1固體物理-晶體結(jié)構(gòu)2.pdf

固體物理學(xué) 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)2 晶體的對稱性 Apatite 磷灰石 Quartz 石英 Garnet 石榴石 什么是對稱性 在幾何中 保持兩點距離不變的變換 等距變換 叫正正 交變換交變換 如果系統(tǒng)在某種正交變換下保持不變 與自身重合 那么這個變換就是系統(tǒng)的一個對稱操作 對稱操作 一個系統(tǒng)對稱 操作越多 表明它的對稱性越高 對稱 在某種變換下保持不變 正交變換 轉(zhuǎn)動 rotation about an axis 鏡面 鏡像 reflection across a plane 中心反演 inversion through a point 在三維情況下 正交變換可以表示為 正交矩陣 轉(zhuǎn)動 繞z軸轉(zhuǎn)動 度 中心反演和鏡面 鏡像 中心反演 鏡面 鏡像 二維正方形的對稱操作 立方體的對稱操作 正四面體 正四面體 正四面體 正四面體的對稱操作 群和點群 point group 群群 group 是一種集合 其元素稱為群元群元 這種 集合滿足四個條件 1 封閉性 2 存在單 位元 3 存在逆元 4 結(jié)合律成立 更具體定義請參考群論書籍資料 一個系統(tǒng)擁有的全部對稱操作可以組成一個對 稱群 每種對稱操作是其中一個群元 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) 鏡像鏡像 中心反演中心反演這些對稱操作都可以保 持空間至少一點固定不動 稱為點對稱操作點對稱操作 由點對稱操作組成的群 稱為點群點群 對稱元素 為了簡明概括一個物體的對稱性 不一一列舉所有對 稱操作 而是描述它所具有的 對稱元素對稱元素 在對稱操作下固定不變的點點 直線及平面直線及平面稱為對稱元對稱元 素素 symmetry element 一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動2 n以及其倍數(shù)保持不變 時 稱該軸為n重 次 度 旋轉(zhuǎn)軸 用n表示 對稱元素 一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動2 n再加上中心反演 以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)保持不變時 稱該軸為n重 旋轉(zhuǎn) 反演軸 用 表示 n 對稱元素 的含義 先轉(zhuǎn)動 再作中心反演 如右圖中A點轉(zhuǎn) 動 后變?yōu)锳 再作中心反演后 變?yōu)锳 A 實際上是A點在通過中心垂直 于轉(zhuǎn)軸的平面M的鏡像 說明 如果有對稱元素 則存在一個 對稱面M 所以也稱對稱元素 為鏡面 用m或者 表示 2 2 2 點對稱操作 對稱元素 在晶體中 由于平移對稱性的限制 轉(zhuǎn)動 對稱軸只能是1 2 3 4和6重軸 對稱元素 只能有 6 4 3 2 1 6 4 3 2 1 作業(yè) 點群 6 4 3 2 1 6 4 3 2 1 晶體學(xué)點群 Crystallographic point group Crystallographic point group 符號標 記Label 對稱元素 Symmetry element 對稱操作 Symmetry operation What does it do E 恒等操作 identity 不變 nothing Nothing i 反演中心 center of symmetry or inversion center 按對稱中心反演 inversion projects through the center an equal distance Cn n 重旋轉(zhuǎn)軸 n fold proper axis of rotation 繞軸旋轉(zhuǎn) rotation rotates counterclockwise 360o n degrees about the axis m 鏡面 plane of symmetry 鏡像 reflection reflects across a plane Sn n 重旋轉(zhuǎn)鏡像軸 n fold improper axis of rotation 繞軸旋轉(zhuǎn)后鏡像 rotation followed by reflection rotates counterclockwise 360o n degrees about the axis and then reflects across a plane perpendicular to the axis Schoenflies Symmetry Notation 參考 Mildred S Dresselhaus Gene Dresselhaus Ado Jorio Group theory Application in the physics of condensed matter Springer 2008 P44 n重旋轉(zhuǎn) 鏡像軸 Symmetry Elements and Operations element operation symbol symmetry plane reflection through plane m h horizontal reflection plane perpendicular to the principal axis v vertical reflection plane contains the principal axis d diagonal reflection plane contains the rotatation axis and bisect the angle between two C2 axes perpendicular to the rotatation axis n is an integer principal axis is a Cn axis with the biggest n Symmetry Elements and Operations Symmetry Elements and Operations 對稱操作元素間的依賴關(guān)系 如果一個物體有兩個鏡面 則兩鏡面的交線是該物體的 一個轉(zhuǎn)軸 若鏡面夾角是 n 則該軸為n度轉(zhuǎn)軸 如果一個物體有一個n度轉(zhuǎn)軸和包含該軸的一個鏡面 則該物體必有n個包含該軸的鏡面 相鄰鏡面夾角為 n 如果一個物體有兩個二度轉(zhuǎn)軸 則必有與之垂直的轉(zhuǎn)軸 若兩個二度轉(zhuǎn)軸的夾角為 n 則與之垂直的轉(zhuǎn)軸為n度轉(zhuǎn) 軸 如果一個物體有一個n度轉(zhuǎn)軸 和一個與之垂直的二度 軸 則該物體必有與該n度軸垂直的n個二度軸 相鄰兩個 二度軸的交角為 n 一個偶數(shù)度軸 一個垂直于該軸的鏡面以及一個反演中 心 若存在其中的兩個 則必然存在第三個 四面體點群 4個三重軸 藍色 共8 個對稱操作 記為8C3 3個兩重軸 紅色 共3 個對稱操作 記為3C2 保持不動 1個對稱操作 用E表示 共8 3 1 12個對稱操作 由如上所示的12個點對稱操作 E 3C2 8C3 組成 的點群 用T表示 四面體點群 8C3 3C2 繞3個立方軸 紅色 旋轉(zhuǎn) 2 3 2 接著做水平面鏡像接著做水平面鏡像 共6 個對稱操作 記為6S4 對立方體相對面的對角線形成截 面作鏡像 共6個對稱操作 記 為6 d 共12 6 6 24個對稱操作 由如上所示的24個點對稱操作 E 3C2 8C3 6S4 6 d 組成的點群 用Td表示 稱為正四面體點群 32個點群 Cn for cyclic n 主軸的重 次 度 數(shù) h 含有水平鏡面 垂直于主軸 v 含有垂直鏡面 包含主軸 i 含有中心反演 32個點群 Sn Spiegel German for mirror Dn dihedral or two sided d 含有對角鏡面 包含主軸 并過兩垂直二重軸的平分線 32個點群 O octahedron T tetrahedron 32個點群 Crystal System Number of Point Groups Herman Mauguin Point Group Schoenflies Point Group Triclinic 2 1 1 C1 Ci Monoclinic 3 2 m 2 m C2 Cs C2h Orthorhombic 3 222 mm2 mmm D2 C2v D2h Trigonal 5 3 3 32 3m 3m C3 S6 D3 C3v D3d Hexagonal 7 6 6 6 m 622 6mm 62m 6mm C6 C3h C4h D6 C6v D3h D6h Tetragonal 7 4 4 4 m 422 4mm 42m 4 mmm C4 S4 C4h D4 C4v D2d D4h Cubic 5 23 m3 432 432 m3m T Th O Td Oh 兩種群標記符號 固體物理中常用熊夫利符號 Sch nflies notation 晶體學(xué)中常用國際符號 International notation Hermann Mauguin notation 國際符號的具體解釋見閻守勝 固體物理基礎(chǔ) C60的對稱性 C60的對稱性 C60的對稱性 C60的對稱性 C60的對稱性 C60的對稱性 C60的對稱性 C60的對稱性 C60的對稱性 正二十面體所屬對稱群為I和Ih群 I群的對稱元素包含有二 三 五重軸 共 60個元素 Ih群由I群 中心反演得到 共120個元素 I和Ih群不屬于32個晶體點群 C60的對稱性 plang tuwien ac at schani supermag archimedean index html 平移 translation 對稱性 布拉維格子的格矢 332211 anananRn 將晶體平移布拉維格子的任一格矢 晶體與自 身重合 稱為平移對稱操作 問題 平移對稱操作是正交變換嗎 平移對稱操作是點對稱操作嗎 空間群 布拉維所有格矢對應(yīng)的平移對稱操作的集合 稱為平移群平移群 使晶體復(fù)原的全部平移和點對稱操作的集合 構(gòu)成空間群空間群 空間群 1 簡單空間群 點空間群 由一個平移群和一 個點群對稱操作組合而成 共73個 2 復(fù)雜空間群 晶格全部對稱操作的集合 共有 230個 7個晶系和14個布拉維格子 空間群國際符號 空間群的國際符號包括兩個組成部分 前一部 分為大寫英文字母 表示格子類型 P C A B I F 后一部分與點群的國際符號基 本相同 只是其中晶體的某些宏觀對稱要素的 符號需換成相應(yīng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)對稱要素的符號 例如 P23 I432 Fm3m 對應(yīng)的點群是什么 晶格類型是什么 space group table http en wikipedia org wiki Space group Table of space groups in 3 dimensions 晶系晶系 對稱性特征對稱性特征 晶胞參數(shù)晶胞參數(shù) 所屬點群所屬點群 Bravais格子格子 三斜三斜 只有只有1或或 i a b c C1 Ci P 單斜單斜 唯一唯一2或或 m a b c 90 C2 CS C2h P C 正交正交 三個三個2或或 m a b c 90 D2 C2V D2h P C I F 三方三方 唯一唯一3 或或 a b c 90 C3 S6 D3 C3V D3d R 四方四方 唯一唯一4 或或 a b c 90 C4 S4 C4h D4 C4V D2d D4h P I 六方六方 唯一唯一6 或或 a b c 90 120 C6 C3h C6h D6 C6V D3h D6h H 立方立方 四個四個3 a b c 90 T Th Td O Oh P I F 3 4 6 七大晶系的關(guān)系 常見的晶體結(jié)構(gòu) CsCl結(jié)構(gòu)和立方鈣鈦礦結(jié)構(gòu) NaCl和CaF2結(jié)構(gòu) 金剛石和閃鋅礦結(jié)構(gòu) 六角密堆積結(jié)構(gòu) CsCl結(jié)構(gòu) 布拉維格子是 基元是 配位數(shù) CsCl結(jié)構(gòu) 兩套相互嵌套的簡單立方格子 CsCl以及其他部分堿鹵化合物 空間群Pm3m 立方鈣鈦礦 BaTiO3 結(jié)構(gòu) 布拉維格子是 基元是 配位數(shù) 立方鈣鈦礦 BaTiO3 結(jié)構(gòu) Ti在氧八面體的中心 Ba在氧八面體的間隙 BaTiO3以及其他許多ABO3型化合物 NaCl結(jié)構(gòu) 布拉維格子是 基元是 配位數(shù) NaCl結(jié)構(gòu) 兩套相互嵌套的面心立方格子 NaCl 以及Li Na K Rb和F Cl Br I化合物 空間群Fm3m CaF2結(jié)構(gòu) 金剛石結(jié)構(gòu) C Si Ge 灰Sn 空間群Fd3m 閃鋅礦 ZnS 結(jié)構(gòu) 閃鋅礦和金剛石結(jié)構(gòu)具有相似性 閃鋅礦 ZnS 結(jié)構(gòu) 兩套相互嵌套的面心立方格子 ZnS GaAs GaP 六角密堆積結(jié)構(gòu) 密堆積 密排面 密排面 能否同時在B和C的位置占據(jù) 密堆積 密排面 六角密堆積結(jié)構(gòu) Be Cd Mg Ni Zn 六角密堆積結(jié)構(gòu) 六角密堆積結(jié)構(gòu) 石墨是六角密堆積結(jié)構(gòu)嗎 立方密堆積結(jié)構(gòu) Ag Al Au Co Cu Ni Pd Pt 原子數(shù) 晶面 立方密堆積結(jié)構(gòu) 立方密堆積結(jié)構(gòu) 兩種密堆積結(jié)構(gòu) 是否有其它可能 本課小結(jié) 正交變換和三種對稱操作 點對稱操作 對稱元素 32個點群和標記方法 平移對稱操作 點空間群 7個晶系 14個布拉維格子 常見的晶體結(jié)構(gòu) 密堆積結(jié)構(gòu) 網(wǎng)絡(luò)學(xué)習資源 關(guān)于分子的對稱性 http symmetry otterbein edu tutorial index html 關(guān)于晶體學(xué)與群論 http www cryst ehu es 空間群表 http img chem ucl ac uk sgp large sgp htm 晶體結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)庫 http cst www nrl navy mil lattice 晶體結(jié)構(gòu)三維顯示軟件CrystalMaker etc 分子結(jié)構(gòu)三維顯示軟件Rastop etc http www geneinfinity org rastop 課后任務(wù) 不需要上交 自學(xué)晶體學(xué)點群的International notaion Hermann Mauguin notation 自學(xué)二維晶格的晶系以及布拉維格子 下載