浙江大學(xué)線代解題指導(dǎo).doc

線性代數(shù)常見計(jì)算題型及常用思路僅供參考！一、 計(jì)算題題型1解線性方程組（必須掌握）（1） 最常用方法：先用高斯消元法化為階梯形，從而得出自由未知量（設(shè)為），然后對自由未知量賦予任意值，即設(shè)，這兒為任意常數(shù)。把賦予自由未知量的值帶入方程組，解除方程組的解（是關(guān)于的一些表達(dá)式）（2） 方法（1）的變形：先用高斯消元法化為階梯形，從而得出自由未知量（設(shè)為）。設(shè)是的一組基（常取自然基）。然后令，分別解得方程組的解：（這是一個基礎(chǔ)解系）。則可知方程組的解為，這兒為任意常數(shù)。（一般解）（3） Cramer法則。注意：Cramer法則只對系數(shù)矩陣可逆的情形適用。題型2將用線性表示（或求坐標(biāo)）常用思路：待定系數(shù)法。設(shè)使得。然后根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于的一個方程組。解方程組。方法二：利用課本定理4.10（如果已知在某一組基下的矩陣）題型3判斷的線性相關(guān)性常用思路：待定系數(shù)法。設(shè)使得。然后根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于的一個方程組。解方程組。如果方程組只有零解，則線性相關(guān)。反之，線性無關(guān)。題型4求的極大無關(guān)組及秩常用思路：待定系數(shù)法。設(shè)使得。然后根據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于的一個方程組。用高斯消元法化簡方程組，得到自用未知量。不是自用未知量的所對應(yīng)的放到一起，就構(gòu)成了原向量組的一個極大無關(guān)組。題型4求基與維數(shù) 常用方法：找到一組有限生成元，轉(zhuǎn)化為題型4。題型5. 將擴(kuò)充為一組基常用思路：首先確定出的一個極大無關(guān)組，設(shè)為。然后設(shè)，構(gòu)建線性方程組 （假設(shè)是列向量） 然后解除上面方程組的一個基礎(chǔ)解系，設(shè)為 （想想為什么一定有個）。則 就是一組基（想想為什么線性無關(guān)）題型6Schmidt正交化過程題型7. 兩組基的過渡矩陣（轉(zhuǎn)化為題型2）題型8. 線性映射（變換）的矩陣 方法一：利用定義，轉(zhuǎn)化為題型2。 方法二：利用課本定理7.4（如果已知在一組基下的矩陣及過渡矩 陣）題型9. 求矩陣的秩（可考慮放棄） 方法一：基于初等變換不改變矩陣得知，利用初等變換把原矩陣 化為一個容易看出秩的矩陣（一般為階梯形）。 方法二：利用分塊矩陣。主要基于以下幾個公式： 方法三：利用秩的一些性質(zhì)，主要是： 方法四：利用的行/列秩，轉(zhuǎn)化為題型4或利用向量組 的秩的一些性質(zhì) 方法五：利用的行列式秩 方法六：利用線性方程組解的結(jié)構(gòu)，主要基于：題型10. 求可逆矩陣的逆矩陣 方法一：基于可逆的唯一解為，利用線 性方程組求解。 方法二：基于可逆矩陣可寫成初等矩陣的乘積，利用初等變換求 解，主要是兩個公式： 前者只能用行變換，后者只能用列變換。 方法三：利用分塊矩陣求解。主要基于兩個公式：（假設(shè)已知可逆） 注意：主對角線上的子塊必為可逆方陣。 方法四：利用伴隨矩陣（一定要細(xì)心?。╊}型11. 求行列式（小心符號！） 方法一：利用初等變換或課本5.1節(jié)的簡單性質(zhì)化為三角陣或其他容易求解的行列式。 方法二：利用公式（注意必為同型方陣） 方法三：利用按行/列展開公式，一般得到遞推公式。 方法四：前面三者結(jié)合。（最為常用） 幾個必須知道的結(jié)論： （1）三角形行列式=對角線元素乘積 （2） （3）范德蒙行列式題型12. 求特征值與特征向量及矩陣對角化（必須掌握） 方法：利用特征多項(xiàng)式求特征值，利用求線性方程組的基礎(chǔ)解系 求特征向量。最后注意：在寫出以及原矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形時， 要注意特征向量與特征值是相互對應(yīng)的。題型13. 實(shí)對稱矩陣的對角化 方法：和題型12一致，但是要加入Schmidt正交化過程及單位化。 要注意的是：千萬不要把所有的特征向量放在一起Schmidt正交 化，一定要分別對每個特征值所對應(yīng)的特征向量分別正交化，也 就是說：如果有m個不同特征值，要進(jìn)行m次Schmidt正交化過 程！題型14. 求二次型/矩陣相合標(biāo)準(zhǔn)形與相合規(guī)范形（必須掌握） 方法一：配方法。 方法二：初等變化法。（參考課本例題，此兩種方法和中學(xué)所用的 一致） 方法三：利用題型12或13，基于正交矩陣的逆矩陣和轉(zhuǎn)置一樣。線性代數(shù)常見證明題型及常用思路僅供參考！二、證明題題型1關(guān)于線性相關(guān)性的證明中常用的結(jié)論（1）設(shè)，然后根據(jù)題設(shè)條件，通過解方程組或其他手段：如果能證明必全為零，則線性無關(guān)；如果能得到不全為零的使得等式成立，則線性相關(guān)。（2）線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中之一可用其他向量線性表示。（3）如果，則可通過矩陣的秩等方面的結(jié)論證明。（4）如果我們有兩個線性無關(guān)組，且是同一個線性空間的兩個子空間，要證線性無關(guān)。這種情況下，有些時候我們設(shè)。根據(jù)題設(shè)條件往往能得到，進(jìn)而由的線性無關(guān)得到系數(shù)全為零。題型2. 關(guān)于歐氏空間常用結(jié)論（1）內(nèi)積的定義（2）單位正交基的定義（3）設(shè)是單位正交基，。則5題型3. 關(guān)于矩陣的秩的證明中常用的結(jié)論（1）初等變換不改變矩陣的秩（2）乘可逆矩陣不改變矩陣的秩（3）階梯形的秩（4）幾個公式（最好知道如何證明）：常用來證明關(guān)于秩的不等式（5）利用分塊矩陣的初等變化不改變矩陣的秩（常用來證明關(guān)于秩的不等式）例：證明：。證：上面第二個等號是用左乘第一個分塊矩陣的第一行，然后加到第二行所得；第三個等號是用又乘第二個分塊矩陣的第一列，然后加到第二列所得。（6）利用齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)（），此方法也可以用來證明關(guān)于向量組的秩方面的的問題。（7）利用向量組的秩與維數(shù) 主要是兩個結(jié)論：（i）矩陣的秩=列秩=行秩 （ii）的定義域 的維數(shù)（8）利用行列式秩（9）利用相抵標(biāo)準(zhǔn)形題型4. 關(guān)于可逆矩陣常用結(jié)論（1）結(jié)論：可逆有唯一解。（2）結(jié)論：可逆可逆。（3）結(jié)論：可逆當(dāng)且僅當(dāng)可以寫為初等矩陣的乘積。（4）結(jié)論：可逆當(dāng)且僅當(dāng)0不是它的特征值。題型5. 關(guān)于矩陣對角化的常用結(jié)論（1）結(jié)論： 相似于。（2）結(jié)論：任一個復(fù)數(shù)域上的方陣都相似于一個若當(dāng)形矩陣。（3）特征值與特征向量的定義（4）結(jié)論：是的特征值。（5）結(jié)論：屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。（6）結(jié)論：特征多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)就是它的行列式，它的第n-1次項(xiàng)的系數(shù)就是對角線上元素之和。（7）結(jié)論：。（8）結(jié)論：課本P242定理7.8。（9）結(jié)論：課本P242推論。（10）結(jié)論：課本P243定理7.10。（11）結(jié)論：實(shí)對稱矩陣一定可以通過正交矩陣對角化。題型6. 關(guān)于二次型的常用結(jié)論：（1）定義：二次型的矩陣。（2）定義：相合關(guān)系。（3）實(shí)對稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形