒斷以后，作用于系統(tǒng)的外力是重力( )gmm 2+故質(zhì)心以g為加速度做勻加速直線運動，任意時刻t，質(zhì)心的坐標 22213221)0()( gtlgtxtxCC+=+= （8） 由于質(zhì)心作加速運動，質(zhì)心系是非慣性系在非慣性參考系中，應用牛頓第二定律研究物體的運動時，物體除受真實力作用外，還受慣性力作用若在質(zhì)心系中取一坐標軸xO ，原點O與質(zhì)心C固連，取豎直向下為xO 軸的正方向，當小球B在這參考系中的坐標為Bx時，彈簧CB作用于B的彈性力( )0BBBBlxkf = 當0BBlx 時，方向豎直向上此外，B還受到重力mg，方向豎直向下；慣性力大小為mg，方向豎直向上作用于B的合力( ) mgmglxkFBBBB+=0 由（3）、（4）式得 =kmglxkFBBB231 （9） 北京清北學堂教育科技有限公司 第10頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 令=kmglxXBB231 （10），有 BBBXkF = （11） 當XB = 0，作用于B的合力FB = 0，B處于平衡狀態(tài)，由（10）式，可知在質(zhì)心系中，B的平衡位置的坐標 =kmglxB2310 （12） XB為B離開其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有彈性力的性質(zhì)，故在FB作用下， B將在平衡位置附近作簡諧振動，振動圓頻率 mkmkBBB23= （13） 離開平衡位置的位移 ( )BBBBtAX += cos （14） AB為振幅，B為初相位在t = 0時刻，即細線剛燒斷時刻，B是靜止的，故此時B離開其平衡位置0Bx的距離就是簡諧振動的振幅AB，而在t = 0時刻，B離開質(zhì)心的距離即（5）式給出的lB，故B離開平衡位置的距離即振幅0BBBxlA =由（5）式、（12）式得 kmgkmgllAB32)2(3131= （15） 因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故0=B由此得 = tmkkmgXB23cos32 （16） 由（10）式，t時刻B在質(zhì)心系中的坐標 ( )+= tmkkmgkmgltxB23cos32)2(31 （17） 在地面參考系的坐標 ( ) ( ) ( )txtxtxBCB+= （18） 得 ( )+= tmkkmggtltxB23cos132212 （19） 同理，當小球A在質(zhì)心系中的坐標為Ax時，注意到Ax是負的，這時，彈簧CA的伸長量為 +=+=+kmglxlxlxAAAA2323200 當0AAlx +為負時，彈力向下，為正，當0AAlx +為正時，彈力向上，為負，故有 +=kmglxkfAAA232 作用于A的合力為 +=kmglxkFAAA232 令 +=kmglxXAA232 ， 有 AAAXkF = 北京清北學堂教育科技有限公司 第11頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 當XA=0，作用于A的合力FB = 0，A處于平衡狀態(tài)，A的平衡位置的坐標 =kmglxA2320 （20） XA為A離開其平衡位置的位移，故在合力FA作用下， A將在平衡位置附近作簡諧振動，振動圓頻率 mkmkAA23= （21） 離開平衡位置的位置( )AAAAtAX += cos AA為振幅，A為初相位在t = 0時刻，即細線剛燒斷時刻，A是靜止的，A離開質(zhì)心C的距離為lA，A的平衡位置離開質(zhì)心的距離為0Ax故此時A離開平衡位置的距離即為振幅AA， kmgkmgllxlAAAA34232320= 而此時AAAX =，故=A 由此得= tmkkmgXA23cos34 （22） 在時刻t，A在地面參考系中的坐標 ( ) ( )20221 2 2 4 3cos32 3 314 31 cos (23)23 2A C AAmg mg kx t x t x X l gt l tk kmmg kgt tkm= +=+ =+ 解法二： 當A球相對于地面參考系的坐標為x時，彈簧CA的伸長量為xlxC032，A所受的合力為+= xlxkmgFCA 03223 其加速度為 += xlxkmgaCA 03223 )1( 其相對于質(zhì)心的加速度為=0032233223lxxkmxlxkmgaaCCAA 其中032lxxC表示A球相對于其平衡位置的位移，在相互平動的兩個參考系中，相對位移與參考系無關 上式表明，相對質(zhì)心，A球的加速度與其相對于平衡位置的位移成正比且反向也就是說，A球相對質(zhì)心作簡諧振動 同理可證 北京清北學堂教育科技有限公司 第12頁 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 =3320lxxkmgFCB +=3230lxxmkgaCB )2( 其相對于質(zhì)心的加速度為 =03223lxxkmaCB )3( 其中+30lxxC表示B球相對于其平衡位置的位移，相對質(zhì)心，B球的加速