（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）一類拋物型和橢圓型方程（組）解的結(jié)構(gòu)研究.pdf

摘要 本論文研究了某些拋物型和橢圓型方程( 組) 解的性質(zhì)，這種 研究包含解的局部存在性和唯一性，解的整體存在性和有限時(shí)刻 爆破以及解的整體有界性，等等。 在第一章中通過p 0 h o z a c v 恒等式和一系列比較原理得到問 題d i v ( 1 x e u l p - 2 v u ) = ，( u ) 在有限球中正徑向奇異破裂解的存在 性。 在第二章中考慮了帶非局部反應(yīng)項(xiàng)的擴(kuò)散方程非負(fù)解的局部 存在性以及解在有限時(shí)間爆破，考察了解的邊界行為。證明了方 程的解具有全局爆破性質(zhì)，并且得到在空間的所有緊子集上的一 致爆破率，i u ( t ) l o 。的爆破率假定是確定的。 在第三章中研究了冗中的有界子空間上的擬線性拋物型方程 組。首先得到了它對應(yīng)的橢圓型方程組非增正解的不存在性。其 次利用所得到的不存在性定理研究了帶有類似狄利克雷邊值條件 擬線性拋物型方程組解的爆破估計(jì)。然后在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下得到解 的局部存在理論，證明了解或者整體存在或者在有限時(shí)間爆破。 關(guān)鍵詞：擬線性橢圓型方程；正破裂解；p o h o z a e v 恒等式：臨界 指數(shù)；爆破率；邊界層；p 拉普拉斯系統(tǒng)：非局部項(xiàng)；整體存在 性；不存在性 a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e ss o m er e s u l t so fs o l u t i o n st op a r a b o l i cs y s t e r n sa n de l l i p t i ce q u a t i o n s t h i si n v e s t i g a t i o nc o n t a i n st h ep r o b l e m so f l o c a le x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n s ，g l o b a le x i s t e n c ea n df i n i t e t i m eb l o wu p ，t h eb o u n d e d n e s so f g l o b a lp o s i t i v es o l u t i o n s ，e r e i nc h a p t e r1 ，t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v er a d i a ls i n g u l a rr u p t u r es o l u - f i o n so f t h e p r o b l e md i v ( 1 v u l p 2 v u ) = ，( 亂) w i t hf ( 0 ) = 。i na f i n i t e b a l li so b t a i n e dv i at h ep o h o z a e vi d e n t i t ya n ds o m ec o m p a r i s o na r g u m e n t s i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t e st h el o c a le x i s t e n c eo ft h en o n n e g a t i v e s o l u t i o na n dt h ef i n i t et i m eb l o w - u po fs o l u t i o na n db o u n d a r yl a y e rp r o - f i l e so f d i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lr e a c t i o ns o u r c e s ，w ep r o v et h a t t h es o l u t i o n sh a v eg l o b a lb l o w - u pa n dt h a tt h er a t eo fb l o w u pi su n i - - f o r mi na l lc o m p a c ts u b s e t so f t h ed o m a i n , 恤b l o w - u pr a t eo ff 仳( ) i 。 i sp r e c i s e l yd e t e r m i n e d i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t hp l a p l a c i a ns y s t e mw i t hn u l ld i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n si nab o u n d e dd o m a i nq=brcr w h e r e p ，q 2 ，a ，盧1 w ef i r s tg e tt h en o n e x i s t e n c er e s u l tf o rar e l a t e d e l l i p t i cs y s t e m so fn o n i n c r e a s i n gp o s i t i v es o l u t i o n s s e c o n d l yb yu s i n gt h i sn o n - e x i s t e n c er e s u l t , b l o wu pe s t i m a t e sf o ra b o v ep - l a p l a c i a n s y s t e m sw i t ht h eh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n sa r e o b t a i n e d t h e nu n d e ra p p r o p r i a t eh y p o t h e s e s ，w ee s t a b l i s hl o c a lt h e o r y a b s t r a e t o f t h es o l u t i o n sa n do b t a i nt h a tt h es o l u t i o n se i t h e re x i s tg l o b a l l yo rb l o w u pi nf i n i t et i m e k e y w o r d s ： q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ；p o s i t i v es i n g u l a rr u p t u r e s o l u t i o n s ；p o h o z a e vi d e n t i t y ；c r i t i c a le x p o n e n t s ；b l o w u pr a t e ；b o u n d a r y i a y e r s ；p l a p l a c i a ns y s t e m s ；n o n l o c a ls o u r c e ；g l o b a le x i s t e n c e ；n o n e x i s t e n e e 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明： 1 、堅(jiān)持以“求實(shí)、創(chuàng)新”的科學(xué)精神從事研究工作。 2 、本論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本論文中除引文外，所有實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)和有關(guān)材料均是真實(shí)的。 4 、本論文中除引文和致謝的內(nèi)容外，不包含其他人或其它機(jī)構(gòu)已經(jīng)發(fā)表 或撰寫過的研究成果。 5 、其他同志對本研究所做的貢獻(xiàn)均已在論文中作了聲明并表示了謝意。 作者簽名： 日期： 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 本人完全了解南京師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，學(xué)校有權(quán) 保留學(xué)位論文并向國家主管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版： 有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查 閱；有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索；有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo) 題和摘要匯編出版。保密的學(xué)位論文在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名 日期 刖罱 擬線性反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)( 非線性牛頓滲流系統(tǒng)) 和半線性反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)( 牛頓 滲流系統(tǒng)) 正解的構(gòu)造是研究非傳導(dǎo)型介質(zhì)中靜電場問題的前沿課題，其中電 壓是由穩(wěn)態(tài)的非牛頓滲流系統(tǒng)的邊值問題來描述的，稱之為p o i s s o n - b o l t z m a n n 問題類似的問題還出現(xiàn)在多孔介質(zhì)系統(tǒng)中的非牛頓或牛頓湍流等等里面，具 有很豐富的工程學(xué)背景 關(guān)于反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的問題包括整體解的存在性和多解性、爆破、爆破速 率和爆破集、唯性、解的漸近行為以及非唯一性，等等對于橢圓型系統(tǒng)， 研究的問題包括存在性和不存在性、唯一性以及非唯一性等等 在研究一個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)解的時(shí)候，下面的問題自然地就產(chǎn)生了：( i ) 這 個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散方程解整體存在嗎? 伍) 解在有限時(shí)間爆破嗎? 對于第一個(gè)問題， 整體存在性通常只有建立在當(dāng)一系列適當(dāng)?shù)慕獗徽业降那闆r下對于第二個(gè) 問題會研究在什么情況下解在有限時(shí)間爆破如果解在有限時(shí)間爆破，自然 會問它的爆破時(shí)間和爆破集合是什么? 更迸一步能不能得到解在靠近爆破點(diǎn) 時(shí)的漸近行為? 當(dāng)考察一個(gè)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)( 方程) 時(shí)，到目前為止已經(jīng)形成了一 整套成熟的方法，例如：上下解方法( 見 3 7 1 ，【5 3 】) ，凸函數(shù)方法( 見【5 4 d ，能量函 數(shù)方法( 見【3 9 】， 5 5 1 ) ，半群方法( 見 5 6 1 ) ，特征函數(shù)法( 見 5 7 1 ) ，凹度方法( 見 5 8 1 ) ， 以及其他的比較方法，等等 在本篇研究論文里。第一章研究了如下問題正奇異破裂解的存在性： d i v ( 1 v u p - 2 v u ) = ，( “) 在n o ( 1 ) 并且 l i mu ( z ) = 0 ， ( 2 ) i x l _ o 其中p + 1 ，p l ；q = b n = 缸r n ： p 一1 ，a 0 使得當(dāng)o 0 ，其中f ) = ff ( v ) a v 這個(gè)問題產(chǎn)生于研究非牛頓湍流( 見 1 ，2 】) 和非牛頓滲流( 見 3 】) 其中數(shù) 量p 是用來描述介質(zhì)的特征p 2 時(shí)媒質(zhì)稱為膨脹流，p 2 時(shí)媒質(zhì)稱為偽塑 流p = 2 時(shí)稱為牛頓流特別地，形如 u t = 一d i v ( f ( u ) l 、t a u l p - 2 v x u ) 一d i v ( g ( u ) v u ) 的方程，其中u 描述油的表面離固體表面的高度j & 尉n g ( 見 4 】) 第一個(gè)引入 了這樣一個(gè)方程對于二維的情形，在參考文獻(xiàn) 5 】中有它的一個(gè)獨(dú)特的物理 來源，描述了油膜在固體表面的擴(kuò)散零點(diǎn)集= 牡= o ) 是流體和固體的分 界面，有時(shí)被稱為破裂集系數(shù)，( u ) 反映表面張力作用效果，一個(gè)典型的選擇 是f ( u 1 = “3 特別地，令，( 札) = 護(hù)，9 ( 翟) = 一并且m 0 z q ( 6 ) 它的爆破性質(zhì)已經(jīng)被許多作者討論過了( 見 1 8 ，2 4 ) 以及其它相關(guān)文獻(xiàn)在文 獻(xiàn) 1 8 】里，p s o u p l e t ；j i 進(jìn)了一種新的方法來研究問題( 6 ) 解的爆破率以及爆破分 布，其中口( z ) = 常數(shù)= 1 他證明了如果p l ，則在q 的緊子集上一致成立 里器( t t ) 硝1 亂( 8 t ) = 墨導(dǎo)( r t ) 南l “( ) l 。o = i 一1 ) l q i ；】- 者 最近，在文獻(xiàn) 2 4 】里，劉其林等證明了i h - j 題( 6 ) 當(dāng)。( z ) 不為常數(shù)時(shí)解的整體爆 破以及它的爆破率 本章的目的是得到反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)( 5 ) 的臨界指數(shù)、爆破率的估計(jì)以及邊界 行為 知z 一一一一 萋善意州俐俐蝴舭觚歸驢一壚地啦 在第三章里研究了如下形式帶非局部項(xiàng)的擬線性拋物型方程組： 并且討論了對應(yīng)橢圓型系統(tǒng)正勰的不存在性 z q t 0 z q ，t 0 ( 7 1 z 鯽t 0 、7 z q 刮一d i v ( i v v 卵u l p 一- 。2 v u ) ：- - f av a ( 州x , t 池) d x , v v ) ：主曼 ( 8 ) i d i v ( i v 訓(xùn)9 _ 2 = 矗( z ，t ) 出， 茁q ”7 其中q = b r = 扛r n ：m 0 ) 是( 1 ) 中的有界球， 具有充分光滑的邊界a q p ，q 2 ，o ，盧1 咖( z ) l o 。( q ) nw j 9 ( q ) ， 如( z ) 工p ( nw 0 1 ，。( q ) 并且在a q 上曼乒，堡! 鏟 1 ；q = b r = 伽r n ： p 一1 ，a 0 使得當(dāng)0 0 ，這里f ( u ) = j ? f ( v ) d v 由條件( h ) 可以得至憶= 0 是函數(shù)，的奇異點(diǎn)，l l p l i n k o ，( 牡) = o 。 問題( 1 1 1 ) 在q 中的正奇異破裂解是這樣定義的，對于任意緊子集kc q o ) ，在q o ) 上u 0 ，弱解u c 1 ( k ) 對于k 中的每個(gè)點(diǎn)都滿足( 1 1 1 ) ，并 且u 滿足( 1 1 2 ) 修改文獻(xiàn) 1 1 , 5 1 ，5 2 中的結(jié)論，得到如下結(jié)果： 定理1 1 1 假設(shè)函數(shù)，滿足條件( h ) ，那么對于任意r ( o ，o o ) ，方程( 1 1 1 ) 在b r 中存在正的奇異破裂解 1 2 定理1 1 1 的證明 為了證明定理1 1 1 ，考察擬線性橢圓型方程( 1 1 1 ) 的徑向?qū)ΨQ解，也就是 說假定u = 玨( r ) 其中r = ，并且考慮下列初值問題 ( ( 釷7 ) ) ，+ ! ! ! ：；里島( “7 ) 一，( r ) ) ：o ，r o ，( 1 z i ) 毿l(wèi) 章一炎擬線性橢聞掣方程的正奇異破鍍解的存n 。性 亂( o ，q ) = o 0 ，( 0 ，a ) = 0 ，( 1 2 2 ) 其中( s ) = i s r 2 s 對于口 b ，令r ( o ，b ) 是使得u ( r ，口) = b 成立的第一個(gè)r 利用p o h o z a e v 恒等式和一系列比較假定，能證明條件( h ) 表明存在兩個(gè)正常 數(shù)r ( b ) 和彤( b ) ，使得對于任意b a 和充分大的n ，有風(fēng)( b ) 兄( o ，b ) s p ( b ) 從這些估計(jì)出發(fā)，定理1 1 1 就可以證出 首先給出由n i 和s e n 噎n 在文獻(xiàn) 1 5 1 中得到的推廣了的p o h o z a c v 恒等式 引理1 2 1 假設(shè)u ( r ) 是方程( 1 2 1 ) 在( r 1 ，r 2 ) c ( 0 ，o o ) 中的一個(gè)解，a 為任 意常數(shù)，則對于任意r ( 7 1 ，7 2 ) 有 石d 【r ( 1 1 p ) l u l ，+ f ( u ) + ；u 仳m p 2 ) 】 = r n - 1 n f ( u ) 一n t ，( u ) - t - ( 口+ 1 一n p ) l u f p ， ( 1 2 3 ) 其e e f ( u ) = 菪f ( s ) d s 定義1 2 2 對任意口( 0 ，o o ) 和b o t ，令兄( a ，b ) 是第一個(gè)使得札( r ，a ) = b 成立的r 如果不存在這樣的r ，將記r ( 口，b ) = 。o 記r ( 口) = 丑( q ，0 ) 和冗1 ( q ) = r ( n ，a ) ，其中a 在條件( h ) 中已經(jīng)給定 定義1 2 3 對于條件( h ) 中的q ，a ，( u ) ，f ( u ) 以及0 b o ；當(dāng)1 p 0 在【0 ，a 】上定義如下形式的兩個(gè)常數(shù)見( b ) 和舒舊) r 。( b ) 9 ( p 一1 ) = m ( 兩一1 ( p 一1 ) b 和 即肛( 南r 1 ( 尚( 酬q 這里對于p 2 ，百= 一1 如一1 學(xué)7 1 b ；對于1 p 2 ，一b = 2 ( p - 2 ) ( p - 1 ) n 一1 加一1 ) 曼筍7 f 1 b 并且m ( 吾) = m a x f ( u ) ：h 犀，4 ) 首先證明對于確定的o b a ，r ( a ，b ) 存在上界和下界 定理1 2 4 令，滿足條件( h ) ，對于o b a 和血( o ，司，有 冗。( b ) r ( q ，b ) r ( b ) ，( 1 2 4 ) 6 一 筇1 章一旋擬線性橢同v 方穰的正甸異破裂解的存和性 以及 【掣警】1 滬”見( 功l 滬1 ) s ( r ( 口，引，n ) 石j 了l ；蘭麗b 兄廣 ( 1 2 5 ) 證明在( 1 2 3 ) 中令u ( r ) = u ( r ，q ) 和o = n ( p 一1 一q ) 且對式( 1 7 2 3 ) 從0 到r 積分，由條件( h ) ，對于所有8 【0 ，r 】，0 u ( 8 ，o t ) a ，則有 一0 ，- pl _ ) j 刎，+ f ( 吣) + 志i 虹巡掣 0 1 ( 1 2 6 ) 顯然由條件( h ) 可推出對所有0 0h f ( a ) 0 ( 由條件( h ) ) ，不難看出c a 。f ( s ) d s 0 顯然與f ( u o ) o 矛盾，所以的假設(shè)成立由 這個(gè)假設(shè)和條件( h ) 得到當(dāng)0 u 0 并且1 i r 毗o f ( u ) = o 。進(jìn) 一步，對于任意的o ( 0 ，a ) ，g q ( 1 2 6 ) 可知在( 0 ，r 1 ( 口) ) 上有“協(xié)，口) 0 因此， 對o ( 0 ，a ) 有r 1 ) 0 使得 對所有0 “a ，( t ) m ( 1 2 8 ) 由( 1 2 1 ) - ( 1 2 2 ) 和( 1 2 8 ) 當(dāng)r ( 0 ，r 1 ( a ) ) r 0 見( b ) 在情形( 6 ) ，需要 一個(gè)比較原理 令( r ) 蘭v ( r ，血，百) 是下面初始值的一個(gè)解 ( 郇( ，) ) ，+ 翌；量島( ) 一口：o 其中r r ( 。，百) ， ( 1 2 1 4 ) 口( 冗( q ，否) ) = 百，( 1 2 1 5 ) t 1 7 ( 兄( q ，- b ) ) = ( r ( o ，百) ，口) ，( 1 2 1 6 ) 其中刁= m ( 百) 則( r ) 能被精確寫成如下形式 嘶腳+ 二母1 | 峒 弦茄) j l 舭) d s ( 1 2 1 7 ) 釜! 量= ：塵絲垡絲塑旦! 立望2 2 王童2 型簍墼盟立t ：絲 其中瓦= 冗( n ，兩這里考慮兩種情形：( t ) p 2 以及( i t ) 1 p 0 ，那么有 ( r n - - l 垂，( 吒) ) 7 一( r n - - 1 ( ) ) 7 = r 一1 蠆一，( u ( r ，a ) ) 20 ( 1 2 1 9 ) 從而對( r ，口) o 可得 一1 ) ( r n - 1 l f ( r ) 1 9 - 2 ( t ，口一u ) ，) ，0 ，( 1 2 2 0 ) 這里f ( r ) 介于( r ) 和吒( r ) 之問對( 1 2 2 0 ) 式積分兩次并利用( 1 2 1 5 ) - ( 1 2 1 6 ) 式，可得在【r ( 口，百) ，甩( b ) 】上有讓( r ，口) s ( r ) 這就證明t ( 1 2 4 ) 式 的第一個(gè)不等式 最后，由( 1 2 4 ) ，( l 2 “) 和( 1 2 1 2 ) 式得到( 1 ，2 5 ) 式口 ( 1 2 4 ) 式和( 1 2 5 ) 式的一個(gè)直接結(jié)論是下面關(guān)于方程( 1 1 1 ) ( 1 1 ，2 ) i e 奇異 解的存在性結(jié)果 引理1 2 5 假設(shè)函數(shù)，滿足條件( h ) ，如果 o k ) 是一個(gè)滿足l i m k o o 覦= o 和l i m k - o or ( a k ) = r o o 的序列，則存在序列 o k ) 的一個(gè)子序列 毗以及 非負(fù)的奇異解礦使得在( o ，冗) 上u ( ，0 2 ) 逐點(diǎn)收斂到礦并且解u 在( o ，r ) 的每個(gè) 緊子集上f o ，b l x 是- - 階可導(dǎo)連續(xù)的此外可以得到u 是方程( 1 2 1 ) 在b r 中的 0 一 絕j 蘋一炎擬線性橢網(wǎng)掣古程的正盤畀破裂解的行禮性 個(gè)正奇異破裂解 證明首先證明在任意緊子空間f 0 6 】( 0 ，r ) 上，讓u ) ( ，o ) 0 = 0 ，1 ) 在【n ，h i 上是一致有界的易證 溉( 口( 剮= 溉( 壽) 叫了蘭) ( 即) ) 一- 0 ( 1 2 2 1 ) 因此，存在0 bsa 使得形( b ) sa 對充分大的k ，有r ( a k ，b ) sa 和 u ( a ，口k ) b ( 1 2 2 2 ) 另一方面，由假設(shè)當(dāng)七一c c 時(shí)r ( a k ) 一冠則對充分大的k 有b 兄( o k ) ，即對充 分大的七，在【a ，b f u ( b ，o k ) su ( 口) ，乜k ) = a 現(xiàn)在可得對充分大的島，有 b u ( r ，a ) a 則對方程( 1 2 1 ) 的任意解( r ) ，3 0 r l r 2 0 使得在【n ，6 】上對充 分大的k 有 l 仳( r 覦) f d( 1 2 2 6 ) 于是從( 1 2 2 3 ) 幕1 ( 1 2 2 6 ) 式，可得“d ) ( ，口k ) ( y 3 j = 0 ，1 ) 在陋，6 】上一致有界 釜! 耋= 婁墊縫絲絲墮! 立堡墼至奎星莖絲型塑立：壘 由( 1 2 1 ) 可推出在 n ，6 】上( 郇( ) ) i c 利用a s c o l i a r z e l a 定理和對角線方法，存在 o k ) 的一個(gè)子序列 a ：) 和 一個(gè)非負(fù)函數(shù)w ( r ) ，在( o ，兄) 上啡( 牡，( ，n k ) ) 逐點(diǎn)收斂到并且解在( o ，r ) 的 任一緊子集陋，6 j 上是c 1 的因?yàn)槲鳎? s ) 是可逆的，則在( 0 ，r ) 上當(dāng)七一o o 時(shí)， ( ，o ) 逐點(diǎn)收斂到彬= 垂i 1 ( ) 并且在( o ，冗) 的任一緊子集【n ，6 上是伊的 于是推出存在一個(gè)c 1 非負(fù)函數(shù)u ( r ) ，使得在( o ，兄) 上t ( ，口k ) 逐點(diǎn)收斂n u 并 且解在( 0 ，r ) 的任一緊子集 n ，6 】上是e 1 的顯然在( o ，r ) 上u ( r ) 滿足( 1 2 1 ) ， 那么( 1 2 4 ) 式表明當(dāng)r o + 時(shí)u ( r ) 趨向0 對任何b a ，若rs 風(fēng)舊) ， 則“( r ，) b ，即在【0 ，r 。( b ) 】上u ( r ) b 因?yàn)楫?dāng)b - q 時(shí)毛( b ) ，0 ，則 有當(dāng)r o + 時(shí)，礦( r ) 一0 因此，u ( r ) 是( 1 2 1 ) 在( 0 ，冗) 上的正奇異破裂解口 定理1 1 1 的證明令 q k ) 是一個(gè)序列且h m 。a k = 0 因 為r d c & o - 1 ) ( 豢) 1 ( p 一1 ) k ；( a 一口) 】，可以假設(shè)l i m k 。阜( o k ，a ) = r 1 時(shí)，有的 解爆破而有的解是整體存在的，這依賴于初值的大小方程( 2 1 2 ) 解的爆破率 在文獻(xiàn) 2 2 ，2 5 2 6 仲也已經(jīng)考慮過了 。o 。蠔 汾b協(xié)l薰糍茲川刪俐堿舭缸歸驢 櫨壚如毗 辮2 章帶非局部項(xiàng)的擴(kuò)散系統(tǒng)解的一斂爆破率和漸近竹i 在文獻(xiàn) 3 3 】里，王明新討論了問題正解在有限時(shí)間內(nèi)爆破的性質(zhì) iu t = 札+ 儼儼， $ q ，t 0 啦vt=，a舊v+upvq),：iq,t砌0t t0 ，t 0 ( 2 1 3 ) i 讓( 茁，) = 口( z ，) = ，砌， p 叫 【( z ，0 ) = t 幻( z ) 0 ，移( z ，0 ) = t 帕( z ) 0 ， z q 令a l 是在q 中帶零d i r i c h l e t 邊值條件的算子一的第一特征值他的主要結(jié)論 是： ( i ) 假設(shè) 或者 m 1 ，n o ，p = 0 ，g = 1 ，a l l ，p 0 ，n = 0 ，m = 1 ，a i 1 ，y 0 ，z 0 得到了許多新穎的結(jié)果他們的結(jié)論表 明p c = p q 一( 1 + ，y ) ( 1 + p ) 是方程( 2 1 6 ) 的臨界指數(shù)，也就是說，如果p c 0 ，對于足夠大的初值，方程的解在 有限時(shí)間爆破 在本章里將證明p c = p q l 也是方程( 2 1 1 ) 解的臨界指數(shù) 本章的目的是得到反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)( 2 1 1 ) 解的l 臨界指數(shù)，并且得到解的爆破 速率以及解的邊界行為對于函數(shù)o ) ，6 ( z ) ，咖( z ) ，咖0 ) ，有如一卜假定： ( a 1 ) 血( z ) ，6 ( z ) c 2 ( q ) ，t 幻( z ) ，v o ( x ) c 2 + a ( q ) ，口( 0 ，1 ) ；o ( z ) ，6 ( 衛(wèi)) ， “o ( z ) ，在q 中( z ) 0 ，并且在o q _ e a ( x ) = b ( x ) = 咖( z ) = 如( z ) = 0 ( a 2 ) n ( z ) ，6 ( 。) ，銣( z ) 以及咖( z ) 是徑向?qū)ΨQ的，即n ( z ) = o ( r ) ，6 ( z ) = 6 ( r ) ， 螄( z ) = 咖( r ) ，如( 石) = 如( r ) 其中r = 對于r 【0 ，捌o ( r ) ，6 ( r ) ，均( r ) 以 及v o ( r ) 是非增的 本章內(nèi)容安排如下在第2 2 節(jié)，考慮系統(tǒng)( 2 1 1 ) 解的整體存在性以及有限 爆破性質(zhì)在2 3 節(jié)研究( 2 1 1 ) 解的爆破集合和爆破率在第2 4 節(jié)，得到邊界估 計(jì) 2 2 整體存在性和有限時(shí)間爆破 。? 盔本節(jié)里，首先給出系統(tǒng)( 2 1 1 ) 上下解的定義 定義2 2 1 一對非負(fù)函數(shù) ( z ，t ) ，o ( z ，t ) ) 稱為方程( 2 1 1 ) 的上解，也就是 如果( _ ( z ，t ) ，可0 ，t ) ) c ( f ix 【o ，刁) n c 2 , 1 ( q ( 0 ，? ) ) 并且滿足 一對非負(fù)函數(shù)也( ，t ) ，型( z ，t ) ) 稱為方程( 2 1 1 ) 的下解，也就是如 d q x o 卸鋤渺吐一曲孤姒 延鞴茲俐刪俐蝴缸缸蛇蛇一一4霸硯晚議戳 第2 章帶非嗣部項(xiàng)的擴(kuò)散系統(tǒng)解的一致壤破率和漸近竹訃 果c u ( z ，t ) ，笪( z ，t ) ) c ( ax 【o ，明) nc 口，1 ( n ( o ，t ) ) 并且滿足 其中1 r + o o ，p ，q r 規(guī)定q t = q ( 0 ，列以及s t = a q ( 0 ，7 1 方程( 2 1 1 ) 的弱解是一個(gè)向量 函數(shù)，它既是( 2 1 1 ) 的上解也是( 2 1 1 ) 的下解下述比較引理在證明其它結(jié)論的 過程中起著很重要的作用，可由文獻(xiàn) 3 7 中的類似論證得到 引理2 2 2 假設(shè)條件1 ) 一( a 2 ) 成立，w ( x ，t ) ，z ( x ，t ) c ( 蠆r ) n c 吃，1 ( q r ) 并且滿足 毗一叫。( 。) d - ( t ) 上c ，( 甄) z ( z ，t ) 如，( 毛t ) 鋤 z t a z2b ( z ) d 2 ( t ) c 2 ( x ，t ) t u ( z ，t ) 如，( z ，t ) q r ， ( 2 2 1 ) j o w ( x ，t ) ，2 ( ，t ) 0 ，( z ，t ) s t ， w ( x ，o ) ，2 ( z ，0 ) 0 ，z q ， 在q t 中d i ( t ) ，盤( ，t ) o c i = 1 ，2 ) ，并且是有界連續(xù)函數(shù)，那么 在爵上叫( z ，t ) ，z 扛，t ) 0 證明令k = m a x k 1 ，k 2 ) - 4 - 1 ，其中 ( 1 = s u p t e ( o 刁郵) d 1 ( t ) zc t ( 州) 出，刁 j n 鮑= s u p6 ( o ) 如( ) c 2 ( x ，t ) 如 t e ( o ，即 j n 既然在q t 中g(shù) ( 為) ，也( t ) 有界連續(xù)，則有k + 令枷1 = e - - k t w ，z 1 = e - k t z ， 能夠推出在蠆r 上w l ( z ，) ，z 1 ( z ，t ) 0 實(shí)際上，既然對( z ，t ) 昂或者茁q ，t = 0 ，w l ( x ，t ) ，z l ( x ，t ) o ，- 若m i n w l ( z ，t ) ，z l ( x ，t ) ) 0 ( 對( z ，t ) 百r ) ，貝u ( w l ，。1 ) 在q t 中有負(fù)的最小值不失一般性，可以假設(shè)m i n u 1 ( z ，t ) ，z l ( x ，t ) ) 在q r 中 用q q o 曲印忪鞏 d d 孤機(jī) 蟲赫茲 刪刪俐蝴 缸衄歸吣 0 ，且伽1 t ( 勛，t 1 ) 0,tt t0 z 固 u ( 茁，) ( = ) z ( z ，t ) 2 ( = ) o ，o 加， 、7 u ( z ，0 ) ( s ) t 如( z ) ，z ( x ，0 ) ( ) t j 0 ( z ) ， z q 貝u 在刁0 上( t d ( z ，t ) z ( z ，t ) ) ( ) ( “( z ，t ) ，v ( x ，t ) ) 證明r i 正( w ( x ，t ) ，z ( x ，) ) ( ( z ，t ) ，移( z ，t ) ) ( 0 ，o ) 相反的結(jié)果類似可 締2 章帶非局部項(xiàng)的勾散系統(tǒng)解的一敏坶破率和漸近 + t 得令妒l ( z ，t ) = ( i t ) 一“( z ，t ) ，妒2 ( z ，t ) = z ( z ，t ) 一v ( x ，f ) 由中值定理有 。( t ) | p i v ( o i , p = ( | z ( 丑t ) | r 如) 一( i v ( x ，t ) 1 7 出) ； j n j q = ：( 町( t ) ) 滬f p i 0 妒l ( g ，o ) ，妒2 ( z ，0 ) 0 ，z q 由引理2 2 2 可得妒l ，忱0 ，也即( z ，t ) ，z ( z ，t ) ) ( u ( x ，t ) ，v ( x ，t ) ) 口 從推論2 2 3 ，有如下引理 引理2 2 4 令( u ，移) 是方程( 2 1 1 ) 的非負(fù)解，并且假設(shè)( 百，矛) 以及也，型) 是問 題( 2 1 1 ) 相應(yīng)的上下解，則在z b 上( 面，o ) ( 牡， ) 也，必 定理2 2 5 假設(shè)( a 1 ) 一2 ) 成立，并且瑚 0 ，( 面，口) 有界并 且面k “，0 k k 則有 硯一面= 一k z ，“l(fā) ( 2 1 1 ) ( 妒+ 1 ) 1 1 - - 2 i 0 1 2 + f l ( 妒+ 1 ) l z - - 1 妒) 1 1 ( c + t ) 1 1 - 1 k “， 以及 令 a ( x ) l 哥l , p = 口( z ) j 一。 ( 妒+ 1 ) b 譬a ( o ) l a l p ( c + 1 ) 一。j ，( 2 2 8 ) 魂一o h ( c + 1 ) 。一1 k b ，b ( x ) l 面l ：b ( o ) l q p ( c + 1 ) 講t k q l - ( 2 2 9 ) 甄= ( 掣竽( c 艫吐+ 1 ) l ( 卜此，鮑= ( 塑避警( c + ) q t t - t 2 + 1 ) l 慨叫t ) ( 2 2 1 0 ) 既然p 口 1 ，可以選擇兩個(gè)正常數(shù)z 1 ，1 2 1 使得 p l l 1 2 1 g & p p l 2 1 ，則對于“足夠小的初值，系 統(tǒng)( 2 1 1 ) 的非負(fù)整體解存在 證明顯而易見，存在兩個(gè)正常數(shù)z 1 ，z 2 t l 1 2 1 q 也 t 口p 1 2 l l ，q l l 1 2 選擇k 充分小使得 k m i n k 1 ，k 2 ( 2 2 1 5 ) 假設(shè)u o ，v 0 足夠小以滿足( 2 2 1 3 ) 式從( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 3 ) - ( 2 2 1 5 ) 式可 得( 面，西) 是系統(tǒng)( 2 1 1 ) 的上解另外可以看出解下有界口 注2 2 7 令妒1 ( 茹) 是下述橢圓型方程的正解 一( z ) = 1 ， z q 1 ； ( z ) = 0 ， z 0 3 2 1 這里q 1c cq 顯然(